§ 5. Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения
Определение. Пустьf(x) иg(x) – два выражения с переменнойх и областью определенияХ. Тогда предикатf(x) =g(x) называетсяуравнениемс одной переменной.
Определение.Значение переменнойхиз множестваХ, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называетсякорнемуравнения или его решением.
Решить уравнение – это значит найти множество его корней.
Пример. 1) 7х+ 5 = 3х+ 13,хR. Это уравнение обращается в истинное равенство прих= 2, следовательно, множество его решений есть .
2) (х– 3)(х+ 3) = 0 – множество решений есть .
Т.к. уравнение есть предикат, то с каждым уравнением связаны два множества:
множество Х допустимых значений переменной (множество определения предиката),
множество Т корней уравнений (множество истинности предиката).
Заметим, что Т Х.
Определение. Пусть на множестве Х заданы два уравнения f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x) и известно, что Т1 – множество решений первого уравнения (Т1 Х), Т2 – множество решений второго уравнения (Т2 Х). Если Т1 = Т2, то эти уравнения называются равносильными на множестве Х.
Другими словами: два уравнения называются равносильными на множестве Х, если множества решений этих уравнений, принадлежащих множеству Х, совпадают.
Пример. 1) 3х + 5 = 4х + 3 и 2х + 3 = 7 равносильны на множестве N, т.к. Т1 = , Т2 = , Т1 = Т2.
2) (х– 2) 2 = 3(х– 2) и (х– 2) = 3 не являются равносильными, т.к.Т1= ,Т2= ,Т1Т2.
Определение. Если множество решений уравненияf1(x) =g1(x) (1) является подмножеством множества решений уравненияf2(x) =g2(x) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
Другими словами: уравнение (2) есть следствие уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).
Пример. (х+ 2) 2 = 25 является следствием уравнениях+ 2 = 5, т.к. уравнениех+ 2 = 5 имеет только один корень 3, подставляя который в уравнение (х+ 2) 2 = 25, получаем истинное равенство (3 + 2) 2 = 25, показывающее, что 3 удовлетворяет уравнению (х+ 2) 2 = 25.
Два уравнения равносильны в том и только том случае, когда каждое из них является следствием другого.
Теоремы о равносильности уравнений
Теорема 1. Пусть уравнениеf(x) =g(x) задано на множествеХиh(х) – выражение, определенное на том же множествеХ. Тогда уравненияf(x) =g(x) (1) иf(x) +h(х) =g(x) +h(х) (2) равносильны.
Другими словами: если к обеим частям уравнения с областью определения Хприбавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множествеХ, получим новое уравнение, равносильное данному.
При решении уравнений чаще используются следствия из теоремы.
Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Следствие 2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть уравнениеf(x) =g(x) задано на множествеХиh(х) – выражение, определенное на том же множествеХ и не обращающееся в нуль ни при каких значенияххиз множестваХ. Тогда уравненияf(x) =g(x) (1) иf(x) ∙h(х) =g(x) ∙h(х) (2) равносильны на множествеХ.
Другими словами: если обе части уравнения с областью определения Хумножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращающееся на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Пусть уравнениеf(x) =g(x) задано на множествеХ,f(x)0,g(x)0 на множествеХ ип – четное натуральное число. Тогда уравненияf(x) =g(x) иf п (x) =g п (x) равносильны.
Другими словами: при возведении обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение, равносильное данному при условии, что обе части уравнения неотрицательны.
Замечание. Если обе части уравнения возвести в четную степень, то полученное уравнение будет следствием исходного. Еслипнечетное натуральное число, то уравненияf(x) =g(x) иf п (x) =g п (x) равносильны.
Пример. Равносильны ли уравнения?
(4х + 3) ∙ х = 11х и 4х + 3= 11. Нет, т.к. мы разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла, т.е. мы не выполнили условие теоремы 2. Т1 = , Т2 = .
(4х + 3)(х 2 + 2) = 11(х 2 + 2) и 4х + 3= 11 равносильны, т.к. х 2 + 2 0 ни при каких действительных х.
В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнения является взаимосвязь между компонентами и результатом действий.