Теорема суммы вероятностей. Вероятности противоположных событий

Цель урока: формирование знаний и умений, необходимых для нахождения вероятности событий.

Тип урока: формирование умений и навыков, знаний.

Сообщение темы и задач урока.

2. Актуализация опорных знаний уч-ся:

3. Изучение нового материала.

3.2. Теорема суммы вероятностей.

Часто используется способ решения той или иной задачи «перебором случаев», когда условия задачи разбиваются на взаимоисключающие друг друга случаи, каждый из которых рассматривается отдельно. Например, «направо пойдешь — коня потеряешь, прямо пойдешь — задачу по теории вероят­ности решать будешь, налево пойдешь — . ».

. В каждом из трех случаев «раскрывают» модуль, строят нужные графики ли­нейных функций и затем объединяют соответствующие части этих графиков; фактически речь идет о построении графика кусочной функции. Этот же метод часто используют и при под­счете вероятностей.

Из 50 точек 17 закрашены в синий цвет, а 13 — в оранжевый цвет. Найти вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется закрашенной.

Решение. Всего закрашено 30 точек из 50. Значит, вероятность равна

Рассмотрим, однако, этот простой пример более вниматель­но. Пусть событие А состоит в том, что выбранная точка — синяя, а событие В состоит в том, что выбранная точка — оранжевая (см.рис.).

По условию, события А и В не могут про­изойти одновременно.

Обозначим буквой С интересующее нас событие. Событие С наступает тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Ясно, что

Поделим обе части этого равенства на N — число всех воз­можных исходов данного опыта; получим P(C)=P(A)+P(B)

Мы на простом примере разобрали важную и часто встре­чающуюся ситуацию. Для нее есть специальное название.

Определение. События А и В называют несовместными, если они не могут происходить одновременно.

ТЕОРЕМА . Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероят­ностей.

При переводе этой теоремы на математический язык, воз­никает необходимость как-то назвать и обозначить событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух данных со­бытий А и В. Такое событие называют суммой событий А и В и обозначают А + В.

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Если А и В несовместны,

Несовместность событий А и В удобно иллюстрировать ри­сунком. Если все исходы опыта — некоторое множество точек на рисунке, то события А и Б — это некоторые подмножества данного множества. Несовместность А и В означает, что эти два подмножества не пересекаются между собой

Типичный пример несовместных событий — любое событие А и противоположное событие.

Разумеется, указанная теорема верна и для трех, и для четырех, и для любого конечного числа попарно несовмест­ных событий.

Вероятность суммы любого числа попарно не­совместных событий равна сумме вероятностей этих собы­тий.

Это важное утверждение как раз и соответствует способу решения задач «перебором случаев»

В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих шаров есть, по крайней мере, 4 белых шара?

Решение. Всего имеется N = С%