МУ ТМ_2015 / Сб. заданий по теоретич. механике Кинематика (Дрожжин, Баранова, Дадочкина и др)
1.03.4. Точка движется согласно уравнениям х = t , у = 0,5 t 2 – t ( х , у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Ох .
1.03.5. Найти уравнение
траектории точки, движущейся по закону
х = 3sin πt 2 , у = 3cos πt 2 – 2 ( х , у
м, t с). Определить положение, скорость,
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0,5 c.
1.03.6. Звено ОС механизма движется по закону φ = 3 πt (
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0
и t 2 = 1 6 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в коорди-
натной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в точке М при t 1 = 18 1 с, если АС = ОС = ВС = АМ = 0 , 1 м.
1.04.1. Точка движется по окружности радиусом 24 м по закону S = 2 t 3 ( S − м, t – с). Найти скорость и полное ускорение точки в момент времени, когда еѐ нормальное и касательное ускорения равны между собой.
1.04.2. Точка, двигаясь равнозамедленно по окружности, за 0,5 с, прошла путь S = 2 м, равный половине длины окружности. Определить скорость, ускорение, его касательную и нормальную составляющие в конце пути, если начальная скорость точки равна 5 м/с.
1.04.3. Точка движется по некоторой траектории согласно закону
t 2 ( S м, t с). Определить момент времени t 1 , когда еѐ скорость
приобретает наибольшее значение.
1.04.4. Точка движется согласно уравнениям х = 3 t , у = 6 t – 3 t 2 ( х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ
часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Ох .
1.04.5. Найти уравнение
траектории точки, движущейся по закону
х = cos3 πt 2 , у = sin3 πt 2 ( х, у м, t
с). Определить положение, скорость, уско-
рение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ⅓ с.
1.04.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,45sin3 πt ( S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0 = 0 ,
t 1 = 18 1 c и t 2 = 1 6 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в
координатной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в
точке М при t 1 = 18 1
с, если АВ = 0 , 45 м, АМ = 0 , 3 м.
1.05.1. Точка движется согласно уравнению S = 0,6 t 2 ( S − м, t – с). Найти нормальное ускорение точки в момент времени, когда еѐ дуговая координата S 1 = 0 , 3 м, а радиус кривизны траектории ρ = 15 м.
1.05.2. При отходе от станции поезд движется равноускоренно по дуге окружности радиусом 800 м. Пройдя путь 300 м, он приобрел скорость 12 м/с. Определить время движения поезда и его ускорение в конце этого участка пути.
1.05.3. Сколько времени продолжалось свободное падение груза, если за последнюю секунду он пролетел путь в три раза меньший, чем за все предыдущее время? Начальной скоростью пренебречь.
Точка движется согласно уравнениям х = 3 + 4sin πt ,
у = 5cos πt ( х, у
м, t с). Найти уравнение траектории, по которой движется
точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох .
1.05.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 6 t 2 + 6 t , у = 6 t ( х , у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0 c.
1.05.6. Звено ОА механизма движется по закону φ = πt ( − рад, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0 = 0 , t 1 = ⅓ c, t 2 = ½ с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в точке М при
t 1 = ⅓ c, если АО = 0 , 6 м, СМ = 1 , 2 м.
1.06.1. Точка движется по окружности радиусом 4 м согласно уравнению S = 0,8 t 2 ( S − м, t – с). Определить дуговую координату точки в момент времени, когда еѐ нормальное ускорение равно 2,5 м/с 2 .
1.06.2. С вертолета, вертикально поднимающегося с постоянной скоростью 2 м/с, в некоторый момент времени сбрасывается груз. На какой высоте
находился вертолет, если свободное падение груза продолжалось 18 с? Считать g ≈ 10 м/с 2 .
1.06.3. Точка движется по криволинейной траектории по закону S = 10 – 5sin t ( S − м, t – с). Найти скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие в моменты времени, когда еѐ скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, если радиус кривизны траектории в эти моменты равен 10 м.
Точка движется согласно уравнениям х = 2sin
с). Найти уравнение траектории, по которой движется точка. Оп-
ределить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу .
1.06.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 3 t + 1 , у = 9 t 2 – 3 t ( х , у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0 c.
1.06.6. Звено СА механизма движется по закону φ = πt 2 ( − рад, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0 = 0 , t 1 = ½ с,
t 2 = ⅔ c. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в точке М при t 1 = ½ c, если ОС = СА = 0 , 4 м, ОМ = 0 , 3 м.
1.07.1. Найти радиус кривизны траектории точки и еѐ ускорение в тот момент, когда векторы скорости и ускорения совпадают по направлению.
Закон движения точки по траектории имеет вид S = 5 + sin
модуль скорости в этот момент времени равен
1.07.2. Найти закон движения точки по криволинейной траектории, считая а τ = const , если в момент времени t 1 = 3 с после начала движения ( t 0 = 0) точка имеет скорость V 1 = 6 м/с, а в момент времени t 2 = 6 с скорость равную
1.07.3. Точка равномерно движется по плоской траектории, радиус кривизны которой задан как функция времени ρ = t (1 – 0,5 t ) ( ρ – м, t – с). В какой момент времени ускорение точки максимально?
