Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера Текст научной статьи по специальности «Математика»

В работе предложены и исследованы математические модели водного режима в почвогрунтах с фрактальной структурой . В основе моделей лежат дифференциальные уравнения дробного порядка.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Беданокова Саида Юрьевна

Текст научной работы на тему «Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера»

УДК 517.958:531.34 ББК 22.1 Б 38

Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера

В работе предложены и исследованы математические модели водного режима в поч-вогрунтах с фрактальной структурой. В основе моделей лежат дифференциальные уравнения дробного порядка.

Фрактальная структура, уравнение диффузии, оператор дробного дифференцирования, локальные краевые условия, нелокальные краевые условия, градиент влажности, влагосо-держание.

Хорошо известно, что одной из важнейших характеристик почв, оказывающих влияние практически на все почвенные свойства, является их влажность. При изучении структурных свойств почв методом малоуглового рассеянья нейтронов была установлена их фрактальная организация [1], [2], обнаружено влияние влажности на фрактальные свойства почвенных коллоидов. Зависимость фрактальной размерности почвы от влажности существенно может повлиять на процесс нестационарного движения влаги в этой капиллярно-пористой среде. Обычно движение влаги в почве моделируется нелинейным уравнением диффузии, основанным на законе Дарси. Оно имеет следующий вид [3]

Здесь w = w(х, t) - влажность в долях единицы, х - глубина, t - время, Б = Б^) - коэффициент диффузитивности.

Коэффициент диффузитивности связан с давлением р = р(м) почвенной влаги, с плотностью р и ускоренной силы тяжести формулой

где к = к^) - коэффициент влагопроводно-сти.

Уравнение движения влаги в почвах с фрактальной структурой можно получить, если модифицировать известную схему М. Аллера [4], приводящую к уравнению

с варьируемым коэффициентом А .

Действительно, пусть разность уе - у эффективного потенциала уе и капиллярного потенциала влажности у пропорциональна «фрактальной скорости изменения влажности» да^(х, т), где д^ - оператор дробного (в

смысле М. Сари1ю) дифференцирования по t порядка а е]0,1[ с началом в начальный момент времени t = 0 [5]. Таким образом

да ,х \(t -т)-а дw(x, т)

где д ) коэффициент пропорциональности, зависящий только от времени t, Г(г) -гамма функция Эйлера и предполагается, что роль уравнения течения однокомпонентной сжимаемой жидкости играет уравнение

д ( Л даtw(х т) = д- к

Из (1) и (2) получаем модифицированное уравнение движения влаги

ЭоХх, х) = дх [В(м;>х([О + кцдо^х(хТ)] (3)

В( м>) = к ^ ^, кц = М*(Н

Уравнение (3) в какой то степени отражает, в первую очередь через параметр а, фрактальные свойства почвенных коллоидов.

Для почв типа Гарднера [6], [7] коэффициент диффузитивности

где в и 7 - параметры, характеризующие почву.

В силу (4) можно предположить, что в слое 0 < х < г с небольшой влагоемкостью между Б^) и w существует линейная зависимость и записать приближенное равенство

В случае (5) уравнение (3) допускает следующую запись:

Предположим, что известно влагосодержа-ние 8(t) в начальный момент времени

и нелокальное краевое условие (11) с правой частью /1^)е С1[0,Г]. Тогда уравнение (8)

можно записать в виде

да ад - о(і )8(*)=/ (і ), о < * < т, (14)

8(і) = Іw(х, і)dx, 0 < і < Т

- влагосодержание несущего слоя [0, г] в момент времени і от начального 0 до расчетного Т; кц не зависит от х, тогда уравнение (6)

можно приближенно заменить уравнением следующего вида

д х т) = Р(1 + У8) —^ + кцд о>хх(x, т) . (7)

Из уравнения (7) после интегрирования обеих его частей по х от 0 до г будем иметь

Уравнение (8) для уравнения (3) порождает следующие локальные и нелокальные краевые условия:

с(і) = Ру/1 (і ), / (і ) = Р/1 (і ) + кцд 1/1 (т).

С учетом начального условия (13) для нахождения 8(і) получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

8(і) - с(т)8(і) = 80 + Б-?/(т) . (15)

Здесь и в дальнейшем БХ - оператор Ри-мана-Лиувилля [5].

Уравнение (15) имеет и притом единственное решение 8(і) . Метод итерации или метод последовательных приближений позволяет найти это решение с любой наперед заданной точностью.

Рассмотрим модифицированное уравнение движения влаги (3) с постоянным коэффициентом диффузитивности Д когда влажность меняется в небольшом диапазоне, и постоянным коэффициентом Аллера кц