О ВЫЧИСЛЕНИИ СИММЕТРИЧНЫХ СУММ ПЕРВЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1 Научные труды КубГТУ, 6, 04 год УДК 575 О ВЫЧИСЛЕНИИ СИММЕТРИЧНЫХ СУММ ПЕРВЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ИВ ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический университет 35007, Российская Федерация, г Краснодар, ул Московская, электронная почта: Рассмотрена симметричная сумма первых натуральных чисел Предложен метод её вычисления, основанный на использовании возрастающей факториальной степени Ключевые слова: Возрастающая факториальная степень, симметричная сумма первых натуральных чисел, телескопическая сумма Симметричная сумма первых натуральных чисел Под симметричной суммой натуральных чисел мы будем понимать конечную сумму натуральных чисел вида, для которой выполняется условие. Примерами таких сумм являются следующие суммы 3, 33 Если имеется последовательность натуральных чисел. то не трудно составить симметричную сумму следующего вида Простейшими примерами являются суммы или ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )

2 Научные труды КубГТУ, 6, 04 год ( ) ( ) ( ) где целое неотрицательное число Расширяя наше определение симметричной суммы, будем суммы p ( ) p p ( ) p ( ) p () называть симметрическими, даже если целые неотрицательные числа и p не равны друг другу Нахождение значения суммы () как значения элементарной функции аргументов, и p, называется нахождением или вычислением суммы () в замкнутом виде Вычисление суммы ( ) p в замкнутом виде для частных, случаев p 03. Если обычную степень x заменить произведением x x( x)( x ), называемым верхней факториальной степенью [], то суммирование в замкнутой форме упростится По этой причине мы будем в этом пункте рассматривать симметричные суммы с верхними факториальными степенями Пусть p 0, тогда ( ) p () ( ) ( ) ( ) Последняя сумма справа является телескопической и легко вычисляется ( ) 0 ( ) Тогда, подставив эту сумму в предыдущую формулу, получим (3)

3 Научные труды КубГТУ, 6, 04 год 3 Пусть p, тогда воспользовавшись формулой (3) и тем, что ( ), ( ), получим ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (4) Пусть p, тогда воспользовавшись формулой (4) и тем, что ( ), ( ) 3, получим ( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( 3) ( )( ) ( )( 3) 3 ( ) ( )( )( 3) (5) Пусть p 3, тогда воспользовавшись формулой (5) и тем, что ( ), 3 ( 3) 4, получим

4 Научные труды КубГТУ, 6, 04 год 4 3 ( ) ( )( )( 3 ( )) ( 3) ( )( ) ( )( ) 3 4 ( 3) ( )( )( 3) ( )( 3)( 4) 4 4 ( )( )( 3) ( )( 3)( 4) 3! 4 3 ( ) (6) ( )( )( 3)( 4) 3 Вычисление суммы ( ) p в замкнутом виде для общего случая Из формул (3) (6) можно сделать вывод, что для всех целых неотрицательных и p справедлива формула p p p! ( ) (7) ( )( )( p)( p) Докажем её по индукции Для значения p 0 формула очевидно верна и совпадет с формулой (3) Пусть формула (7) верна для некоторого значения p 0 Докажем её справедливость для случая p Воспользовавшись формулой (7) и тем, что ( ), ( ) p p p, получим p p ( ) ( ) ( ( )) p p p ( p) ( ) ( ) p p p! p! ( )( )( p)( p) ( )( 3)( p)( p), что формула (7) верна для значения p

5 Научные труды КубГТУ, 6, 04 год 5 ( p)! p p ( ) ( )( )( p)( p) Следовательно, по индукции формула (7) справедлива для всех целых неотрицательных p Заключение Рассмотрена симметричная сумма первых натуральных чисел Предложен метод её вычисления, основанный на использовании возрастающей факториальной степени Автор надеется, что в дальнейшем эти методы позволят получить значения сумм первых натуральных чисел одинаковых степеней в самом общем случае ЛИТЕРАТУРА Грэхем Р, Кнут Д, Паташник О Конкретная математика Основание информатики: Пер с англ М: Мир, с REFERENCES Graha R, Kuth D, Patashi O Cocrete Matheatics A Foudatio for Coputer Sciece -d ed Readig, MA: Addiso-Wesley Professioal, 994 pp xiv+657 THE COMPUTATION OF THE SYMMETRIC SUMS OF THE FIRST NATURAL NUMBERS IV TERESHCHENKO Kuba State Techological Uiversity, Mosovsaya st, Krasodar, Russia Federatio, 35007, е-ail: Syetric sus of the first atural ubers are cosidered The ethod of calculatio, based o the use of risig factorial ad telescopic su, is proposed Keywords: Risig factorial, syetric sus of the first atural ubers, telescopig su