1.07.4. Точка движется согласно уравнениям х = − 3 t , у = 6 t – 3 t 2 ( х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в мо-
мент времени, когда
еѐ скорость параллельна оси Ох .
точки, движущейся по закону
с). Определить положение, ско-
рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.
1.07.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ =
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0 = 0 , t 1 = 1 с, t 2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в точке М при t 1 = 1 c, если ОВ = ВА = 2 ВМ = 0 , 4 м.
1.08.1. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м с нормальным ускорением, изменяющимся по закону а n = 2 t 4 ( а n – м/с 2 , t – с). Найти закон движения точки по траектории, отсчитывая дуговую координату от начального положения. Определить скорость точки при t = 2 с.
1.08.2. Точка, имевшая начальную скорость V О = 3 м/с, получила постоянное касательное ускорение, равное по модулю 1 м/с 2 и направленное в
сторону, противоположную V O . Найти путь, пройденный точкой за 10 с, и еѐ дуговую координату S в конце десятой секунды, если S О = 5 м.
1.08.3. Два велосипедиста начали одновременно движение с места с постоянными ускорениями а 1 = 1,5 м/с 2 и а 2 = 0,75 м/с 2 . Какой из них наберет большую скорость: первый на полукилометре или второй на километре дистанции?
1.08.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2sin 2 t , у = 6cos πt
( х , у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу .
1.08.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х =
+ 4 ( х , у м, t с). Определить положение, ско-
рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 2 c.
1.08.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ =
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0 = 0 , t 1 = 1 c, t 2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в точке М при t 1 = 1 c, если ОВ = АВ = АМ = 0 , 2 м.
1.09.1. Точка движется по некоторой траектории согласно закону S = 0,5 t 3 ( S − м, t – с). Как должен меняться радиус кривизны траектории в функции времени движения по ней точки, чтобы в любом месте траектории касательное и нормальное ускорения были по модулю равны?
1.09.2. Поезд, двигаясь по закруглению равноускоренно, приобретает через 3 мин после отхода от станции скорость 54 км/ч. Определить ускорение поезда через 2 мин после отхода от станции, если радиус закругления равен
1.09.3. Через 2 секунды после падения камня в колодец был услышан плеск воды. Определить глубину колодца, если скорость звука равна 330 м/с.
1.09.4 . Точка движется согласно уравнениям х = 2 t , у =
t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу .
1.09.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону
( х, у м, t с). Определить положение, скорость,
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.
1.09.6. Звено ОМ механизма движется по закону φ =
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0 = 0 , t 1 = 2 c, t 2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в точке М при t 1 = 2 c, если ОМ = 2 ℓ = 1 м.
1.10.1. Точка движется по окружности радиусом R = 50 м со скоростью V = 2 t ( V – м/с, t – с). Найти ускорение точки в момент времени t = 5 с и закон еѐ движения по траектории, если S 0 = 0 .
1.10.2. Торможение поезда, движущегося со скоростью 36 км/ч, начинается за 200 м до остановки. Считая движение равнопеременным, найти время торможения и касательное ускорение поезда.
1.10.3. Точка движется равноускоренно из состояния покоя по окружности. Доказать, что между углом α , составляемым ускорением точки с каса-
тельной к окружности, и центральным углом β , соответствующим пройденной дуге, существует зависимость tg α = 2 β .
1.10.4. Точка движется согласно уравнениям х = cos2 πt , у = 2sin πt + 2 ( х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу .
Найти уравнение траектории
точки, движущейся по закону
с). Определить положение, ско-
рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.
1.10.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,6cos πt ( S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t 0 = 0 , t 1 = 1 / 6 с и t 2 = 1 / 2 c. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М . Определить скорости и
ускорения точек А и М , а также радиус кривизны траектории в точке М при t 1 = 1 / 6 с, если АВ = 3 АМ = 0 , 6 м.
1.11.1. Точка движется по окружности радиусом 4 м по закону S = 4 t + 4 t 2 ( S − м, t – с). Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда угол между их векторами равен 45°.
1.11.2. Точка движется равноускоренно из состояния покоя по окружно-
сти радиусом 5 м. Через 2 с еѐ нормальное ускорение достигло значения 9,8 м/с 2 . Найти путь, пройденный точкой за 4 с после начала движения.
1.11.3. Два автомобиля, находящиеся в исходный момент времени на
расстоянии 1200 м, движутся навстречу друг другу. Первый с ускорением а 1 = 0,2 м/с 2 , а второй с замедлением а 2 = 0,3 м/с 2 . Какова должна быть начальная скорость второго автомобиля, чтобы в момент встречи он остановился, если первый автомобиль имел начальную скорость 80 км/ч?
1.11.4. Точка движется согласно уравнениям х = 4 t 2 – 4 t + 1 , у = 2 t
( х , у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу .