Решение задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поля Текст научной статьи по специальности «Математика»
Разработан способ решения задач вычисления собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с произвольной конфигурацией. При разработке способа численного решения задач используется метод точечных источников поля (МТИ). Предлагаемый способ основан на анализе числа обусловленности системы МТИ или погрешности численного решения задачи. Вводится понятие «критерий собственных значений ». Результатом работы является разработанный эффективный алгоритм решения задач на нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца . Показано, что при приближении параметра Гельмгольца к собственному значению задачи число обусловленности системы МТИ и погрешность численного решения резко возрастают. Определив зависимость погрешности численного решения задачи или числа обусловленности системы МТИ от параметра Гельмгольца, можно по расположению максимума для полученных зависимостей найти собственные значения уравнения Гельмгольца в заданной области. После нахождения собственного значения можно приступить к нахождению собственных функций . При этом, если собственное значение оказывается вырожденным, то есть ему соответствует несколько собственных функций , то, с учетом симметрии области решения, возможно нахождение всех собственных функций . Приведены результаты решения тестовых двумерных и трехмерных задач, на основании которых делается вывод об эффективности предложенного метода.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Щербакова Елена Евгеньевна
Solving eigenvalues problems for Helmholtz equation by point-source method
A method of problem solution of the eigenvalues and eigenfunctions for the Helmholtz equation in the domains with arbitrary configuration is worked out. In developing the approach of the numerical solution of problems, the point-source method (PSM) is used. The proposed method is based on the analysis of the condition number of the PSM system or error of the problem numerical solution. The concept of “ eigenvalues criterion” is introduced. The research result is a developed effective method an algorithm for solving problems of eigenvalues and eigenfunctions for the Helmholtz equation . It is shown that at the approach of the Helmholtz parameter to the problem eigenvalue, the condition number of the PSM system and the error of the numerical solution rise sharply. Therefore, the dependence of the condition number of the PSM system or the error of the problem numerical solution can be calculated from the Helmholtz parameter. Then, according to the position of the maximum of the obtained dependences, the eigenvalues of the Helmholtz equation in a given domain are found. It allows searching the eigenvalues . After finding the eigenvalues , it is possible to proceed to the determination of the eigenfunctions . At that, if the eigenvalue appears degenerate, that is some eigenfunctions correspond to it, then it is possible to find all the eigenfunctions taking into account the symmetry of the solution domain. The two-dimensional and three-dimensional test problems are solved. Upon the results obtained, the conclusion about the efficiency of the proposed method is made.
Текст научной работы на тему «Решение задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поля»
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE, AND MANAGEMENT
Решение задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца
методом точечных источников поля* Е. Е. Щербакова1**
1 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
Solving eigenvalues problems for Helmholtz equation by point-source method *** E. E. Shcherbakova1**
1 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation
Разработан способ решения задач вычисления собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с произвольной конфигурацией. При разработке способа численного решения задач используется метод точечных источников поля (МТИ). Предлагаемый способ основан на анализе числа обусловленности системы МТИ или погрешности численного решения задачи. Вводится понятие «критерий собственных значений». Результатом работы является разработанный эффективный алгоритм решения задач на нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца. Показано, что при приближении параметра Гельмгольца к собственному значению задачи число обусловленности системы МТИ и погрешность численного решения резко возрастают. Определив зависимость погрешности численного решения задачи или числа обусловленности системы МТИ от параметра Гельмгольца, можно по расположению максимума для полученных зависимостей найти собственные значения уравнения Гельмгольца в заданной области. После нахождения собственного значения можно приступить к нахождению собственных функций. При этом, если собственное значение оказывается вырожденным, то есть ему соответствует несколько собственных функций, то, с учетом симметрии области решения, возможно нахождение всех собственных функций. Приведены результаты решения тестовых двумерных и трехмерных задач, на основании которых делается вывод об эффективности предложенного метода.
Ключевые слова: метод точечных источников, собственные значения, собственные функции, уравнение Гельмгольца, фундаментальное решение, метод фундаментальных решений.
