1.14. Определение последовательности, способы задания, операции над последовательностями. Предел последовательности.

Определение 1. Последовательностью действительных чисел называется отображение , определенное на множестве всех натуральных чисел Кратко ее обозначают символом . Число называется общим членом последовательности. Иными словами, последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Пример 1. . Тогда имеем , и т.д.

Заметим, что обратная операция – нахождение выражения -го члена последовательности по нескольким первым членам этой последовательности – не имеет однозначного решения.

Последовательности могут быть заданы и соотношением, задающим выражение -го члена последовательности через ее предыдущие члены.

Пример 2. Равенства ; , , ( ) определяют соответственно арифметическую и геометрическую прогрессии. Рекуррентно задана и последовательность Фибоначчи , в которой каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Полное рекуррентное задание этой последовательности таково: , , , .

Определение 2. Последовательности и называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей и (для частного ).

Предел последовательности.

Рассмотрим последовательность с общим членом , при члены последовательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение «неограниченно приближается» означает, что какое бы малое число мы ни взяли, начиная с некоторого номера все члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от .

Определение 1.Число называетсяпределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , что при всех выполняется неравенство . Обозначение . Кратко определение предела записывается так: .

Неравенство равносильно двойному неравенству , которое показывает, что элементы при находятся в окрестности точки . Поэтому геометрически определение предела формулируется так.

Определение 2.Число называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки найдется такое натуральное число , что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки .

Ясно, что чем меньше тем больше число , но в любом случае внутри -окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.

Неравенство |xn – a|<ε равносильно неравенствам -ε < xn - а <ε или а - ε < xn < a+ ε, которые показывают, что элемент xn находится в ε -окрестности точки а.

Поэтому определение предела последовательности геометрически

можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности , если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения xn , для которых n > N, попадут в ε -окрестность точки а (см. рис. 1).

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называетсярасходящейся.

Например, последовательность не имеет предела.

Теорема 1.Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для доказательства утверждения применим метод от противного.

Пусть и . Если А1≠А2, то фиксируем непересекающиеся окрестности U(A1), U(A2) точек А1, А2. В качестве таковых можно взять, например, δ-окрестности этих точек при δ< │А1–А2│. По определению предела найдем числа N1, N2 такие, что все члены последовательности с номерами n>N1 попадут в окрестность точки А1, а с номерами n>N2 в окрестность точки А2. Тогда при n>max получим xn U(A1) U(A2). Но это невозможно, так как пересечение U(A1) U(A2)= .

Теорема 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство: Пусть . Полагая в определении предела ε=1, найдем номер N такой, что n>N справедливо неравенство │xn–A│<1. Значит, при n>N имеем

то получим, что n>N все члены последовательности ограничены │xn│<М.

Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажем, что .

Решение. Зададим произвольное и рассмотрим модуль разности между -м членом последовательности и числом 1: . В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер такой, что выполняется неравенство

Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим

Из неравенства (2) следует, что в качестве можно взять целую часть числа : . В самом деле, если , то , т.е. справедливо неравенство (2), а значит, выполняется неравенство (1).

Итак, для произвольного мы указали такой номер , что выполняется неравенство . Это и означает по определению предела последовательности, что .