Дидактический материал по теме "Квадратные уравнения" методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

3. Докажите, что число –7 не является корнем уравнения 2x 2 + x – 3 = 0.

4. Приведите пример квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0, у которого:

1) а>0, в 0; 4) а>0, в>0, с=0;

5. Назовите старший коэффициент и свободный член в уравнении:

а) 7х 2 + 6х+11=0; д) 6х 2 +7х=0;

б) -5х 2 + 4х+1=0; е)13х-9х 2 =0;

в) -7х + +2х 2 =0; ж) х 2 +5=0;

г) 0,3х 2 -11+0,25х=0; з) х 2 =0.

6. Замените данное уравнение равносильным ему квадратным уравнением:

а) 4х 2 -11=х 2 -11+9х;

7. Укажите неполные квадратные уравнения:

1) – 5,2x 2 = 0; 5) – 9x 2 – 15x – 4 = 0;

2) 19x 2 + 14x – 5 = 0; 6) – 35x 2 – 33 = 0;

3) 8x 2 + 17x = 0; 7) x 2 + 9x + 10 = 0;

4) x 2 – 2x – 3 = 0; 8) – 13x 2 – 11x – 1 = 0.

8. Сколько корней имеет каждое уравнение? 1) (х - 1)(х +11) = 0; 6) х² + 5 = 0; 2) (х – 2)² + 4 = 0; 7) 9х² - 1 = 0; 3) (2х – 1)(4 + х) = 0; 8) х² - 3х = 0; 4) (х – 0.1)х = 0; 9) х + 2 = 0;5) 16х² + 4 = 0; 10) 0,07х² = 0.

9. Решите неполное квадратное уравнение:

1) x 2 + 5x = 0; 5) 6x 2 = 0;

2) –x 2 + 8x = 0; 6) (x – 2)(x + 4) = 0;

3) x 2 – 9 = 0; 7) x 2 + 12x + 36 = 0;

4) –2x 2 - 11 = 0; 8) 4x 2 – 3x + 7 = 2x 2 + x + 7

10. Дифференцированная проверочная работа

Решите уравнение: на «3»

Решите уравнение: на «4»

а) 2х 2 - Зх + 4х 2 = 0

Решите уравнение: на «5»

б)(х-3)(2х-4) = х 2 -10х

в) (2х - 5)(3х + 7) = (х - 3)(2х +5)

11. Самостоятельная работа

1. Найти корни уравнения:

2. Решите уравнение:

3. Какие из следующих уравнений являются неполными? В случае неполного уравнения найдите его корни.

а) х 2 + 14х – 23=0;

4. Найдите сумму корней неполного уравнения 4х 2 +9х=0.

1. Математический диктант

1. Является ли уравнение 2х 2 – 3х +4=0 квадратным?

2. В уравнении 3х 2 +3х - 3=0 число 3 является свободным членом?

3. Является ли уравнение 2 – 4х + х 2 =0 приведенным?

4. Является ли число 0 корнем уравнения х 2 – х =0?

5. Является ли полным уравнение 5х + х 2 -1 =0?

6. Может ли квадратное уравнение не иметь корней?

7. Правда ли, что число 0 является корнем для любого квадратного уравнения?

2. Занесите в таблицу коэффициенты предлагаемых уравнений .

а - старший коэффициент

b - второй коэффициент

с - свободный член

3. Восстановите квадратное уравнение:

а - старший коэффициент

b - второй коэффициент

с - свободный член

4. Тест “Виды квадратных уравнений”

5. х 2 - 7х + 12 =0

5. Лабораторная работа (3 мин.)

Составьте квадратные уравнения, которые:

1. не имеют корней;
2. имеет один из корней, равный 0;
3. имеет два корня, равных по модулю, но противоположных по знаку;
4. имело бы один корень;
5. сумма коэффициентов уравнения равна 0.
6. Пример лабораторной работы:

1. Для каждого уравнения вида ax 2 + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 3х 2 + 6х – 6 = 0, б) х 2 - 4х + 4 = 0

2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 по формуле D = b 2 - 4ac.

5х 2 - 7х + 2 = 0, D = b 2 - 4ac = (-7) 2 – 4· 5 · 2 = …;

3. Закончите решение уравнения 3х 2 - 5х – 2 = 0.

D = b 2 - 4ac = (-5) 2 - 4· 3·(-2) = 49; х 1 = … х 2 =…

Решите уравнение: а) 6х 2 – 4х + 32 = 0; б) х 2 + 5х - 6 = 0.

Решите уравнение: а) -5х 2 – 4х + 28 = 0; б) 2х 2 –8х–2=0.

В) При каком значении а уравнение х 2 - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

1. Для каждого уравнения вида ax 2 + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 4х 2 - 8х + 6 = 0, б) х 2 + 2х - 4 = 0

2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 по формуле D = b 2 - 4ac.

5х 2 + 8х - 4 = 0, D = b 2 - 4ac = 8 2 – 4· 5 · (- 4) = …;

3. Закончите решение уравнения х 2 - 6х + 5 = 0.

D = b 2 - 4ac = (-6 ) 2 - 4· 1·5 = 16; х 1 = … х 2 =…

Решите уравнение: а) 3х 2 – 2х + 16 = 0; б) 3х 2 - 5х + 2 = 0.

Решите уравнение: а) 5х 2 + 4х - 28 = 0; б) х 2 – 6х + 7 = 0;

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

1. Найти сумму и произведение корней каждого из следующих уравнений:

1) х 2 — 9 х + 20 = 0; 2) х 2 + 2 х — 80 = 0;3) 12 х 2 — х — 1 = 0; 4) 2 х 2 + 13 х + 21 = 0.

2. Составить квадратное уравнение по данным его корням.

1) 5 и 2; 2) — 0,1 и 10; 3) 1 / 3 и — 1 / 4 ; 4) — 2 / 3 и — 2 / 3

Задание №3 (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1. х 2 + 7х + 10 = 0
2. х 2 – х – 20 = 0
3. х 2 + 6х – 7 = 0
4. х 2 + 11х + 24 = 0
5. х 2 + 17х + 70 = 0
6. х 2 – 7х – 30 = 0
7. х 2 + 10х – 11 = 0
8. х 2 + х – 12 = 0
9. х 2 + 11х + 28 = 0
10. х 2 – 4х – 21 = 0
11. х 2 + 4х + 3 = 0

1. х 2 + 7х - 18 = 0
2. х 2 + 6х + 5 = 0
3. х 2 -9х +14 = 0
4. х 2 + 13х + 42 = 0
5. х 2 + 2х - 3 = 0
6. х 2 – х – 12 = 0
7. х 2 + 12х + 35 = 0
8. х 2 -10х + 21 = 0
9. х 2 -х - 30 = 0
10. х 2 – 9х + 20 = 0
11. х 2 -11х + 24 = 0

Код : большему корню уравнения соответствует буква

Тест по теме «Теорема Виета»

а) х 2 - 4х + 3 = 0

б) х 2 - 12х + 11 = 0

в) х 2 + 5х + 4 = 0

г) При каком значении p один из корней уравнения х 2 - р х + 9 = 0 равен 1. Найти второй корень.

Тест по теме «Теорема Виета»

а) х 2 - 8х + 7 = 0

б) х 2 + 3х + 2 = 0

в) х 2 - 16х + 15+ = 0

г) При каком значении p один из корней уравнения х 2 - р х + 6 = 0 равен 1. Найти второй корень.

1. Полное квадратное уравнение - это уравнение вида:

а) ах 2 +вх+с=0, где а≠0; б) ах +bx+с=0;

в) ах 2 +вх=0, где а≠0; г) ах 2 +с=0, где а≠0;

2. Если в квадратном уравнении D = 0, то уравнение имеет:

а) 1 корень б) 3 корня

в) не имеет корней г) 2 корня

3. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?

а) 8х 2 + 4 –х 3 б) 4х – 9 +2х 2

в) 2х 4 – 5х 2 +1 г) х 2 + - 2

4. Какое из чисел - 2, - 1, 3, 5 являются корнем уравнения 4х 2 – 11х -3=0?

а) - 1 б) – 2 в) 3 г) 5

5. Чему равна сумма корней уравнения 7х 2 -19х +4=0 ?

6. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

7. Чему равна сумма квадратов корней уравнения

8. Какое из чисел 9, - 1, 6, является корнем уравнения .

9. При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет только один корень?

А. Нет таких значений Б.

10. Если в полном квадратном уравнении D

А) один корень Б) два корня

В) не имеет корней Г) четыре корня

1. Полное квадратное уравнение - это уравнение вида:

А) , где а , b ; Б) ах +bx+0=0;

В) , где а ; Г) , где а .

2. Если в квадратном уравнении D > 0, то уравнение имеет:

А) 1 корень Б) 3 корня

В) не имеет корней Г) 2 корня

3. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?

4. Какое из чисел - 2, - 1, 3, 5 являются корнем уравнения ?

А. - 2 Б. - 1 В.3 Г.5

5. Чему равна сумма корней уравнения ?

6. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

7. Чему равна сумма квадратов корней уравнения

8. Какое из чисел 9, - 1, 6, является корнем уравнения

9. При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет только один корень?

А. Нет таких значений Б.

10. Если в полном квадратном уравнении D

А) один корень Б) два корня

В) не имеет корней Г) четыре корня

4. Критерии оценок:

Тестовые вопросы (5 мин)

На доске 8 квадратных уравнений. Эти задания на слух, повторяются только два раза. Залог успеха - огромное внимание.

1. 2х 2 - 8х +4 = 0;

2. 3х 2 + 4х - 1 = 0;

3. х 2 - 8х + 12 = 0;

5. х 2 - 10х + 100 = 0;

6. х 2 - 8х + 12 = 0;

8.14 - 2х 2 + х = 0

а) Выпишите номера полных квадратов уравнений.

б) Выпишите коэффициенты а, b, c в уравнении 8.

в) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень.

г) Выпишите коэффициенты a, b, c в уравнении 5.

д) Найдите дискриминант в уравнении 6.