A method of problem solution of the eigenvalues and eigenfunc-tions for the Helmholtz equation in the domains with arbitrary configuration is worked out. In developing the approach of the numerical solution of problems, the point-source method (PSM) is used. The proposed method is based on the analysis of the condition number of the PSM system or error of the problem numerical solution. The concept of "eigenvalues criterion" is introduced. The research result is a developed effective method — an algorithm for solving problems of eigenvalues and eigen-functions for the Helmholtz equation. It is shown that at the approach of the Helmholtz parameter to the problem eigenvalue, the condition number of the PSM system and the error of the numerical solution rise sharply. Therefore, the dependence of the condition number of the PSM system or the error of the problem numerical solution can be calculated from the Helmholtz parameter. Then, according to the position of the maximum of the obtained dependences, the eigenvalues of the Helmholtz equation in a given domain are found. It allows searching the eigenvalues. After finding the eigenvalues, it is possible to proceed to the determination of the eigenfunctions. At that, if the eigenvalue appears degenerate, that is some eigenfunctions correspond to it, then it is possible to find all the eigenfunctions taking into account the symmetry of the solution domain. The two-dimensional and three-dimensional test problems are solved. Upon the results obtained, the conclusion about the efficiency of the proposed method is made.
Keywords: point source method, eigenvalues, eigenfunctions, Helmholtz equation, fundamental solution, method of fundamental solutions.
Введение. Важное прикладное значение при разработке электромеханических, оптоэлектронных и радиотехнических устройств имеют задачи математической физики. Ряд таких задач приводит к решению однородного уравнения Гельмгольца
Аи ( г ) + Ш ( г ) = 0 (1)
с положительным значением параметра Гельмгольца Х>0. Это широкий класс задач, связанных с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, тепловыми, электромагнитными и др.). Численное решение задач массой теплопереноса также приводит к уравнению Гельмгольца, уже с отрицательным значением параметра Х<0.
Работа выполнена в рамках инициативной НИР. E-mail: Sherbakovaee@mail.ru
The research is done within the frame of the independent R&D.
Важность решения уравнения Гельмгольца обусловлена также тем, что любые уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами приводятся к уравнению этого вида.
При решении ряда прикладных задач требуется нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с различной конфигурацией. Аналитическое решение таких задач, а также численное решение с использованием традиционных численных методов, может вызвать значительные трудности и не всегда целесообразно, особенно если область решения имеет сложную конфигурацию, а граничные условия содержат производную по нормали.
Одним из эффективных методов численного решения граничных задач для ряда уравнений эллиптического типа является метод точечных источников поля (МТИ) [1-7]. Этот метод применяется при моделировании электрических, магнитных, тепловых, концентрационных, упругих напряжений и других физических полей [8-17]. Преимуществом МТИ является его простота и значительно меньший объем вычислений в сравнении с традиционными численными методами решения граничных задач, такими, например, как метод конечных элементов (МКЭ). Применение МТИ может быть оправдано также при решении задач на собственные значения для уравнений эллиптического типа, например, уравнения Гельмгольца [18, 19].
Описание численного метода. Пусть в области О выполняется уравнение Гельмгольца (1), а на границе 5О области О заданы условия вида
где а, в, у — непрерывные функции, заданные на границе дО области О.
Для нахождения неизвестной функции и (г) можно использовать МТИ. Для этого на границе дО расположим N граничных узлов в точках с координатами г, а вокруг области О, на некотором удалении от ее границы, расположим N точечных источника поля с зарядами , в точках с координатами Я>-. Искомое поле приближенно представим в виде суммы
где g (г, Я>-) — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца. В трехмерном варианте
При решении двумерных задач фундаментальные решения [20] выражаются через модифицированные функции Бесселя второго рода (при Х<0):
g ( г, Я )= ^ К (7-Х| г - 4 ) (42)
или через функции Ханкеля нулевого порядка первого рода (при Х>0):
g (г,Я) = -Я^ (л/Х|г -Я\) . (4з)
Знак в (41) выбирается в зависимости от конкретных особенностей решаемой задачи. В зависимости от знака параметра X, аргумент экспоненты в выражении (7) будет либо действительным, либо мнимым числом.
При Х=0 уравнение (1) вырождается в уравнение Лапласа, а фундаментальное решение (41) для трехмерных
^ задач принимает вид g(г,Я) = 1/(4л|г -Я|); для двумерных задач в этом случае g (г,Я) = — 1п--- .
.о Решение g (г, Я) можно рассматривать как потенциал поля, созданного в точке г единичным точечным заря-
^ дом, находящимся в точке Я. При любых значениях зарядов функция и (г) удовлетворяет уравнению Гельмголь-
ца (1). Необходимо подобрать заряды таким образом, чтобы граничные условия (2) выполнялись во всех N гранич-
^ ных узлах. Для узла с номером ' условие (2) записывается в виде
В результате, записывая уравнение (5) для всех N узлов, получаем систему линейных алгебраических уравнений, систему МТИ. После решения системы (5) искомое поле U (r) приближенно находим с помощью формулы
U (r )=Z qg (r, Rj ) . (6)
Как известно, при некоторых положительных значениях параметра X краевая задача (1)-(2) для однородного уравнения Гельмгольца при однородных граничных условиях (при у(r) = 0) может иметь ненулевое решение.
