Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

1 Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется, если B 0. A Действительно, если B 0, то, B т.е. иррациональное число оказалось равно рациональному, что невозможно. Таким образом, B 0, а следовательно, и A 0. Решая систему 4a b 4 0 a b 8 0, находим a, b. Ответ: a, b. Найдите рациональные p и q при условии, что один из корней уравнения p q 0 равен. Ответ: p q. Может ли квадратное уравнение a b c 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный? Первое решение. Рассмотрим уравнение b 4ac. Так как нечетное число, а 4 ac - четное, то b и, следовательно, b нечетное число, т.е. b, Z. Тогда ( ) 4ac ; 4( ac). Последнее уравнение не имеет решений, так как не делится на 4. Второе решение. Перепишем уравнение b 4ac в виде b 5 4ac и разложим обе части уравнения на множители: ( b 5)( b 5) (ac ). (*) Так как в правой части уравнения число четное, то и в левой тоже четное, следовательно, b 5 и b 5 одновременно четные (докажите), т.е. b 5 m, b 5. Левая часть уравнения (*) делится на 4, а правая нет, поэтому уравнение b 4ac не имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение b 4ac в виде b 4ac или b 4( ac 5). Получили, что квадрат натурального числа при делении на 4 дает остаток, что невозможно (докажите). Ответ: не может..4. (00). Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена f ( ) (a 0) 5b 4 и его значение при являются простыми числами. Найдите а, b и корни трехчлена f (). Решение. Обозначим a 0 p, 5b 4 q. Тогда значение трехчлена при есть f ( ) p q. Пусть и - корни трехчлена,. Воспользовавшись формулами Виета q, p, запишем выражение f () в виде f ( ) ( ) и преобразуем его, разложив правую часть на множители: f ( ) ( ) ( )( ). Так как f (), и по условию являются простыми числами, то числа и - натуральные и меньшее из них должно быть равно. Следовательно,, откуда. Тогда f ( ), т.е. и - два последовательных простых числа, что возможно только если этими числами являются и. Итак,, поэтому p a 0 5, q 5b 4. Из двух последних равенств находим a 5, b 4. Ответ: a 5, b 4. 5. (00). Квадратный трехчлен f ( ) p q имеет два различных целых корня. Один из корней трехчлена и его значение в точке являются простыми числами. Найдите корни трехчлена. Ответ: ;.

2 .. (00). Найдите все такие целые а и b, что корни уравнения (a 9) b 5 0 являются различными целыми числами, а коэффициенты a 9 и b 5 - простыми числами. Решение. Обозначим корни квадратного уравнения через m и. По теореме Виета m b 5 - простое число, тогда m, ( b 5). Тогда a 9 (b ) ( b ). Поэтому простое число a 9, откуда a. Тогда b, т.е. b. Ответ: a ; b.. Уравнения первой степени с двумя неизвестными.. Решите уравнение 4 в целых числах. Ответ: 4,, Z. (00). Найдите все целые решения уравнения 79 7, удовлетворяющие неравенствам 0, Решение. Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида. Имеем 79. Перепишем уравнение в виде ( ) 7. Обозначим u, u 7. Можно вновь разделить на с остатком, а лучше так: 9. Получаем (u ) 9u 7. Обозначим u, 9u 7, 9 9. Получаем уравнение 9( u ) 9 7, u ; 9 9 7, 9( ) 7, t. Наконец, получаем уравнение 9t 7. Это уравнение имеет решение: 7 9t, где t любое целое число. Проделываем обратные действия: t t 4 8t 9t 4, u t 9, u t 04, u 79t. Таким образом, 79t, t 04, где t любое целое число. Из условия 0, 00, т.е. из системы 79t 0 t найдем t, затем 5;. Ответ: 5;.. Уравнения второй степени с двумя неизвестными.. (МГУ, 007). Найдите все целочисленные решения уравнения Указание. Уравнение приводится к виду ( 7) 4( 4) 5. Ответ: ( ; 4); ( ; 4); ( 0; ); ( 4; ); ( 0; ); ( 4; ). Решите уравнение в целых числах. Ответ: ( 0;0); ( 4;). (МФТИ, 004). Найдите все пары целых чисел и у, удовлетворяющие уравнению Ответ: ( ; 5); ( 4;5); ( 4; )..4. Решите в целых числах уравнение Ответ: ( ; )..5. Решите в целых числах уравнение 00. Ответ: ( 0;0); ( 0;0); ( ;); ( 7;); ( 8;4); ( ;4); ( ; ); ( 7; ); ( ; 4); ( 5;5); ( 5; 5). Уравнение решите в натуральных числах. Ответ. 7. Найдите все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению. Первое решение. Пусть целые числа х и у таковы, что, тогда отсюда получим. Поскольку х и два последовательных целых числа, то число у может быть целым только тогда, когда, т.е. 0 или. Тогда

