Урок 3-4: «Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия» Ваша задача решить все примеры, т.е. всего будет 18. Ответы жду до 26 ноября на

1 Урок 3-4: «Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия» Ваша задача решить все примеры, т.е. всего будет 18. Ответы жду до 26 ноября на почту. Желаю удачи.

2 Основные понятия и определения. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность следующего вида: где каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и числа, так называемой разности арифметической прогрессии, а первый член прогрессии имеет конкретное значение. Для наглядности можно привести следующие примеры арифметической прогрессии: а) Это арифметическая прогрессия, у которой б) Это арифметическая прогрессия, у которой в) Это арифметическая прогрессия, у которой г) Это арифметическая прогрессия, у которой Можно заметить, что если разность, то арифметическая прогрессия возрастающая. А если, то арифметическая прогрессия убывающая. Если отбросить все члены арифметической прогрессии, которые следуют за выбранным конкретным числом, то она станет конечной. Для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии используется следующая формула: Необходимо знать, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии): Для вычисления суммы n членов арифметической прогрессии используется формула: Иногда оказывается полезной при решении задач несколько видоизмененная формула вычисления суммыn членов арифметической прогрессии: Пример 1: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой Составим формулу n-ого члена:

3 Пример 2: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой Составим формулу n-ого члена: Пример 3: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой Составим формулу n-ого члена: Пример 4: Дана арифметическая прогрессия а) Известно, что. Найти. б) Известно, что. Найти. в) Известно, что. Найти. г) Известно, что. Найти. Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: а) Так как необходимо найти тринадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия:. Воспользуемся вышеприведенной формулой: б) Так как известно, что. Найдем, используя вышеприведенную формулу:

4 в) Так как задан четырнадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия:. Найдем, используя вышеприведенную формулу: г) Так как задан первый и шестьдесят третий член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия:. Найдем, используя вышеприведенную формулу: а) б) в) г) Пример 5: Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найти двадцать второй член этой прогрессии. По условию задачи имеем: Составим формулы для пятого и десятого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: Составим систему уравнений и решим ее: Опираясь на полученные результаты, найдем : Пример 6: Фигура составляется из квадратиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 91 ряду?

5 Легко заметить, что данную задачу можно решить, опираясь на понятия арифметической прогрессии, у которой так как в первом ряду фигуры четыре квадрата, а так как в каждом последующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Опираясь на полученные выводы, найдем : Примечание: На примере данной задачи видно, что не целесообразно рисовать девяносто один ряд фигуры и считать количество квадратов в нем, как делают многие ученики, что ведет к большому числу ошибок. Гораздо разумнее увидеть, что задача сводится к нахождению n- ого члена арифметической прогрессии. Пример 7: В арифметической прогрессии Найти номер первого положительного члена этой прогрессии. По условию задачи имеем: Составим формулы для пятого и шестого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: Составим систему уравнений и решим ее: Так как необходимо найти номер первого положительного члена этой прогрессии, составим неравенство: Так как номер не может быть дробным числом, то первый положительный номер, удовлетворяющий неравенству Примечание: На примере данной задачи видно, что нет необходимости рассчитывать значения многих членов арифметической прогрессии и искать среди них первый

6 положительный. Составление неравенства значительно упрощает задачи и не требует множества расчетов. Пример 8: Дана конечная арифметическая прогрессия а) Известно, что. Найти сумму. б) Известно, что. Найти. Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии: а) Так как известно, что Воспользуемся вышеприведенной формулой: б) Так как известно, что. Найдем, используя вышеприведенную формулу: а) б) Пример 9: Найти сумму всех четных четырехзначных натуральных чисел. Для того, чтобы понять какую сумму необходимо искать, напишем заданную последовательность четных четырехзначных натуральных чисел:. Заметим, что данная последовательность является конечной арифметической прогрессией, у которой. Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии: Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

