Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

есть ЛДУ 2-го порядка. Будем считать коэффициенты a , b, c вещественными числами.

Определение . Уравнение ар 2 + bр + c = 0 называется характеристическим уравнением, а многочлен M ( p ) = ар 2 + bр + c – характеристическим многочленом для уравнения (4.1).

Если f ( x ) =0, уравнение (4.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным. Например, уравнения

– линейные однородные дифференциальные уравнения (сокращенно ЛОДУ), т.к. их правые части равны нулю. Уравнения (4.2) и

– ЛНДУ (линейные неоднородные дифференциальные уравнения).

4.2 Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

По определению, ЛОДУ 2-го порядка имеет вид

План нахождения общего решения этого уравнения:

1) Написать характеристическое уравнение для (4.3)

3) В зависимости от значений p 1 и p 2 найти общее решение y :

Если заданы начальные условия, то с их помощью находят постоянные C 1 и C 2 , а затем подставляют их в общее решение.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид p 2 + 5 p + 6 = 0 . Его корни p 1 = -2 и p 2 = -3. Так как p 1 ≠ p 2 , то по формуле (4.4) общее решение

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

По определению линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) 2-го порядка имеет вид

Сопоставим ему однородное уравнение

Теорема. Общее решение уравнения (5.1) есть сумма общего решения уравнения (5.2) и частного решения уравнения (5.1):

где y O.O. – общее решение соответствующего однородного уравне­ния (5.2), а y Ч.Н. – частное решение уравнения (5.1).

Здесь о.о. означает "общее однородное", а ч.н. – "частное неоднородное".

Способ нахождения решения y O.O. указан в п. 4.2. Способ нахождения y Ч.Н. зависит от правой части f ( x ) уравнения (5.1). Мы рассмотрим три случая:

В этом случае уравнение (5.1) имеет вид

где A и γ – числа. Тогда его частное решение

где многочлен M ( p ) = ар 2 + bр + c , M ( k ) ( γ ) – его k ‑ая производная при p = γ , k – число корней многочлена M ( p ) , равных γ .

2) Так как γ = 3 не равно ни одному корню многочлена M ( p ) , то в формуле (5.5) k = 0, поэтому

Если правая часть уравнения (5.1) имеет вид f ( x ) = P ( x ) e αx , где P ( x ) – многочлен, то частное решение этого уравнения имеет вид

где k – число корней характеристического уравнения, равных α , Q ( x ) – многочлен той же степени, что и P ( x ) . Если P ( x ) – многочлен первой степени, то Q ( x ) имеет вид A x + B , если второй степени, то Q ( x ) имеет вид A x 2 + B x + C , а если нулевой степени – вид A , где A , B , C – числа, A ≠ 0. Для нахождения числа k удобно считать, что множитель e αx всегда входит в f ( x ) , хотя при α = 0 его можно не писать, т.к. e 0x = 1.

Чтобы найти коэффициенты A , B , . многочлена Q ( x ) , подставляют (5.6) в исходное уравнение и приравнивают коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях x .

Пример. Решить уравнение y' ' + 3 y' = 9 x

Так как 9 x = 9 x · e 0x , то правая часть уравнения имеет вид (5.6) с P ( x ) = 9 x , α = 0.

2) Так как α = 0 совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то k = 1.

Коэффициент при x в левой части равен 6 A , а в правой равен 9. Поэтому 6 A = 9 и A = 1,5. Свободный член в левой части равен 2 A + 3B , а в правой – нулю. Поэтому 2 A + 3B = 0, а т.к. A = 1,5, то B = -1.

Рассмотрим решение ЛНДУ с правой частью вида

Общее решение ЛНДУ находят по формуле (5.3). Нахождение ее слагаемого y O.O. рассмотрено в разделе 4.2, а слагаемое y Ч.Н. для правой части вида (5.7) имеет вид

где k – число корней характеристического уравнения, равных α + i β , A и B – числа.

Заметим, что если в f ( x ) входит хотя бы одна из функций sin β x или cos β x , то в y Ч.Н. входят обе эти функции.

Формулу (5.8) можно обобщить на случай, когда в (5.7) P = P ( x ), Q = Q ( x ) – многочлены. Тогда и в (5.8) A и B – многочлены степени, равной максимальной из степеней многочленов Q ( x ) и P ( x ) .

План решения ЛНДУ с правой частью вида (5.7) аналогичен плану, использованному в разделе 5.3 (в нем нужно лишь заменить α на α + i β , а формулу (5.7) – формулой (5.8)).

Пример. Решить уравнение y' ' - 4 y' + 5 y = 2 cos x + 6 sin x .

Правая часть уравнения имеет вид (5.10) с P = 2, Q = 6, α = 0, β = 1.

1) Характеристическое уравнение р 2 - 4р +5 = 0 имеет дискрими­нант D = (-4) 2 - 4·5·1 = -4 и корни р 1,2 = 2 ± i . По формуле (4.5)

2) Так как α + i β = i не равно ни одному корню характеристического уравнения, то k = 0.

3) По формуле (5.8) частное решение

4) Найдем числа A и B (неопределенные коэффициенты). Для этого найдем производные y' Ч.Н. и y'' Ч.Н. :

и подставим их и y Ч.Н. в левую часть данного уравнения. Получим

Эта левая часть данного уравнения. Она равна правой части, т.е. 2 cos x + 6 sin x . Приравнивая коэффициенты при cos x и при sin x в левой и правой части, получим систему

Складывая и вычитая уравнения, находим

5) Подставляем эти значения в формулу п.3):

6) Общее решение данного уравнения по формуле (5.3) есть

Принцип суперпозиции. Решение системы ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Пусть правая часть ЛНДУ есть сумма двух слагаемых f 1 ( x ) + f 2 ( x ) . Принцип суперпозиции (наложения) сводит решение такого уравнения к решению двух уравнений, у одного из которых правая часть равна f 1 ( x ) , а у другого f 2 ( x ) .

Теорема. Общее решение уравнения

Например, решение уравнения y' ' + 3 y = cos x + e x имеет вид (6.1), где y O.O. – общее решение однородного уравнения y' ' + 3 y = 0, y 1 – частное решение уравнения y' ' + 3 y = cos x , а y 2 – частное решение уравнения y' ' + 3 y = e x .

Суть этого метода решения системы (6.2) такова: из одного уравнения системы выразить x через y (или y через x ), подставить в другое уравнение и решить полученное ЛОДУ с одним неизвестным. Более подробно план решения таков.

1) Выразить из одного уравнения системы y через x и .

2) Найти , дифференцируя выражение для y , полученное в п.1).

3) Подставить найденные выражения для y и в другое уравнение системы.

4) Решить полученное ЛОДУ (найти x ).

5) Подставить x в выражение для y , полученное в п.1).

6) Записать общее решение системы.

Замечание. Конечно, во всех пунктах плана (везде) переменную x можно заменить на y , а y – на x .