3 получаем 0 или соответственно. Второе решение. Приведем уравнение к виду ( ) или ( )( ). Отсюда получаем две системы. ) 0 ) 0 Ответ: 0, 0;. 8. Решите уравнение в целых числах. Указание. ( )( ). Ответ:, 0;.9. (ММО, 94, 9-0 классы). Решите в целых числах уравнение. Указание. Преобразуйте уравнение к виду ( ) ( ) ( ). Ответ: ( 0;0);(;0);(0;);(;);(;);(;)..0. Решите в натуральных числах z 4, систему уравнений z 9. Решение. Вычитая из второго уравнения системы первое, получим: z z 5, или z z, ( )( z ). Будем искать лишь решения, удовлетворяющие условию z (остальные решения получаются перестановкой значений и z). При таком соглашении последнее уравнение сводится к одной из следующих двух систем: или z z. Из первой системы, z 7, а из второй, z 4. Подставляя эти значения и z в одно из уравнений заданной системы, получим соответствующие им значения 5 или 7. Ответ: ( 5;;7);(5;7;);(7;;4);(7;4;). (Московская математическая регата, 005/00, класс). Найдите все целые решения уравнения: 0. Первое решение. Преобразуем данное уравнение, выразив переменную у через переменную х: ( ) ;, так как 0 при любых целых значениях х. Для того, чтобы у было целым, необходимо и достаточно, чтобы дробь принимала целые значения. Заметим, что НОД ( ; ) НОД ( ; ), поэтому числа и - взаимно простые. Следовательно, выражение принимает целые значения, если. Таким образом, решения данного уравнения: 0; и ; 0. Второе решение. Запишем данное уравнение как квадратное относительно переменной х: ( ) ( ) 0. Его решения: ( ) D, где D ( ) ( ) ( ). Для того, чтобы х было целым, необходимо и достаточно, чтобы D являлось квадратом целого числа. Это возможно только, если D 0 или 0, так как в остальных случаях число ( ) находится в интервале между двумя соседними квадратами: ( ) и. Если, то 0; если 0, то. Третье решение. Преобразуем данное уравнение, выделив квадрат трехчлена: ( ) 0 ( ) ( ). По доказанному выше ( ) является квадратом целого числа тогда, и только тогда, когда 0 или. Если, то 0; если 0, то. Ответ: 0; или ; 0. (00) Решите в целых числах уравнение 9.

4 Решение. Преобразуем уравнение: ( ) 9. Так как х целое, то 0, поэтому выразим у через х: 9 5. Поскольку х и у целые числа, то число - тоже целое. Значит, делитель, т.е. ), ; ), 0; ), ; 4),. Ответ: ( ;9),(;8), (0;), ( ; ). (00). Найдите все целые решения уравнения 4 7. Решение. Разложим левую часть на множители: 4 7 ( )( 7). Имеем ( )( 7). Поскольку можно представить в виде произведения двух целых чисел с учетом порядка четырьмя способами, то получаем четыре системы: ) ) 7 7 ) 4) 7 7 Целочисленные решения имеют лишь -я и -я системы. Ответ: ; или ;..4. (ММО, 94, 7 класс). При каких натуральных числах а существуют такие натуральные числа х и у, что a? Указание. Положим t, тогда t рациональное число, являющееся корнем уравнения t at 0. Но тогда a a 4 t. Число a 4 при целом а может быть рациональным только при a. Ответ: a..5. (ММО, 98, 7 класс). Найдите все пары целых чисел ( ; ), удовлетворяющих уравнению. Указание. Представим уравнение в виде ( ) или ( ), ( )( ). Заметив, что каждая скобка четное число, получаем 4 возможности, оттуда следует ответ. Ответ: ( 4;); (4; );( 4;);( 4; ). Решите в целых положительных числах уравнение Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное ( 7) 84 0 относительно у, найдем дискриминант D 9 87 ( ) 88, который должен быть точным квадратом, т.е. ( ) 88 u. Отсюда следует, что u. Положим, u ( ), где натуральное число. Тогда получаем: ( ) 88 (( ) ), или ( ) 88, откуда видно, что число четное. Пусть l, где l натуральное число. Тогда находим: 7 l ( ) l 7, или l. (*) l 7 Отсюда видно, что число должно l быть натуральным, т.е. l должно быть делителем числа 7. Возможные значения для l. 4,, 8, 9,, 8, 4,, 7. Из них надо взять лишь такие, для 7 которых число l кратно. Этому l условию удовлетворяют лишь числа l, l 8, l 9, l 4. Затем из (*) находим для х два значения: и. Из исходного уравнения найдем соответствующие (только натуральные) значения у. Ответ: ( ;0); (;0). 4