Научные труды КубГТУ, 6, 014 год 1 УДК 51751 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗРАСТАЮЩИХ ФАКТОРИАЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ ДЛЯ СУММИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ИВ ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический

Научные труды КубГТУ,, 06 год 387 УДК 575 ТЕОРИЯ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ РЯДОВ ИВ ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический университет, 35007, Российская Федерация, г Краснодар, ул Московская, ; электронная

Научные труды КубГТУ, 3, год УДК 57.5 О СУММИРОВАНИИ РЯДА ОБРАТНЫХ ОБОБЩЁННЫХ ПЕНТАТОПИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА И.В. ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический университет, 357, Российская

Научные труды КубГТУ, 2, 205 год УДК 57.52+5.4 ОБ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ НАНА И КЕКА ФУНКЦИЙ НАТУРАЛЬНОГО АРГУМЕНТА И.В. ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический университет 350072, Российская

Научные труды КубГТУ, 5, 204 год 57.52 ПРИЗНАКИ СГУЩЕНИЯ II. ОБЩИЙ СТЕПЕННОЙ ПРИЗНАК СГУЩЕНИЯ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ОСНОВАННОЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА И.В. ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный

00 УДК 517.51 ЗАМКНУТАЯ ФОРМА ДЛЯ СУММ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ ПОДОБНЫХ ОДНОМУ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКОМУ РЯДУ И.В. ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический университет, 5007, Российская Федерация, г. Краснодар,

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Об одном обобщении чисел Стирлинга Устинов А. В. Моему учителю, Н. М. Коробову, к его 85 летию В работе вводятся обобщенные числа Стирлинга. Для них доказываются свойства, аналогичные свойствам обычных

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

7 Математика в высшем образовании 5 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ УДК 57 О ЕЩЕ ОДНОМ ВЫВОДЕ ФОРМУЛЫ СТИРЛИНГА В. А. Ильин Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,

МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Научные труды КубГТУ, 6, 014 год 1 УДК 517.51 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ РЯДОВ ДЛЯ СУММИРОВАНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ОДИНАКОВЫХ СТЕПЕНЕЙ И.В. ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический университет

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ По дисциплине: «Алгебра» Специальность: «Математика» заочная форма обучения 6 семестр Составитель: зав кафедрой Трофимук АА Многочлены от нескольких переменных результант алгебраические

Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Лекция 3, 4 Предельное значение функции при, + и Будем считать, что область задания функции f ( имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ A, A], для любого положительного числа A. Определение (по

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

ЛЕКЦИЯ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ Алгоритм Евклида При работе с большими составными числами их разложение на простые множители, как правило, неизвестно. Но для многих прикладных задач теории

. Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2. c. C называются коэффициентами степенного

О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Научные труды КубГТУ, 1, 016 год 1 УДК 17.1 О СУММИРОВАНИИ РЯДА ОБРАТНЫХ ОБОБЩЁННЫХ ПЕНТАТОПИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ -ГО ПОРЯДКА И.В. ТЕРЕЩЕНКО Кубанский государственный технологический университет, 3007, Российская

ГЛАВА 6 Формализм скобок Пуассона в классической механике 61 Скобки Пуассона Скобки Пуассона Пусть даны две динамические величины две функции канонических переменных и времени t : ( и ( Скобкой Пуассона

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. М. Зюзьков, Вокруг теоремы Эйлера о суммах делителей, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 8, номер 5, 9 DOI: https://doi.org/.7/99886/5/ Использование

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Лекция на тему «Метод математической индукции» 900 (на курсах повышения квалификации учителей) Индукция (лат iductio наведение) переход от частного к общему; дедукция (лат deductio вывод) переход от общего

УДК Пекельник НМ, Хаустова ОИ, Попова НИ, Трефилова ИА Кпн, доцент, кафедра высшей математики; кпн, доцент, кафедра высшей математики; кпн, доцент, кафедра высшей математики; преподаватель, кафедра высшей

Занятие 8 Напомним, что для произвольных множеств A и B существуют множества A B = ; (пересечение A и B) A B = ; (объединение A и B) A \ B = (разность A и B).