Нахождение значений параметра X=Xn, собственных значений, соответствующих им решений, собственных функций данной краевой задачи является основной целью данной работы.
При у( r) = 0 система МТИ будет представлять собой систему однородных линейных алгебраических уравнений. Как известно, для существования ненулевого решения такой системы необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю. Однако ошибки округления, возникающие при вычислении детерминанта, приводят к тому, что при приближении параметра X к некоторому собственному значению наблюдается резкое уменьшение абсолютного значения детерминанта (а не его обращение в ноль) и, соответственно, резкое возрастание числа обусловленности системы МТИ. Это, в свою очередь, ведет к резкому возрастанию погрешности численного решения краевой задачи.
Таким образом, собственные значения краевой задачи можно приближенно установить в процессе получения зависимости от параметра Гельмгольца X детерминанта или числа обусловленности системы МТИ, или погрешности численного решения краевой задачи. Назовем эти параметры критериями собственных значений.
После того, как собственное значение найдено, можно приступить к нахождению собственных функций, соответствующих данному собственному значению краевой задачи. При этом можно поступить следующим образом. Задается готовое решение U0 (r) для однородного уравнения Гельмгольца. Таким решением может быть выражение,
соответствующее полю точечного заряда Q (42), расположенного за пределами области решения краевой задачи. Значения этого поля на границе дО области О используются в качестве правой части в граничном условии (2). Решение краевой задачи, полученное с помощью МТИ, при значении параметра X, равном одному из собственных значений X=Xn, можно представить в виде суммы U (r) = U0 (r) + u (r), где u (r) — собственная функция, собственное решение, соответствующее данному собственному значению. Отсюда следует, что собственная функция будет равняться разности между решением краевой задачи, полученным с помощью МТИ, и заданным решением U0 (r) однородного уравнения Гельмгольца:
u ( r ) = U ( r ) = U0 ( r ) . (7)
Разумеется, точность такого решения, вследствие плохой обусловленности системы МТИ, может оказаться не
очень высокой. Однако, как будет показано ниже, обычно эта точность оказывается вполне приемлемой. ^
Обычно данному собственному значению краевой задачи соответствует несколько собственных решений. В §
этом случае возможно нахождение всех собственных решений, соответствующих данному Хп. Для этого описанным <й
выше способом находятся собственные решения, соответствующие различным положениям заряда Q, задающего поле К
U0 (r). Затем, если это необходимо, между полученными собственными решениями производят ортогонализацию. К
Пример нахождения собственных значений для двумерной задачи. В качестве тестового примера рас- ^ смотрим нахождение собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для однородного уравнения Гельмгольца в круговой области радиусом r0. Как известно [21], собственные значения для этой задачи имеют вид н
где |nm — положительные корни трансцендентного уравнения Jn (|) = 0; Jn (ц) — функция Бесселя порядка п, ¡3
Каждому n>0 соответствует две собственные функции: и
u(nm (r)=Jn (, и (r)=Jn (sin^. (8) ц
При n=0 собственные функции обладают осевой симметрией и равны ¡й
u02(r )=J0 (rj^z). (9) л
При решении тестовой задачи начало координат располагалось в центре круговой области решения радиусом ^ r0=2. Точечные заряды, моделирующие искомое поле с помощью МТИ, равномерно располагались на вспомогатель-
ной окружности радиусом Л=3. Заряд Q, создающий известное поле и0 (г), располагался на оси X на расстоянии
р=2г0 от центра области При нахождении собственных функций иЩ> (г) заряд Q перемещается на ось У.
На рис. 1 приведены графики зависимости критериев собственных значений от значения параметра X. По оси абсцисс откладывается величина (Х-ХмуХ0Ь где Х01 — наименьшее собственное значение краевой задачи, соответствующее ц01 -2,405. По оси ординат откладывается либо величина С/Стах, где Стах — число обусловленности системы МТИ при Х=Х01 (кривая с квадратными маркерами); либо относительная погрешность £/£тах, где ещах — погрешность МТИ при Х=Х01 (кривая с круглыми маркерами); либо величина Вщш/В, где _Отт — детерминант (по абсолютной величине) матрицы системы МТИ при Х=Х01 (кривая с треугольными маркерами). Вычисления проводились при количестве зарядов, моделирующих поле, N=30.