5 4. Уравнения высшей степени 4.. Уравнение 9z 0 решите в целых числах. Ответ: z Решите в целых числах уравнение 4 z 0. Ответ: ( 0;0;0). 4.. Решите уравнение в целых числах. Ответ: ( ;); ( ; ) Решите в целых числах уравнение 0. Ответ: ( ;); ( ;); ( ; ); ( ;) Уравнение 9 решите в целых числах. Решение. Данное уравнение перепишем в виде ( )( ) 7. Поскольку 0, 4 то возможны только следующие четыре случая: 5 ) ) 4 4 ) 7 Нет решений. 9 4) Нет решений. Ответ: ( 5;),( ; 5),( ;4),( 4;). 4.. Какие целые положительные числа могут удовлетворять уравнению z z? Решение. Для определенности пусть z. Из данного уравнения получаем z z. Рассмотрим случай равенства z z,, откуда или При этих значениях х. и у получаем из данного уравнения z. Все эти значения не соответствуют нашему условию z. Теперь пусть z z,. Поскольку 0, возможны только следующие варианты:, или,. Для первого варианта получаем из данного уравнения z 0, что не соответствует условию задачи. Для второго варианта z. Таким образом, при условии z исходное уравнение имеет одно решение,, z. Все остальные решения получаются из этого перестановками значений неизвестных,, z. Ответ: ( ; ;),(;; ), ( ;;),(;;), ( ;;),(; ;) Решите в целых числах уравнение Указание. Перепишите уравнение в виде 9( 00 ) 84( ). Правая часть кратна 7, поэтому кратно 7. Но кубы чисел при делении на 7 не дают в остатке. Ответ: нет решений (00). Найдите все решения в натуральных числах ( ) 4. Решение. Перепишем данное уравнение в виде (учитывая, что 0; 0 ) 4. ( ) Для того чтобы х было целым числом, знаменатель ( ) должен быть одним из делителей числа 4, потому что у не может иметь общие множители с. 5 Поскольку 4, то 4 делится только на следующие числа, являющиеся точными квадратами. 9. Таким образом, число ( ) должно быть равно, 9 или 8, откуда находим, что у равно 8 или. Значит, 5

6 или Ответ: 4; 8 или 54; (00). Решите в целых числах уравнение m 0 5 m. Решение. Перепишем данное уравнение в 5 виде m( ) 0. () Если 0, то m 0. Первое решение уравнения () найдено. Если 0, то и m 0. Заметим, что если пара чисел m ; ) решение уравнения ( 0 0 ( m0; 0 (), то и пара ) - тоже решение уравнения (). Пусть 0 и m 0, тогда. Перепишем уравнение () в виде m( )( ) 0 5. () Так как ни, ни не делятся на, то m делится на. Обозначим m p. Разделив равенство () на, имеем: 5 p ( )( ) 0. () Число не может быть четным, так как в этом случае два соседних нечетных числа и не могут являться степенями числа 5. Следовательно, число нечетное, а и - два соседних четных числа, не имеющих простых делителей, кроме и 5. Выпишем первые два столбца четных чисел так, чтобы в первом столбце стояли числа, не имеющие делителей, кроме и При этом во втором столбце, начиная с третьей строки, все числа имеют простой делитель, кроме и 5. Это означает, что из выписанных множителей и только две пары чисел удовлетворяют условию, т.е. и 9 отвечают условиям задачи. Для последней строки таблицы из равенства () получим p 5, что невозможно. Поэтому поиск значений закончен. При из равенства () получим, что p 500, тогда m p При 9 из равенства () получим, что p 50, тогда m p 50. Ответ: m ; 5 90 или m 7500; или m 0; 0 или m 7500; или m 50; (00). Найдите все натуральные числа х и у, для которых выполняется 4 равенство. Решение. Представим левую часть в виде Умножая обе части уравнения на 4, получаем Таким образом, 8 8 4,. Умножим обе части исходного равенства на 4, а затем, используя 4 будем , или 0, откуда. Осталось проверить для х значения. Ответ: ;. *** иметь 5, Теорема. Если ab d, а, b и d натуральные числа, и числа а и b взаимно просты, то а и b точные квадраты. 4.. (ММО, 00, 9 класс), (МИОО, 00). Решите в целых числах уравнение m 4. Решение. Если ( m ; ) - решение данного уравнения, то ( m; ), ( m; ) и ( m; ) тоже решения. Поэтому будем искать только неотрицательные решения. Из записи m 4 следует, что m нечетное число, m t. Перепишем уравнение в виде

