Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

решается последовательным двукратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а общее решение содержит две константы.

Пример 10. 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y''=sin3x.

Решение. Последовательно интегрируя данное уравнение, получим

Уравнение второго порядка, не содержащее искомой функции

Уравнение вида F(x, y', y'') = 0 допускает понижение порядка введением новой функции, следующим образом y'= p(x), тогда y''= p'(x).

Пример 10.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Данное уравнение не содержит функции у, поэтому положим

y'= p(x), тогда y''= p'(x) и уравнение примет вид:

Получили однородное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся подстановкой p=ux, тогда p'= u'x+u и, следовательно, приходим к уравнению

Возвращаясь к функции у, получаем общее решение

Это уравнение с разделяющимися переменными

Интеграл, стоящий в правой части уравнения интегрируем по частям:

Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной

Уравнение F(y, y', y'') = 0 при помощи подстановки y'= p(y) уравнение сводиться к уравнению первого порядка

F(y, p, p ) = 0 .

Пример 10.7. Найти частное решение дифференциального уравнения

2yy' 3 +y''=0 , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=-3.

Решение. Это уравнение не содержит независимой переменно, следовательно, будем его решать, полагая y'= p(y), откуда . Используя данные подстановки преобразуем данное уравнение к виду

Получили дифференциальное уравнение первого порядка

Решая которое получим: .

Итак, общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частный интеграл, для этого в общий интеграл и в уравнение (*) подставим начальные условия y(0)=0, y'(0)=-3. Получаем систему двух уравнений для определения постоянных С1 и С2.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y 3 – y= 3x.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

y'' + py' +qy = 0

где p и q – числа.

Для того, чтобы решить это уравнение надо составить характеристическое уравнение, которое получается из данного уравнения , если в нем заменить y"=k 2 , y'=k, a y=k 0 =1.

k 2 + pk + q = 0 -

- это квадратное уравнение.

Общее решение характеристического уравнения строиться в зависимости от характера его корней.

Возможны три случая:

- дискриминант квадратного уравнения больше нуля D > 0 , уравнение имеет два действительный различных корня, k1≠ k2, и общее решение характеристического уравнения имеет вид:

- дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю D= 0, уравнение имеет два действительный кратных корня, k1= k2= k, и общее решение уравнения имеет вид:

- дискриминант квадратного уравнения меньше нуля D < 0, уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней , k1,2= α ± βi, и общее решение уравнения имеет вид:

Пример 10.8. Найти общее решение дифференциального уравнения

y"+7y'+6y=0.

Решение. Составим характеристическое уравнение

k 2 +7k+6=0.

Решим его: D=49-24=25, k1= -1, k2 = -6. Так как корни действительные и разные, то, согласно формулы , получаем общее решение:

y = C1e - x + C2e -6 x .

Пример 10.9. Найти общее решение дифференциального уравнения

y"-6y'+9y=0.

Решение. Составим характеристическое уравнение

k 2 - 6k +9=0.

Решим это уравнение: D = 36 -36 = 0, k1 = k2 =3. Характеристическое уравнение имеет два действительных кратных корня, следовательно, общее решение находим по формуле :

y = (C1x + C2)e 3 x .

Пример 10.10. Найти общее решение дифференциального уравнения

y"-4y'+13y=0.

Решение. Составим характеристическое уравнение

k 2 – 4k +13 = 0.

Решим его. Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, D=-36, уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней , k1,2=

(α=2, β=3) и общее решение уравнения имеет вид:

y = e 2x (C1cos3x + C2sin3x).

Пример 10.11. Найти частное решение дифференциального уравнения

y"-5y'+4y=0, удовлетворяющее начальным условиям у'(0)=8, у(0)=5.

Решение. Сначала найдем общее решение, для этого составим

k 2 – 5k +4 = 0.

Дискриминант этого уравнения D=1, следовательно, уравнение имеет два действительный корня, k1 = 2, k2 = 3 и общее решение уравнения имеет вид:

y = С1e 2 x +C2e 3 x .

Чтобы найти частное решение, сначала найдем у'=2С1e 2 x +3C2e 3 x , а затем подставим в общее решение и в производную от функции-решения у начальные условия и получим систему для определения постоянных С1 и С2 .

Решив систему получили С1=7, С2 = -2.

Таким образом искомое частное решение имеет вид: y =7e 2 x – 2e 3 x .