е) Найдите дискриминант в уравнении 2 и сделайте вывод о количестве корней.

Проверяем, оцениваем себя сами:

1. Имеет ли корни уравнение:

2. Решите уравнение:

3. Сократите дробь .

4. Один из корней уравнения равен 5. Найдите другой корень и коэффициент .

5. Площадь квадрата на 8см 2 меньше площади прямоугольника. Сторона квадрата в три раза меньше одной стороны прямоугольника и на 2 см больше второй его стороны. Найдите длину стороны квадрата.

6. Поезд должен был пройти 840 км в определенное время. На половине пути он был

задержан на 30 мин из-за технической неисправности. Чтобы прибыть во время, ему пришлось увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился в пути?

1. Имеет ли корни уравнение:

2. Решите уравнение:

3. Сократите дробь

4. Один из корней уравнения равен 12. Найдите другой корень и коэффициент .

5. Периметр прямоугольника равен 32 см, а его площадь равна 60см 2 . Найдите длину меньшей стороны прямоугольника.

6. Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 6 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 120 км?

Тест по теме "Квадратные уравнения"

1.Какое из уравнений не является квадратным?

а) 6х 2 + 7х – 6 = 0;

2.Какое из уравнений является неполным квадратным?

а) 3х 2 – 8х + 15 = 0;

в)5 х 2 – 8 х +3 = 0;

3.Укажите корни неполного квадратного уравнения: х 2 – 9 = 0

а) +3 и -3; б) 3 и 6; в) нет корней; г) 0.

4. Выберите неполное квадратное уравнение, не имеющее корней:

а) 2х 2 + 8 = 0; б) х 2 – 3х = 0; в) х 2 = 16; г) x 2 – 2х = 0.

5. Укажите дискриминант данного квадратного уравнения: 6х 2 + 3х – 1 = 0:

а) 44; б)33; в) 0; г) -15.

6.Укажите число корней квадратного уравнения: х 2 – 3х + 3 = 0:

а) Два различных корня; б) Два совпадающих корня; в) Нет корней; г) Четыре корня.

7. Укажите, не решая, сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения: у 2 + 8у +15 = 0:

а) х 1 + х 2 = 8; х 1 х 2 = 15;

б) х 1 + х 2 = 8; х 1 х 2 = - 15;

в) х 1 + х 2 = - 8; х 1 х 2 = 15;

г) х 1 + х 2 = -8; х 1 х 2 = -15.

8. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения х 2 – 5х + 6 = 0:

а) 2; б) 3; в) 6; г) 1.

1.Какое из этих уравнений является квадратным:

а) 3х +2 = 0; б) 2х 4 + 6х 3 - 7 = 0; в) 4х 2 + 3х - 5 = 0; г)2х 3 = 7.

2. Какое из уравнений является неполным квадратным уравнением?

а) у 2 + 8у – 15 = 0; б) 5 у 2 - у = 0; в) 4х 2 + 3х – 7 = 0; г) 5у 2 + у - 1 = 0.

3.Укажите, сколько решений имеет уравнение: 2х 2 + 8х = 0?

а) Два различных корня; б) Два одинаковых корня;

в) Ни одного; г) Более двух.

4.Выберите неполное квадратное уравнение, имеющее только один корень:

а) 2х 2 +3 = 0; б) 2х 2 = 0; в) 4х 2 + 8х = 0; г) 4х 2 – 64 = 0.

5.Укажите дискриминант данного квадратного уравнения: х 2 + 10х + 17 = 0

а) 100; б) 32; в) 168; г) 36.

6.Укажите число корней квадратного уравнения: х 2 – 8х – 10 = 0

а) Два различных корня; б) Два совпадающих корня;

в) Нет корней; г) Три корня.

7.Укажите, не решая, сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения: у 2 – 13у -11 = 0

а) у 1 + у 2 = 13; у 1 у 2 =11;

б) у 1 + у 2 = -13; у 1 у 2 =-11;

в) у 1 + у 2 =13; у 1 у 2 = -11;

г ) у 1 + у 2 = -13; у 1 у 2 =11.

8. Один из корней квадратного уравнения равен 9. Найдите второй корень уравнения: х 2 – 8х – 9 = 0

а) -1; б) 2; в) -3; г) 4.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Данную работу можно использовать в педагогической деятельности, она может стать методическим пособием для учителей математики, преподающие в средней школе, которые стремятся вызвать интерес к урокам математики.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

В материале приводится методика изучения темы «Иррациональные уравнения» на основе задачного подхода, обеспечивающая возможность построения для каждого учащегося индивидуальной образовательной траекто.

В дидактических материалах предоставлены теоретические материалы по теме «Показательные уравнения», рассмотрены методы решения уравнений, предложены задания для самос.

Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак.

Данный дидактический материал представлен в виде таблицы. На примере одного уравнения рассмотрены 5 подходов к его решению. Этот дидактический материал может быть использован на различных этапах обуче.

Отработка навыков решения уравнений.

Подборка расчетных задач "Определение элемента на основании расчетов по химическим уравнениям реакций".