7 m 4 ( m )( m )( m ) t (t ) (4t 4t ). Отсюда 8t ( t ) (t t ), т.е. четное число, p. Далее получаем уравнение t ( t ) t( t ) p. Нетрудно проверить, что числа t, t и t ( t ) попарно взаимно просты. Действительно, пусть, например, d t и d t( t ), тогда d делит и t ( t ), а, значит, и разность t ( t ) t( t ). Взаимная простота двух остальных пар доказывается аналогично. Произведение этих взаимно простых чисел полный квадрат. Согласно теореме каждое из них также является полным квадратом. Итак, t и t - полные квадраты. Это возможно только при t 0. Действительно, если t, t, где 0, 0, то ( )( ), поэтому,, так что 0, следовательно, t 0. Тогда и p 0. Значит, m ; 0. Ответ: m ; (00). Существуют ли рациональные числа,, u, v, которые удовлетворяют уравнению u v 7 5? Решение. Так как 5 4 ( ) 5 ( ) 0 ( ( ) ( ) ( ) A B, 5 4 ( ) 5 ( ) 0 ( ( ) ( ) ( A B, то выполняется ) u v 7 5. Но 7 5 0, а левая часть положительная. Противоречие. ) ) Следовательно, исходного равенства быть не может. Ответ: таких чисел нет. 4.. (ММО, 97, 9 класс). Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, которые удовлетворяют уравнению a b c d 5 4 (где натуральное число)? Ответ: таких чисел нет (00). Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения, при которых уравнение 00 ( ) имеет натуральные решения. Решение. При любом пара, не является решением. Поэтому ( ) ( ) () ( ). Значит, 00. Предположим,. Тогда найдется простое число р, такое что p a, m p b, и числа a и b не делятся на р. Для определенности можно считать, что m 0. m 00 m Тогда ( p a p b ) ( p ab) ; ( m) 00 ( m) m00 ( p a b ) a b p. (*) Из условий 00 и m получаем: ( m) m 00 ( 00m) m( 00) Значит, правая часть равенства (*) целое число, которое делится на р. Левая часть на р не делится. Противоречие. Пусть теперь, тогда из равенства ( ) 00 ) ( получаем: Откуда q, q 0. и q ( 00) 005. Поэтому 00 натуральный делитель числа 005. По условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение. Поэтому нужно взять 00 и , откуда 0 и 05. При 0 005, при 05. Ответ: 0; (00). Найдите наименьшее и наибольшее натуральные значения, при которых уравнение 7

