22. Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий, среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10

1 Старшие 0. Числа a, b, c и d таковы, что (a b)(b c)(c d)(d a) < 0. Число b наибольшее из a, b, c и d. Определите, какое из чисел a, b, c и d третье по величине. 1. В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа a, b, c из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число ab + c 2. Докажите, что можно несколькими такими операциями записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были). 2. Натуральные числа n и k, n > k, таковы, что число n! k! оканчивается на Докажите, что число n также оканчивается на Ненулевые числа a, b и c таковы, что a 2 (b+c a) = b 2 (c+a b) = c 2 (a+b c). Докажите, что a = b = c. 4. Квадратный трехчлен f(x) таков, что многочлен a) (f(x)) 3 f(x); b) (f(x)) 5 f(x) имеет ровно три вещественных корня. Какой может быть ордината вершины графика этого трехчлена? 5. Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа? 6. На плоскости даны n векторов, длина каждого не превосходит 1. Докажите, что можно выбрать α и повернуть все векторы на угол α (некоторые по часовой стрелке, а некоторые против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила Каждое натуральное число от 1 до n домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких n такое возможно? 8. Целые числа a, b, c таковы, что значения квадратных трёхчленов bx 2 + cx + a и cx 2 + ax + b при x = 1234 совпадают. Может ли первый трёхчлен при x = 1 принимать значение 2009? 9. Пусть m количество решений уравнения sin x = ax + b, а n количество решений уравнения x = a cos x + b (a и b положительные действительные числа, причем a 1). Какие значения может принимать выражение mn m n? 10. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка называется удачной, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, являются друзьями. Выяснилось, что удачные рассадки есть, причем при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании? 11. У трехчлена x 2 ax + b коэффициенты a и b натуральные числа, а десятичная запись одного из корней начинается с 2, Найдите наименьшее возможное значение a. 12. Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a такого, что a 5 делится на b 2, число a 2 делится на b. Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших Ненулевые числа a, b, c таковы, что ax 2 +bx+c > cx при любом x. Докажите, что cx 2 bx+a > cx b при любом x. 14. На плоскости провели несколько прямых и отметили все их точки пересечения. Сколько прямых могло быть проведено, если на одной из проведенных прямых отмечена одна точка, на другой три, а на третьей пять? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет. 15. Даны два квадратных трехчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при x 2, то получатся трехчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трехчленах поменять местами коэффициенты при x, то получатся трехчлены, имеющие корни. 16. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю. 17. По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел. 18. Найдите все такие пары натуральных чисел n, k, что n > 1, k нечетно, и (n 1)! + 1 = n k. 19. Даны натуральные a, b, c, взаимно простые в совокупности. Верно ли, что обязательно существует такое натуральное n, что число a k + b k + c k не делится на 2 n ни при одном натуральном k? 20. Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных. 21. Положительные числа x 1, x 2. x 2009 удовлетворяют равенствам x 2 1 x 1x 2 + x 2 2 = x2 2 x 2x 3 + x 2 3 = x 2 3 x 3x 4 + x 2 4 =. = x x 2008x x = x x 2009x 1 + x 2 1. Докажите, что числа x 1, x 2. x 2009 равны.

2 22. Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий, среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях. 23. В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 k 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках. 24. В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны. 25. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. 26. В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние рейсы между ними так, чтобы из любого города можно было добраться в любой другой не более, чем за k пересадок. При этом количество авиалиний из любого города не должно превышать четырех. При каком наименьшем k это возможно? 27. В клетках таблицы изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой ее столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами? 28. В клетки квадрата расставили числа 1, 2. 10000, каждое по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на Пусть S минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S? 29. На доске написаны натуральные числа 1, 2, 3. 10. Разрешается выписать число a 2, если на доске уже имеется число a, или выписать наименьшее общее кратное чисел a и b, если числа a и b уже записаны. Можно ли с помощью таких операций получить число ? 30. Найдите все четверки целых чисел (x, y, z, t) таких, что их сумма равна 0, а число x 4 +y 4 +z 4 +t 4 +4xyzt является квадратом целого числа. 31. Точка D на стороне BC остроугольного треугольника ABC такова, что AB = AD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает сторону AC в точках A и K. Прямая DK пересекает перпендикуляр, опущенный из B на AC, в точке L. Докажите, что CL = BC. 32. Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторон BC, CA, AB в точках A 1, B 1 и C 1 соответственно. На продолжении отрезка AA 1 за точку A взята точка D такая что AD = AC 1. Прямые DB 1 и DC 1 пересекают второй раз окружность ω в точках B 2 и C 2. Докажите, что B 2 C 2 диаметр окружности ω. 33. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KP M прямой. 34. Дан треугольник ABC. Через точку X, лежащую внутри него, проводятся отрезок c X, параллельный AB, с концами на сторонах AC и BC, и отрезок b X, параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB. Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков b X и c X равны, лежат на одной прямой. 35. Пусть P произвольная точка на стороне AC треугольника ABC. На сторонах AB и CB взяты точки M и N соответственно так, что AM = AP и CN = CP. Перпендикуляры, проведенные в точках M и N к сторонам AB и BC соответственно, пересекаются в точке Q. Докажите, что QIB = 90, где I центр вписанной окружности треугольника ABC. 36. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM, а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM. Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны. 37. Вписанная окружность ω треугольника ABC касается его сторон BC, AC, AB в точках A, B, C соответственно. Точки K и L на окружности ω таковы, что AKB + BKA = ALB + BLA = 180. Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A, B, C. 38. Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторон AB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M середина отрезка DE. Докажите, что угол F MP прямой. 39. Окружности ω 1 и ω 2 касаются внешним образом в точке O. Точки A и B на окружности ω 1 и точки C и D на окружности ω 2 таковы, что AC и BD общие внешние касательные к окружностям. Прямая