Относительное значение параметра X
Рис. 1. Зависимости критериев собственных значений от относительной величины параметра X
Очевидно, что использование зависимости числа обусловленности С от параметра X для нахождения собственного значения краевой задачи наименее предпочтительно, так как максимум соответствующей кривой слабо выражен (максимальное значение от минимального отличается менее чем в 6 раз). Кроме того, изменение числа обусловленности происходит в очень узком интервале АХ значений параметра X (ЛХ—0,02Х01). Поэтому для нахождения собственного значения краевой задачи целесообразно использовать зависимость погрешности МТИ от параметра X, так как при этом возможно одновременное нахождение собственных функций.
Следует отметить, что при вычислениях, результаты которых представлены на рис. 1, использовалось число ц01 -2,405. При подстановке более точного значения этого параметра ц01 -2,4048255577 максимумы зависимостей, представленных на рис. 1, становятся более резкими. При выполнении тестовой задачи умышленно использовались приближенные значения собственных значений, так как при решении реальных задач, в процессе поиска собственных значений, задается шаг варьирования АX параметра X, который не может быть бесконечно малым. Реально возможно
2 только приблизиться к собственному значению. При этом собственное значение можно зафиксировать только, если
3 шаг варьирования АX окажется меньше ширины максимума на соответствующей зависимости.
§ Результаты, представленные на рис. 1, получены при количестве зарядов, моделирующих поле N=30. Вычис-
^ лительные эксперименты показали, что увеличение количества зарядов N не приводит к существенному улучшению
'й представленных на рис. 1 зависимостей. Более того, максимум зависимости числа обусловленности от параметра X
<3 становится еще менее выраженным. Поэтому при поиске собственных значений рекомендуется использовать неболь>
шое число зарядов, моделирующих поле.
^ При поиске последующих собственных значений Xпт, с большими значениями п и т, отмеченные выше осо-
бенности метода сохраняются с одним существенным дополнением. А именно, чем больше величина собственного значения, тем более узкими становятся соответствующие максимумы на кривых зависимости критериев собственных значений от значения параметра X. Поэтому, если для поиска X01, как видно из рис. 1, достаточно задать ширину варь-
ирования порядка ЛХ^0,1Х01, то при поиске Х03, как показали вычисления, шаг варьирования придется уменьшить до значения ЛХ^0,02Х03, что, естественно, приведет к увеличению объема вычислений.
Пример нахождения собственных значений для трехмерной задачи. В качестве другого тестового примера рассмотрим нахождение собственных значений задачи Дирихле для однородного уравнения Гельмгольца в кубе со стороной L=2. Для этой задачи собственные значения равны [21]
lnmk = t2 (n2 + m2 + k2)/L2 ; n = 1,2,3. ; m = 1,2,3. ; k = 1,2,3.
а собственные функции
unmk (x, y, z) = sin (-ЛПХ / L) sin (nmy / L)sin (idcz / L) .
Таким образом, собственные значения определяются величиной числа l = n2 + m2 + k2. Первому собственному значению с n = 1; m = 1; k = 1; l = 3 соответствует единственное собственное значение. Это собственное значение не
вырождено. Следующее по величине собственное значение, соответствующее l = 6, уже трижды вырождено.
При решении тестовой задачи точечные заряды, моделирующие искомое поле с помощью МТИ, равномерно располагались на поверхности вспомогательного куба со стороной Lq=1,3L. Заряд Q, создающий известное поле U0 (r), располагался на оси X на расстоянии p=L от центра куба.
На рис. 2 приведены графики зависимости относительной погрешности МТИ от относительного отклонения параметра Гельмгольца от собственного значения. По оси абсцисс откладывается величина (Х-Х0)/Х0, где Х0 — тестируемое собственное значение краевой задачи. Вычисления проводились при количестве зарядов, моделирующих поле, Ж=600.
Рис. 2. Зависимости относительной погрешности МТИ от относительной величины параметра X
На рис. 2 кривая с круглыми маркерами получена для первого по величине собственного значения, при 1=3; кривая с треугольнами маркерами — для следующего собственного значения, соответствующего 1=6. Как видно из рис. 2, кривая, соответствующая первому собственному значению имеет более резкий и более высокий максимум, чем соответствующая кривая, полученная для второго собственного значения. Для последующих собственных значений максимумы на соответствующих кривых становятся все более размытыми и менее выраженными.
Тестовый пример нахождения собственных функций. После того как собственное значение, например Х0Ь найдено, находится собственная функция краевой задачи (7). При этом необходимо иметь возможность контролировать погрешность получаемого результата. Для оценки погрешности собственной функции и(г), полученной с помощью МТИ, сначала производится нормировка этой функции и известной собственной функции (9), путем деления этих функций на их максимальные значения в области решения краевой задачи. После этого оценивается величина