8 0 l( ) l( ) имеет натуральные решения. Указание. Привести уравнение к виду 0 ( ) Ответ: 0; (ММО, 958, 0 класс). Решите в целых положительных числах уравнение ( ) ( ). Указание. Если, то (второй корень квадратного уравнения отрицателен). Пусть. Числа х и одной четности, поэтому ( ) четно:. Получаем: ( ) () ( ), откуда несложно увидеть (раскрыв скобки), что у кратно при. Разделив теперь обе части уравнения на (), получим:. Отсюда, а потому у не может делиться на. Значит, при решений нет. Ответ: ; (МГУ, 989). Найдите все целые числа х и у, удовлетворяющие равенству Решение. Разложим левую часть уравнения на множители ( ) ( )( 5) 7 5 ( ) ( ( ) )( ( ) ). Откуда следует, что искомые числа удовлетворяют хотя бы одному из уравнений ( ) 0 или ( ) 0, которые приводятся к виду ( )( ) 5 или ( )( ) 7. Решая эти уравнения в целых числах, получаем четыре пары чисел. Ответ: ( 0; ),( ;0),(0;),(;) (МГУ, 989). Найдите все целые числа х и у, удовлетворяющие равенству Ответ: ( ;),( 4;0),(0; 4) (МГУ, 979). Найдите все тройки целых чисел ( ; ; z), для каждой из которых выполняется соотношение ( ) z z. Решение. Из условия следует, что ( ), т.е. ( ). Поскольку ( ) является квадратом целого числа, то ( ) равно либо 0, либо, либо 4, либо 9. Перепишем исходное уравнение в виде ( ) ( z )( ) 7. Если ( ) 0, то ( z )( ) 7. Так как 7 число простое, то последнее равенство выполняться не может. Если ( ), то ( z )( ) 4. Поскольку z,, то возможны две системы z z 7 или которые 7, не имеют решений в целых числах. Если ( ) 4, то ( z )( ) 5, откуда следует система z 5 5, которая не имеет решений в целых числах. Если ( ) 9, т.е. если или 0, то ( z )( ) 0. Так как z,, то отсюда следуют две системы z 5 z или первая из 5, которых не имеет решений в целых числах. Из второй системы получаем, что либо z 0,, либо z 0,. Следовательно, исходному соотношению удовлетворяют четыре тройки чисел. Ответ: ( ;;0),(; ;0),(0;;0),(0; ;0 ).

9 4.0. (МГУ, 979). Найдите все тройки целых чисел ( ; ; z), для каждой из которых выполняется соотношение 5 z z 0. Ответ: ( ;5;0),(; 5;0),( ;5;0),( ; 5;0). 5. Дробно-рациональные уравнения 5.. Решите в натуральных числах уравнение. z Решение. Поскольку неизвестные,, z входят в уравнение симметрично, то можно считать, что z. Остальные решения получатся перестановками неизвестных. Тогда, т.е.. z Очевидно, что. Пусть, т.е.. Также ясно, z что. Если, то z. Если 4, то z 4. Если 5, то даже, т.е. других решений при 5 5 нет. Если, то. z Пусть, тогда z. Если 4, то даже, т.е. других решений при 4 4 нет. Следовательно, данное уравнение с учетом перестановок имеет десять решений. Ответ: ( ;; ); ( ;4;4); ( 4;;4); ( 4;4;); ( ;; ); ( ;;); ( ;; ); ( ;;); ( ;;); ( ;;). 5.. Решите в натуральных числах уравнение. Указание. Выразите из уравнения у и исследуйте полученную функцию. Ответ: ( 4;4); ( ;); ( ;). 5.. (МИОО, 00). Найдите все пары натуральных чисел разной четности, удовлетворяющие уравнению m Решение. Пусть m. Приведем уравнение к виду m m m m ( m )( ), причем числа m и - разной четности. В качестве возможного разложения 4 pq, где р нечетно, а q четно, имеем следующие варианты: ) p m q m 5 p m m 5 ) q p 9 m 9 m 5 ) q 0 4) p 0 m 0 q 0 0 ( m )( ). Неизвестные m и входят в уравнение симметрично. Поэтому получаем ответ. Ответ: ( ;5); ( 5;0); ( ;8), ( 5;); ( 0;5); ( 8;) (МИОО, 00). Решите в натуральных числах уравнение, где m. m 5 Ответ: m 50; 0 или m 50;.. Иррациональные уравнения.. (Московская математическая регата, 00/00, класс). Найдите все целые решения уравнения 00. Решение. Исходное уравнение равносильно системе: ( 00) 00 9