3 AO пересекает отрезок CD в точке M, а прямая CO пересекает вторично окружность ω 1 в точке N. Докажите, что точки B, M и N лежат на одной прямой. 40. Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую из всех клеток квадрата n n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны? 41. В стране некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что нет трех городов, попарно соединенных дорогами. Кроме того, для любых n дорог найдется город, из которого выходят хотя бы две из них. Докажите, что города можно так разбить на n округов, чтобы любая дорога соединяла города из различных округов. 42. В стране n городов, некоторые пары из которых соединены непересекающимися дорогами. Известно, что из любого города можно добраться по дорогам до любого другого, причем единственным способом (если не проезжать по одной дороге более одного раза). Докажите, что министр может объявить не более, чем n 51 городов закрытыми (и запретить въезд в них и выезд из них) так, чтобы после этого для любой пары городов X, Y выполнялось одно из двух условий: либо из X нельзя добраться до Y, либо из X можно добраться до Y, проехав не более, чем по 49 дорогам. 43. На клетчатой полоске 1 n двое играют в следующую игру. Каждым своим ходом первый игрок закрашивает одну незакрашенную клетку, а второй две рядом стоящие незакрашенные. Если игрок не может сделать хода он выиграл. Кто выиграет при правильной игре? 44. Может ли ладья обойти все клетки доски 10 10, побывав на каждой клетке ровно по разу, чередуя ходы длиной в одну и в две клетки? (Считается, что, делая ход в две клетки, ладья не проходит по промежуточной клетке.) 45. На сторонах треугольника ABC отмечены шесть точек: C 1 и C 2 на AB, A 1 и A 2 на BC, B 1 и B 2 на CA. Известно, что A 1 B 2 AB, B 1 C 2 BC и C 1 A 2 AC. Докажите, что треугольники A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 равновелики. 46. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая не занятая ладьей клетка находилась под боем хотя бы трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали, и между ними нет занятых клеток.) 47. Шахматную доску разбили на двухклеточные прямоугольники. Каждый из них требуется закрасить каким-нибудь цветом так, чтобы любые две клетки доски, отстоящие на ход коня, были раскрашены в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит для этого? (Ход коня состоит в перемещении на две клетки по горизонтали и одну по вертикали, или же на две клетки по вертикали и одну по горизонтали.) 48. По кругу стоят 11 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа различаются хотя бы на 20, а сумма любых двух соседних чисел не меньше ста. Найдите минимальную возможную сумму всех чисел. 49. Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м 3 ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м 2 ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какогонибудь хорошего параллелепипеда? 50. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA. 51. Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α. Докажите, что треугольник остроугольный. 52. Назовем тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. 53. Дано натуральное число n > 6. Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке (n(n 1); n 2 ) и взаимно простые с n(n 1). Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен Для положительных чисел x 1, x 2. x n докажите неравенство (1 + x 1 )(1 + x 1 + x 2 ). (1 + x 1 + x x n ) (n + 1) n+1 x 1 x 2. x n.

