О НОВОЙ ФОРМЕ ПРОВЕДЕНИЯ ВЫПУСКНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

9. Укажите наименьшее положительное число x, при котором sinx = sin 2 15° – 2 sin 2 15°cos 2 15° + cos 2 15°.

Наименьший положительный корень уравнения

15. Решите уравнение cos 2 x + 6sinx – 6 = 0.

Имеем: cos 2 x + 6sinx – 6 = 0, 1 – sin 2 x + 6sinx – 6 = 0, sin 2 x – 6sinx + 5 = 0.

Обозначим sinx = z и решим уравнение z 2 – 6z + 5 = 0: z1 = 6 или z2 = 1 .

Возвращаясь к переменной x, получим sinx = 6 или sinx = 1 . Поскольку наибольшее значение sinx равно 1, уравнение sinx = 6 корней не имеет. Корни второго уравнения: x = p /2 + 2k p (k О Z).

Ответ: p /2 + 2k p (k О Z).

34. Найдите все решения уравнения принадлежащие отрезку

(поскольку ). Промежутку принадлежат два решения этого уравнения: .

39. Найдите все решения уравнения , принадлежащие отрезку

Из условия равенства дробей следует:

5cosx = 5sinx, cosx = sinx.

Нули косинуса не являются корнями последнего уравнения, значит, его можно разделить на cosx: tgx = 1 ,

При этих значениях x cosx – 7sinx № 0.

Комментарий

1. В процессе решения уравнения нам пришлось разделить обе его части на выражение с переменной. При делении на выражение с переменной, вообще говоря, может произойти потеря корней, но только в том случае, когда множество корней уравнения и множество нулей делителя имеют общие элементы. В противном случае после деления получается равносильное уравнение. В нашем случае при равенстве cosx нулю sinx в нуль не обращается, т.е. нули косинуса не являются корнями уравнения, и, разделив его на cosx, мы получаем равносильное уравнение.

2. Можно было получить ответ, использовав условие равенства синуса и косинуса – поскольку они являются соответственно ординатой и абсциссой точки тригонометрической окружности, то равенство их достигается только на биссектрисе I и III координатных углов.

49. Найдите абсциссы общих точек графиков функций y = 3sin2x и y = 4cosx.

3sin2x = 4cosx, 6sinxcosx – 4cosx = 0,

6cosx(sinx – 2/3) = 0,

1) cosx = 0 или 2) sinx – 2/3 = 0. 1) x = n p ;

2) sinx = 2/3, x = ( – 1) n arcsin(2/3) + n p (n О Z).

Ответ: p p; ( – 1) n arcsin(2/3) + n p (n О Z).

СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

59. Решите уравнение 2 2 – x – 2 x – 1 = 1.

Решение. 2 2 – x – 2 x – 1 = 1, 2 Ч 2 1 – x – 2 x – 1 = 1.

Обозначим 2 1 – x = z , тогда

Имеем: 1) 2 1 – x = – 1 – нет корней, 2) 2 1 – x = 1, 1 – x = 0, x = 1 .

82. Решите неравенство

Поскольку показательная функция с основанием 3 возрастает, имеем: 3x < 2x 2 – 2, 2x 2 – 3x – 2 > 0, x < – 0,5 или x > 2 .

86. Решите неравенство

При всех значениях x первый сомножитель положителен, значит

Так как показательная функция с основанием убывает, имеем: 2x + 2 < 2, x < 0 .

Ответ: x < 0.

88. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 3 x + 3 2-x > 10.

Решение. Оба слагаемых в левой части неравенства положительны, причем при любом целом отрицательном x 3 2-x > 10, значит, любое целое отрицательное значение x является решением данного неравенства.

Ответ: Не существует наименьшего целого решения неравенства.

Примечание. В записи условия допущена опечатка – должно быть 3 x + 3 2-x < 10, и решение выглядит иначе:

Обозначим 3x буквой z , тогда 1 < z < 9, 1 < 3 x < 9. Поскольку показательная функция с основанием 3 является возрастающей, имеем: 0 < x < 2 . 1 – наименьшее (и единственное) целое число, удовлетворяющее данному неравенству.

91. Решите уравнение

По определению логарифма x 2 – 5x + 6 = 2 . Далее имеем: x 2 – 5x + 4 = 0, x1 = 1,x2=4 .

94. Укажите все натуральные решения неравенства

Логарифмическая функция с основанием убывает. С учетом ее области определения имеем:

Натуральными решениями этих неравенств являются числа 1 и 5 .

106. Укажите положительный корень уравнения

Так как функция y = 4 x возрастающая, имеем 3x + 1 = 0 или

Единственный положительный корень – число

121. Решите неравенство

Найдем нули числителя и знаменателя и определим знаки дроби на соответствующих интервалах:

Комментарий. Можно было решать системы: или или

Так как показательная функция с основанием 3 возрастает, имеем:

126. Решите неравенство

Найдем нули числителя и знаменателя дроби

Учитывая убывание функции y = log 1/4 x и ее область определения, найдем знаки дроби на соответствующих интервалах.

149. Решите систему уравнений

Решение. По определению логарифма имеем:

Ответ: x = 8 , y = 1 .

152. Решите систему уравнений

Ответ: Система имеет бесконечно много решений – это координаты точек прямой y = 2x + 2 , абсциссы которых больше – 2 .

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

165. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x – 3x 2 в точке с абсциссой x0 = 2 .

1. Найдем y0 – значение функции y в точке x0 = 2 :

2. Найдем производную данной функции:

y' = (x – 3x 2 )' = 1 – 6x.

3. Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в точке x0 = 2):

4. Напишем уравнение касательной:

y – ( – 10) = – 11(x – 2), y + 11x = 12.

Ответ: y + 11x = 12.

169. Выясните, является ли прямая y = 12x – 10 касательной к графику функции y = 4x 3 .

Решение. Найдем, при каких значениях x угловой коэффициент касательной к графику данной функции равен 12 .

Найдем производную: y ' = (4x 3 )' = 12x 2 , и решим уравнение 12x 2 = 12, x1 = – 1, x2 = 1.

Чтобы быть касательной, данная прямая должна касаться графика данной функции в точке с абсциссой – 1 или 1, а значит, хотя бы одно из данных чисел – корень уравнения 4x 3 = 12x – 10 . Подставляя их в данное равенство, получаем соответственно – 4 = – 12 – 10 и 4 = 12 – 10. Ни – 1, ни 1 не являются корнями, значит данная прямая не является касательной.

Ответ: Прямая y = 12x – 10 не является касательной к графику функции y = 4x 3 .