10 По условию, х целое число, поэтому t - также целое. Чтобы уравнение t t ( 00 ) 0 имело целые решения, необходимо, чтобы дискриминант D 4( 00 ) являлся полным квадратом. Так как второе слагаемое, в свою очередь, при всех целых значениях у является полным квадратом, то следующее за ним натуральное число является квадратом тогда и только тогда, когда ( 00 ) Откуда t 0 или t, то есть, 0. Ответ: 0; Решите в целых числах уравнение 98. Решение. Из уравнения видно, что 0 98, Представим уравнение в виде 98 и возведем обе части уравнения в квадрат: 98 98, Отсюда 4a, a, где а целое неотрицательное число. Так как 98, то a 98, a 49, 0 a 7. Для каждого из значений а получаем значения х, и затем значения у. Ответ: ( 0;98); ( ;7); ( 8;50); ( 8;); ( ;8); ( 50;8); ( 7;); ( 98;0). 7. Показательные уравнения 7.. (00). Найдите все пары натуральных чисел m и, являющиеся решениями уравнения m. Решение. При любом число при делении на 8 дает остаток, а число при делении на 8 дает остаток 4. m Так как при m число делится на m 8 без остатка, то равенство возможно при m или m. Если m, то получаем 0. Если m, то получаем. Ответ: m,. 7.. (00). Найдите все пары натуральных чисел m и, являющиеся решениями уравнения m. Решение. Пусть четное число, т.е. m. Тогда ( )( ). Правая часть произведение двух последовательных четных чисел, каждое из которых является степенью числа. Значит, и 4, откуда и. Тогда m. Пусть теперь нечетное число. Нечетная степень тройки при делении на 4 дает остаток. Значит, делится на 4 с остатком. Так как при m m число делится на 4 без остатка, то равенство m возможно в случае m. Тогда. Ответ: m, или m. 7.. (00). Решите в натуральных числах уравнение 5. Решение. Рассмотрим два случая. ) (х нечетное число). Поскольку при делении на дает в остатке, то и дает в остатке, а дает в остатке. Число 5 делится на, следовательно, левая часть уравнения при делении на дает в остатке. Правая часть (квадрат числа) дает при делении на в остатке 0 или (докажите). Таким образом, равенство невозможно (левая и правая части дают при делении на разные остатки). ). Тогда 5, откуда 5. Оба множителя слева целые и положительные (так как второй множитель положителен), второй больше первого. Возможны два варианта: и 5 5 Решая эти системы, получаем ответ. Ответ: ( 4;);(;7) Решите в целых числах уравнение. Ответ: ( ;);(; );(0;0) (00). Решите в целых числах уравнение 8. Ответ: 0; или 0;. 7.. (00). Решите в целых числах уравнение. 0

11 Решение. При получаем уравнение, которое не имеет решений в целых числах. Если 0, то. При уравнение не имеет решений в целых числах. Если, то уравнение не имеет решений, так как левая часть данного уравнения принимает значения из промежутка ( ;). Пусть. Как известно, четные степени двойки дают при делении на остаток, нечетные. Отсюда следует, что делится на без остатка, а число при делении на дает такой же остаток, как у. С другой стороны, квадраты целых чисел не могут давать при делении на остаток. Таким образом, четное. Положим d, d N и перепишем уравнение в виде d d 4 4. Отсюда следует, что нечетное, т.е., N. Получаем уравнение d d ; d d 4 ( 4 ) 4( ); 4 ( 84 ) ( ), где d. Причем 0, так как при d, т.е. 0 последнее уравнение не имеет решений. Из чисел х и только одно четное, и оно делится на 4. Если m4 (причем m нечетное, m N ), то имеем 4 ( 8 4 ) m 4 ( m 4 ); 8 4 m 4 m; (8 m ) 4 m. Сравнивая знаки левой и правой частей последнего уравнения, получаем одно нечетное m, которое не является решением. Если m4 (причем m нечетное, m N ), то имеем 4 ( 8 4 ) ( m 4 ) m4 ; 84 m 4 m; ( m 8) 4 m. Выражение m 8 неотрицательно при натуральных m. Если m, то (что приводит к решению исходного уравнения 4; ). При натуральных m 4 будет m 8 m, и решений нет. Ответ: 0; или 4; (ММО, 998, класс), (МИОО, m 00). Решите уравнение 4 5 в натуральных числах. Ответ: m. 8. Уравнения смешанного типа 8.. (МИОО, 00). Найдите все пары натуральных и таких, что и. Указание. Приведите уравнение к виду. Ответ:, (МГУ, 979). Найдите все целые корни уравнения cos Решение. Из данного уравнения получаем , Z. 8 Отсюда приходим к иррациональному уравнению , которое равносильно системе ( ), 0;, Z Уравнение системы приведем к виду ( 5) 8 5. (*) 5 5 Так как ( 5)( 5), то уравнение (*) 9 9 имеет вид 8( 5)( 5) 9( 5) 5 или ( 5)(8( 5) 9) 5. Последнее равенство означает, что 5 является делителем числа 5, т.е. 5 есть одно из чисел, 5, 5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это возможно только если равняется одному из