4 Младшие 0. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. Было 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих в хорошие? 1. Числа a, b, c и d таковы, что (a b)(b c)(c d)(d a) < 0. Число b наибольшее из a, b, c и d. Определите, какое из чисел a, b, c и d третье по величине. 2. Есть 7 карточек с цифрами от 0 до 6. Двое по очереди берут по одной карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить число, делящееся на 17. Кто выиграет при правильной игре начинающий или его противник? 3. В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты. Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму; также можно выбрать числа a, b, c из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число ab + c 2. Докажите, что можно несколькими такими операциями записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были) последовательных натуральных числа разбили произвольным образом на 18 групп по 4 числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из 18 полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными? 5. Существуют ли попарно различные действительные числа a, b, c такие, что a(b c) = b(c a) = c(a b)? 6. Натуральные числа n и k, n > k, таковы, что число n! k! оканчивается на Докажите, что число n также оканчивается на Ненулевые числа a, b и c таковы, что a 2 (b+c a) = b 2 (c+a b) = c 2 (a+b c). Докажите, что a = b = c. 8. Для каждого натурального n обозначим через S n сумму первых n простых чисел: S 1 = 2, S 2 = 2+3 = 5, S 3 = = 10. Могут ли два подряд идущих члена последовательности (S n ) оказаться квадратами натуральных чисел? 9. Каждое натуральное число от 1 до n домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких n такое возможно? 10. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка называется удачной, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, являются друзьями. Выяснилось, что удачные рассадки есть, причем при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании? 11. На окружности отмечены 2n 6 точек, делящих её на равные дуги. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том, чтобы обвести кружочками пару диаметрально противоположных точек и ещё одну точку. Дважды обводить одну и ту же точку нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередного хода. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? (может зависеть от n.) 12. Рациональные числа a и b удовлетворяют равенству a 3 b + ab 3 + 2a 2 b 2 + 2a + 2b + 1 = 0. Докажите, что число 1 ab является квадратом рационального числа. 13. Даны квадратные трёхчлены f 1 (x) = x 2 + 2a 1 x + b 1, f 2 (x) = x 2 + 2a 2 x + b 2, f 3 (x) = x 2 + 2a 3 x + b 3. Известно, что a 1 a 2 a 3 = b 1 b 2 b 3 > 1. Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня. 14. В клетках квадрата 5 5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через четное число минут. 15. В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и CC 1. Точка, симметричная середине стороны AC относительно прямой BC, обозначена через A 2, а точка, симметричная той же середине относительно прямой AB через C 2. Докажите, что отрезки A 1 A 2 и C 1 C 2 параллельны. 16. Точка K середина гипотенузы AB прямоугольного равнобеденного треугольника ABC. Точки L и M выбраны на катетах BC и AC соответственно так, что AK = BL = CM. Найдите углы треугольника KLM. 17. Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) выбрана точка M таким образом, что AMC = 2 ABC. На отрезке AM нашлась такая точка K, что BKM = ABC. Докажите, что BK = KM + MC. 18. На стороне BC треугольника ABC выбрана произвольная точка D. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности с центрами K и L соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BKD и CLD вторично пересекаются на фиксированной окружности. 19. Дан выпуклый шестиугольник P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки

5 обозначили через P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 и P 6 соответственно. Докажите, что треугольники P 1 P 3 P 5 и P 2 P 4 P 6 равны. 20. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA 1, BB 1, CC 1. Прямая, перпендикулярная стороне AC и проходящая через точку A 1, пересекает прямую B 1 C 1 в точке D. Докажите, что угол ADC прямой. 21. Даны натуральные числа a и b, причем a < Докажите, что если a 21 делится на b 10, то a 2 делится на b. 22. В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 k 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках. 23. Пусть AA 1 и BB 1 высоты остроугольного треугольника ABC, H точка их пересечения. Через точку, симметричную середине отрезка BH относительно прямой BC, провели прямую, перпендикулярную стороне AC. Докажите, что она пересекает прямую BC в точке A На стороне AC треугольника ABC взята точка B 1. Пусть I центр вписанной окружности треугольника. Окружность, описанная около треугольника AB 1 I, вторично пересекает сторону AB в точке C 1. Окружность, описанная около треугольника CB 1 I, вторично пересекает сторону BC в точке A 1. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 не зависит от положения точки B 1 на стороне AC. 25. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. 26. В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние рейсы между ними так, чтобы из любого города можно было добраться в любой другой не более, чем за k пересадок. При этом количество авиалиний из любого города не должно превышать четырех. При каком наименьшем k это возможно? бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Любые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими. 28. Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных. 29. Дано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь остаток. (Например, при делении числа 17 на 6, 17 = , то есть неполное частное равно 2, а остаток 5.) Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают. 30. По кругу выписаны числа 1, 2, 3. 10 в некотором порядке. Петя вычислил 10 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске? 31. Натуральное число n обладает следующим свойством: для любых натуральных a и b число (a+b) n a n b n делится на n. Докажите, что a n a делится на n для любого натурального a. 32. Натуральное число n таково, что сумма цифр в десятичной записи числа 8 n равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа 8 n быть равной 6? 33. Существует ли такое натуральное число n > 1, что произведение некоторых n последовательных натуральных чисел равно произведению некоторых n последовательных натуральных чисел? 34. При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1, 2. 14 в красный и синий цвета так, чтобы для любого числа k = 1, 2. n нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k? 35. В однокруговом шахматном турнире участвовали 8 шахматистов. Известно, что любые два шахматиста, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное число ничьих в этом турнире. (За выигрыш партии шахматисту начисляется 1 очко, за ничью 1 2 очка, за поражение 0.) 36. На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а черные только влево-вниз и вправовниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске? 37. По кругу расставлены n > 2007 чисел, не все из которых равны. Известно, что сумма любых 13 стоящих подряд чисел не превосходит 13, а сумма любых 21 стоящих подряд чисел не превосходит 21. Докажите, что сумма всех чисел строго меньше n.

6 38. По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел. 39. Дан треугольник ABC. Через точку X, лежащую внутри него, проводятся отрезок c X, параллельный AB, с концами на сторонах AC и BC, и отрезок b X, параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB. Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков b X и c X равны, лежат на одной прямой. 40. Около треугольника ABC описана окружность. Пусть A 0 и C 0 соответственно середины ее дуг BC и AB, не содержащих вершин A и C. Оказалось, что отрезок A 0 C 0 касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите угол B. 41. Лестница насчитывает 2008 ступенек, на каждой из них написано одно из чисел 2, 1, 1 или 2. Число на ступеньке указывает, на сколько ступенек следует с нее шагнуть (вверх, если число положительное, или вниз, если число отрицательное). Известно, что с какой бы ступеньки ни начинался путь, он не выйдет за пределы лестницы и обязательно пройдет через верхнюю ступеньку. Может ли сумма всех чисел на ступеньках быть отрицательной? 42. Прямые, касающиеся окружности ω в точках B и D, пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P, высекает на окружности хорду AC. Через произвольную точку отрезка AC проведена прямая, параллельная BD. Докажите, что она делит длины ломаных ABC и ADC в одинаковых отношениях. 43. Пусть точки A, B, C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B. Из точки P, лежащей на прямой b, опущены перпендикуляры P A 1 и P C 1 на прямые AB и BC соответственно (точки A 1 и C 1 лежат на отрезках AB и BC). Докажите, что A 1 C 1 AC. 44. В треугольнике ABC угол A равен 60. Пусть BB 1 и CC 1 биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B 1 C 1, лежит на стороне BC. 45. Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа? 46. Существуют ли такие простые числа p 1, p 2. p 2007, что p делится на p 2, p делится на p 3. p делится на p 1? мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. 48. У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных. 49. Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа. Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом. 50. Дан параллелограмм ABCD, в котором угол ABC тупой. Прямая AD пересекает второй раз окружность ω, описанную вокруг треугольника ABC, в точке E. Прямая CD пересекает второй раз окружность ω в точке F. Докажите, что центр описанной окружности треугольника DEF лежит на окружности ω. 51. В выпуклом четырехугольнике ABCD некоторая точка диагонали AC принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AB и CD, а некоторая точка диагонали BD принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AD и BC. Докажите, что ABCD прямоугольник. 52. На сторонах треугольника ABC отмечены шесть точек: C 1 и C 2 на AB, A 1 и A 2 на BC, B 1 и B 2 на CA. Известно, что A 1 B 2 AB, B 1 C 2 BC и C 1 A 2 AC. Докажите, что треугольники A 1 B 1 C 1 и A 2 B 2 C 2 равновелики. 53. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая не занятая ладьей клетка находилась под боем хотя бы трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали, и между ними нет занятых клеток.) 54. На координатной плоскости проведено 20 прямых графиков линейных функций y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2. y = k 20 x + b 20, где каждый из коэффициентов k 1, k 2. k 20, b 1, b 2. b 20 равен одному из чисел 1, 2. 20. Известно, что любые две прямые пересекаются в точке, не лежащей на оси ординат, но никакие три не проходят через одну точку. Отмечены точки пересечения всех пар прямых. Докажите, что модуль произведения абсцисс всех отмеченных точек равен 1.

7 55. Дано натуральное число n > 6. Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке (n(n 1); n 2 ) и взаимно простые с n(n 1). Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.