Гипотеза о периодичности в задаче Иосифа Флавия о считалочке 1 декабря 2007 г. Содержание 1 Введение 1 2 Таблица остатков 2 3 Таблица считалочки 3 4 Гипотеза о равнораспределении 4 5 Гипотеза о периодичности

Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Франц Герман (www.frz-herm.com) Рассмотрим определитель - го порядка, инвертированный по отношению к единичному. Докажем, что такой определитель вычисляется по формуле: ( ) ( ) ( ) () Мы думаем, что почти

Занятие 5 ФКН ВШЭ, курс «Дискретная математика», основной поток 25/6 уч. год Определения. Булева функция это всюду определённая функция n . Базис любое множество булевых функций (быть может, бесконечное).

Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (00-00 учебный

Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х

Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Квадратные уравнения В данной статье мы разберём основные вопросы, связанные с квадратным уравнением: выведем формулу корней, докажем теорему Виета и научимся

Научный журнал КубГАУ, 76(0), 0 года УДК 59.6.8 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРИНОМЫ СО ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППОЙ ГАЛУА Сергеев Александр Эдуардович к.ф.-м.н., доцент Потемкина Людмила Николаевна аспирантка Кубанский

2008 г 3 Труды ФОРА ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ Кубанский государственный университет, г. Краснодар Работа посвящена доказательству малой теоремы Ферма. В ней предлагается простой

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Очень часто приходится встречаться с задачами, когда один и тот же опыт

Methods.doc Методы приближенных вычислений Стр.1 из 6 Общее условие задачи: Двумя заданными численными методами вычислить приближенное значение корня 1 функционального уравнения вида f()=0 для N значений

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение. Ошибка! Закладка не определена. Основные обозначения. 5 Глава. Матричные функционалы. 6.. Основные определения и обозначения. 6.. Векторные и матричные нормы. 8.3. Неравенства

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Number Theory. IMO Данный листок содержит задачи по теории чисел, которые в разные годы предлагались на Международной математической олимпиаде (IMO). Для

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Тема 6 Дифференцирование функций log Производная логарифмической функции a На предыдущем занятии по четырехступенчатому правилу нами была найдена производная логарифмической функции ( loga ) (7) l a в

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Проблемы физики, математики и техники, (9), 04 УДК 554 МАТЕМАТИКА ПРОИЗВОДНАЯ -ДЛИНА -РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ, СИЛОВСКИЕ -ПОДГРУППЫ КОТОРОЙ ЛИБО БИЦИКЛИЧЕСКИЕ, ЛИБО ИМЕЮТ ПОРЯДОК ДВ Грицук Гомельский государственный

Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2. x.

Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

МАТЕМАТИКА Рациональные уравнения Системы уравнений Уравнения, содержащие модуль Задание для 9- классов 0-04 учебный год Составитель: кпн, доцент Марина ЕВ Пенза, 0 Введение Вспомним некоторые понятия

- 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

ГОУ Школа-интернат ''Интеллектуал'' И с с л е д о в а т е л ь с к а я р а б о т а п о м а т е м а т и к е на тему: «О представимости натуральных чисел в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами»

БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 23 апреля 2011 г. Данный доклад примыкает к докладу [1]. Рассматриваются два варианта быстрого преобразования Уолша. 1. Пусть N = 2 s, где

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

.. Сократите дробь: a a a a. 9 класс Ответ: a a. Найдем область определения данного выражения: a a a 0 0 a 0. Используя тождество xy x y, получим: a( a ) 0 ( a )( a ) 0 a a a a a a = a( a ) ( a )( a )

Глава 3. Числовые ряды 3.. Занятие 0 3. Сумма ряда Рассмотрим числовую последовательность k=. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Рядом называется выражение вида a + a 2 +. + a k +. = a k. k= Величина a k называется