12 чисел 0,, 0. Соответствующие значения х находятся из равенства (*):, 7, 5. Условию 0 удовлетворяют значения 0, и 7,. Ответ:, (МГУ, 979). Найдите все целые корни уравнения cos Ответ:, Уравнения, содержащие знак факториала 9.. (МИОО, 00). Решите в натуральных числах уравнение! 5, где. произведение всех натуральных чисел от до. Решение. Предположим, что 5. Тогда! делится на и 5, а значит десятичная запись числа в левой части оканчивается на или на 8. Перебор по последней цифре показывает, что квадрат целого числа не может оканчиваться ни на, ни на 8. Наконец, перебирая от до 4 находим единственное решение. Ответ: ; Уравнение!! ( )! решите в целых числах. Решение. Рассмотрим случай, когда, тогда! ( )( ). ( )( ). ( Поделив обе части этого уравнения на!, легко заметить, что правая часть делится на, а левая не делится, т.е. в этом случае данное уравнение не имеет решений в целых числах. Аналогично рассматривается случай, когда. Пусть, т.е.! ()! Поделив обе части этого уравнения на!, получим ( )( ). т.е., а следовательно, и. Ответ. ). 9.. (Московская математическая регата, 00/004, класс). Найдите все натуральные значения, для которых выполняется равенство. Решение. Запишем данное уравнение в виде ( )( ) ( )( )( ). Так как не является его решением, то разделим обе части уравнения на ( ). Получим, что ( )( ). Проверяя последовательные натуральные значения, начиная с, получим, что решением уравнения является 5. Так как для всех 5 верно, что 4 ( ), то ( ) ( )( ). поэтому других натуральных решений данное уравнение не имеет. Ответ: Уравнения с простыми числами 0.. Уравнение решите в простых числах. Решение. Так как - четное число, то х нечетно, и потому число ( )( ) делится на 4. Следовательно, у четное число, и поскольку х и у должны быть простыми числами, то, а потому. Ответ. 0.. Решите в простых числах уравнение z. Решение. Число z больше, так как если z, то, а это не возможно. Тогда z нечетно, а следовательно, число х четно. Но х - простое, поэтому. Получаем уравнение: z. Если у нечетно, то сумма делится на, причем частное от такого деления больше ; но в этом случае z составное. Значит, число у четное, т.е.. Находим z 5. Ответ. z 5.

13 . Неразрешимость уравнений.. Докажите, что уравнение!! 0z 9 не имеет решений в натуральных числах. Решение. Так как правая часть уравнения нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или х, или у меньше. Пусть для определенности,, т.е.! 0z 8. Правая часть последнего равенства не делится на 5, а потому 4, но ни одно из натуральных чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения. Итак, данное равнение не имеет решений в натуральных числах. (ВМО, 99, 9 класс). Докажите, что уравнение 4( ) не имеет решений в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде ( ) 7( ) 4. Так как куб целого числа не может давать остаток 4 при делении на 7, то уравнение не имеет решений в целых числах. Замечание. Другие решения задачи можно получить, рассматривая остатки, которые могут давать числа х и у при делении на 4, или заметив, что из уравнения следует, что - делитель числа 4. (ММО, 94, 8-9 классы). Докажите, что выражение не равно ни при каких целых значениях х и у. Указание. Данное выражение преобразуйте к виду ( )( )( )( )( ). Полученные сомножители попарно различны. Но число нельзя разложить более чем на 4 различных сомножителя..4. (ММО, 949, 7-8 классы). Докажите, что равенство z z для целых чисел,, z возможно только при z 0. Указание. Правая часть равенства всегда делится на более высокую степень двойки, чем левая..5. Существуют ли целые числа m и, удовлетворяющие уравнению m 00? Указание. Не существуют, так как m нечетно или кратно 4, а 00 нет. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах. Указание. Рассмотреть остатки от деления левой и правой части на.