Какое уравнение было показано в Бендераме?

В эпизоде ​​S8E2 Futurama, Benderama , Профессор генерирует уравнение для отслеживания числа создаваемых Бендеров. Это было показано на экране в течение нескольких секунд. Может кто-нибудь объяснить, что это за уравнение и как оно работает?

gnovice

Это уравнение на самом деле красная сельдь.

Профессор обсуждает общее количество массы, потребляемой для создания всех Бендерс, что эквивалентно общей массе всех Бендерс, если мы предполагаем сохранение массы (то есть масса в = масса вне). Это безопасное предположение, поскольку профессор описывает поведение устройства дублирования как «реорганизацию сырья» .

Теперь расходящиеся серии были необходимы в качестве сюжетного устройства, чтобы проиллюстрировать, как тиражирование Бендеров в конечном итоге поглотит все доступное вещество. В этом отношении уравнение было удовлетворительным в том смысле, что оно, безусловно, расходится, поскольку оно представляет собой обобщенный ряд гармоник (как правильно указывает Зев в комментарии). Это легче увидеть, когда это упрощается, если заметить (как это сделал OghmaOsiris в своем ответе), что 2 n- термины взаимно отменяют друг друга:

Однако это не правильный расходящийся ряд для этой ситуации.

Как низко ты можешь пасть.

Во-первых, нам придется игнорировать ограничивающие эффекты атомных бендеров. Через несколько поколений Бендеры бывали настолько малы, что, если бы они были «нормальной» материей, они состояли бы из ограниченного числа молекул, слишком мало, чтобы создать законченную изгибающуюся единицу. Тем не менее, одна сцена показывает полностью сформированные, но все еще атомные бендеры, управляющие молекулами и поглощающие их, подразумевая, что они сформированы не из «нормальной» материи, а из «усохшей» материи. Во вселенной Футурама это разумно, поскольку Профессор ранее упоминал о существовании (и экстравагантной стоимости) «крошечных атомов» в эпизоде ​​« Потерянные паразиты», когда Бендер спрашивает профессора об их сокращении:

Бендер: Эй, старик, почему мы должны использовать этих крошечных микро-дроидов? Вы не можете просто уменьшить нас?

Фарнсворт: О, нет! Для этого потребуются очень маленькие атомы, а вы в последнее время оценили их? Я не из денег! Оставь меня в покое!

Таким образом, предполагая, что задействованы «крошечные атомы», мы можем безопасно рассчитать массу для бесконечного числа поколений, не беспокоясь о наличии изгибов, которые являются долями массы нормального атома.

Лучший выбор уравнения .

1. Каждое новое поколение имеет в 2 раза больше Бендеров, чем предыдущее поколение, и
2. Каждый новый Бендер - это фиксированная доля массы Бендера, из которой он порожден.

Тогда правильное уравнение для общей массы всех Бендеров (и, следовательно, вещества, которое они потребляли), когда число поколений приближается к бесконечности, таково:

Где M 0 - масса исходного Бендера, а r масса - отношение массы копии Бендера к Бендеру, из которого она была создана. Это геометрический ряд , и я думаю, что это уравнение не так интересно, как другое уравнение, которое они использовали. Может быть, они выбрали уравнение, которое они могли бы отображать более сложным способом, или, возможно, они просто ошиблись. Такова научная фантастика. ;)

Теперь, это уравнение расходится, как того требует предпосылка эпизода? Является ли уравнение сходящимся , определяется значением r массы . В этом эпизоде ​​Бендер ссылается на свои первые 2 копии как на «60% точные копии меня» . Примените ли вы этот коэффициент масштабирования к физическим размерам или к массе , даст очень разные результаты.

Масштабирование физических размеров на 60% .

Если мы сравним высоту и ширину последовательных Бендеров, то получается, что они масштабируются на 60%. Используя этот скриншот , я сделал несколько грубых измерений (показано красным):

Соотношение между этими измерениями составило 0,594 для высоты и 0,599 для ширины. Как отмечает Эрик в своем ответе , масштабирование каждого измерения на 0,6 в конечном итоге приведет к масштабированию объема (и, следовательно, массы) в 0,216 раза. Использование этого значения для r массы дает нам сходящийся ряд, который асимптотически равен полной массе Бендера около 1.76 * M 0 . Даже двух Бендеров не стоит!

Поскольку многие / все клоны Бендеров собираются вместе в одной точке эпизода, чтобы сражаться с гигантом , совершенно ясно, что массы клонов стоит намного больше, чем два Бендера. Таким образом, хотя физические размеры кажутся масштабируемыми на 60% для каждого нового поколения, масса (каким-то образом), похоже, не масштабируется одновременно. Может быть, есть Бендеры, копирующие себя более одного раза, что лишит законной силы первое предположение, которое я сделал выше.

Масштабирование на 60% .

Если сама масса масштабируется на 60% между поколениями, тогда r масса будет 0,6, и уравнение станет расходящимся, растущим без границ. Ях! Вот что мы хотим увидеть! Но, учитывая расхождения, это что-то вроде пустой победы, и написание этого ответа, хотя и было забавным, было в значительной степени "математическим" . В конечном счете, вам просто нужно понять, что это научная фантастика , а не наука , и авторы не всегда будут на 100% правы.