Расчет параметров уравнения тренда
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
б) выравнивание по параболе Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a0n + a1∑t + a2∑t 2 = ∑y a0∑t + a1∑t 2 + a2∑t 3 = ∑yt a0∑t 2 + a1∑t 3 + a2∑t 4 = ∑yt 2
t y t 2 y 2 t y t 3 t 4 t 2 y -9 1249 81 1560001 -11241 -729 6561 101169 -7 1133 49 1283689 -7931 -343 2401 55517 -5 1043 25 1087849 -5215 -125 625 26075 -3 1030 9 1060900 -3090 -27 81 9270 -1 1016 1 1032256 -1016 -1 1 1016 1 1005 1 1010025 1005 1 1 1005 3 996 9 992016 2988 27 81 8964 5 985 25 970225 4925 125 625 24625 7 975 49 950625 6825 343 2401 47775 9 968 81 937024 8712 729 6561 78408 0 10400 330 10884610 -4038 0 19338 353824Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.
Интервальный прогноз. Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда. Uy = yn+L ± K где
L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2. По таблице Стьюдента находим Tтабл Tтабл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306 Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.
1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02 Интервальный прогноз: t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)
Пример №2 . Покажем пример подробного расчета параметров уравнения тренда на основе следующих данных (см. таблицу).
Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b. 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a0n + a1∑t = ∑y a0∑t + a1∑t 2 = ∑y•t
t y t 2 y 2 t•y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t)) 2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y 1 17.4 1 302.76 17.4 12.26 895.01 26.47 30.25 0.3 2 26.9 4 723.61 53.8 18.63 416.84 68.39 20.25 0.31 3 23 9 529 69 25 591.3 4.02 12.25 0.0872 4 23.7 16 561.69 94.8 31.38 557.75 58.98 6.25 0.32 5 27.2 25 739.84 136 37.75 404.68 111.4 2.25 0.39 6 34.5 36 1190.25 207 44.13 164.27 92.72 0.25 0.28 7 50.7 49 2570.49 354.9 50.5 11.45 0.0383 0.25 0.0039 8 61.4 64 3769.96 491.2 56.88 198.34 20.44 2.25 0.0736 9 69.3 81 4802.49 623.7 63.25 483.27 36.56 6.25 0.0872 10 94.4 100 8911.36 944 69.63 2216.84 613.62 12.25 0.26 11 61.1 121 3733.21 672.1 76 189.98 222.11 20.25 0.24 12 78.2 144 6115.24 938.4 82.38 953.78 17.46 30.25 0.0534 78 567.8 650 33949.9 4602.3 567.8 7083.5 1272.21 143 2.41Примечание: значения столбца №6 y(t) рассчитываются на основе полученного уравнения тренда. Например, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26
Уравнение тренда
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.
т.е. в 82.04 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда. Дисперсия ошибки уравнения.
где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.
Стандартная ошибка уравнения.
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда. 1) t-статистика. Критерий Стьюдента. По таблице Стьюдента находим TтаблTтабл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
Статистическая значимость коэффициента a0 подтверждается. Оценка параметра a0 является значимой и тренд у временного ряда существует..
Статистическая значимость коэффициента a1 не подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда. Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими: (a1 - tнабл Sa1;a1 + tнабл Sa1) (6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)(4.27;8.48) (a0 - tнабл Sa0;a0 + tнабл Sa0) (5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)(-9.59;21.35) Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a0 статистически незначима. 2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.84 Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
Пример №3 . В таблице представлены данные, характеризующие динамику продаж некоторой продукции. Определить оптимальный тренд и оценить его значимость на уровне значимости равным 0,05. Дать точечный прогноз и с надежностью 0,95 интервальный прогноз среднего и индивидуального значений реализации продукции на одиннадцатый год. Решение. Скачать