7 Найдем сумму : Пример 10: Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6. Данная задача несколько сложнее рассмотренной в предыдущем примере. Если мы напишем последовательность всех чисел, которые не делятся на 6, то заметим, что данная последовательность не будет являться арифметической прогрессией Как же нам найти её сумму? Несложно догадаться, что если из суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 200 вычесть сумму всех натуральных чисел кратных 6 и также не превосходящих 200, то мы получим нужную нам сумму. Последовательность натуральных чисел, не превосходящих 200 выглядит следующим образом:. Это конечная арифметическая прогрессия, у которой. Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии: Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии: Найдем сумму : Последовательность натуральных чисел, не превосходящих 200 и кратных 6 выглядит следующим образом:. Это конечная арифметическая прогрессия, у которой. Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии: Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

8 Найдем сумму кратных 6 натуральных чисел : Тогда сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6 вычислим по формуле: Пример 11: При каких значениях числа, и образуют конечную арифметическую прогрессию? Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению: Решим это уравнение: При этом значении заданные выражения принимают соответственно значения. Это арифметическая прогрессия, у которой разность

9 Основные понятия и определения. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность следующего вида: где каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и числа, так называемого знаменателя геометрической прогрессии, а первый член прогрессии имеет конкретное значение. Для наглядности можно привести следующие примеры геометрической прогрессии: а) Это геометрическая прогрессия, у которой б) Это геометрическая прогрессия, у которой в) Это геометрическая прогрессия, у которой г) Это геометрическая прогрессия, у которой Можно заметить, что если и, то геометрическая прогрессия возрастающая. А если и, то геометрическая прогрессия убывающая. Если отбросить все члены геометрической прогрессии, которые следуют за выбранным конкретным числом, то она станет конечной. Для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии используется следующая формула: Необходимо знать, что квадрат каждого члена геометрической прогрессии (кроме первого и последнего) равен произведению предшествующего и последующего членов этой прогрессии (характеристическое свойство геометрической прогрессии): Для вычисления суммы n членов конечной геометрической прогрессии используется формула: Для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: Пример 1: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности Легко заметить, что данная числовая последовательность является геометрической прогрессией, у которой Составим формулу n-ого члена:

10 Пример 2: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности Легко заметить, что данная числовая последовательность является геометрической прогрессией, у которой Составим формулу n-ого члена: Пример 3: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности Легко заметить, что данная числовая последовательность является геометрической прогрессией, у которой Составим формулу n-ого члена: Пример 4: Дана геометрическая прогрессия а) Известно, что. Найти. б) Известно, что. Найти. в) Известно, что. Найти. г) Известно, что. Найти. Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии: а) Так как необходимо найти пятый член геометрической прогрессии, то мы имеем следующие условия:. Воспользуемся вышеприведенной формулой:

11 б) Так как известно, что. Найдем, используя вышеприведенную формулу: в) Так как задан пятый член геометрической прогрессии, то мы имеем следующие условия:. Найдем, используя вышеприведенную формулу: г) Так как задан первый и восьмой член геометрической прогрессии, то мы имеем следующие условия:. Найдем, используя вышеприведенную формулу: а) б) в) г) Пример 5: Между числами 2 и 18 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. По условию задачи имеем: Нужно найти. Составим формулу для пятого члена геометрической прогрессии, используя формулу вычисления n-ого члена:

12 Тогда, если, то имеем следующие члены геометрической прогрессии: А если, то имеем следующие члены геометрической прогрессии: или Пример 6: Фигура составляется из квадратиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду в 2 раза квадратов больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 17 ряду? Легко заметить, что данную задачу можно решить, опираясь на понятия геометрической прогрессии, у которой так как в первом ряду фигуры четыре квадрата, а так как в каждом последующем ряду квадратов в 2 раза больше, чем в предыдущем. Опираясь на полученные выводы, найдем : Примечание: На примере данной задачи видно, что не целесообразно рисовать семнадцать рядов фигуры и считать количество квадратов в нем, как делают многие ученики, что ведет к большому числу ошибок. Гораздо разумнее увидеть, что задача сводится к нахождению n-ого члена геометрической прогрессии. Пример 7: Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 96, сумма пятого и шестого членов прогрессии равна 96. Найти пятнадцатый член этой прогрессии. По условию задачи имеем: Составим формулы для пятого, шестого и седьмого члена, используя формулу вычисления n-ого члена геометрической прогрессии:

13 Подставим полученные формулы в записанное нами ранее условие задачи: Составим систему уравнений и решим ее: Подставив значение во второе уравнение системы, получим, то есть. Подставив значение во второе уравнение системы, получим, то есть уравнение не имеет решений. Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию, у которой. Так как необходимо найти пятнадцатый член этой прогрессии, воспользуемся формулой вычисления n-ого члена геометрической прогрессии: Пример 8: Дана конечная геометрическая прогрессия а) Известно, что. Найти сумму. б) Известно, что. Найти. Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления суммы n членов конечной геометрической прогрессии: а) Так как известно, что Воспользуемся вышеприведенной формулой:

14 б) Так как известно, что. Воспользуемся формулой вычисления n-ого члена геометрической прогрессии: Используем вышеприведенную формулу суммы: Так как ранее мы получили, что, то имеем: а) б) Пример 9: Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Известно, что. Найти сумму. В основе будет лежать формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Пример 10: Найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, у которой второй член равен 6, а четвертый равен 24. Воспользуемся формулой вычисления n-ого члена геометрической прогрессии и выразим второй и четвертый члены: Так как по условию второй и четвертый члены геометрической прогрессии равны 6 и 24 соответственно, то составим систему уравнений:

15 Поделим второе уравнение системы на первое и получим: Подставив значение в первое уравнение системы, получим, то есть. Подставив значение в первое уравнение системы, получим, то есть. В основе будет лежать формула для вычисления суммы n членов конечной геометрической прогрессии: Если и, то сумма первых восьми членов геометрической прогрессии будет вычислена следующим образом: Если и, то сумма первых восьми членов геометрической прогрессии будет вычислена следующим образом: или Пример 11: При каких значениях числа, и образуют конечную геометрическую прогрессию? Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению: Решим это уравнение: При этом значении заданные выражения принимают соответственно значения. Это геометрическая прогрессия, у которой

16 Арифметическая прогрессия Задача 1. Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если разность между седьмым и третьим членами равна 8, произведение второго и седьмого члена равно 75, причем известно, что все члены прогрессии положительны. Задача 2. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если сумма ее 3-го и 18-го членов равна 8. (Указание. Для решения задачи необходимо выпистаь по формуле общего члена выражения для указанных членов прогрессии и после этого заметить, что в распоряжении уже имеются все данные, необходимые для решения задачи.) Задача 3. Некоторое количество чисел составляют арифметическую прогрессию. Сумма первых пяти равна 20, сумма последних пяти равна 100. Найти количество этих чисел, если известно, что сумма всех их равна 480. Задача 4. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4. Задача 5. В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных Найти 9-й член прогрессии. Геометрическая прогрессия Задача 1. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найти четвертый член прогрессии, если известно, что ее знаменатель положиотелен. (задача предлагалась на вступительном экзамене псих. ф-та МГУ). Задача 2. Определить три положительных числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если их сумма равна 21, а сумма обратных величин равна. Задача 3. В геометрической прогрессии сумма первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?

17 Тренировочные задания для подготовки к ГИА по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» Задание 1. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму первых 11 членов этой прогрессии. Задание 2. Вычислить 7,5 + 9,8 + 12, ,5. Задание 3. Найти второй член арифметической прогрессии, если двадцать первый член этой прогрессии равен 52, а тридцать первый член равен 72. Задание 4. Найти первый положительный член в арифметической прогрессии -12; -10 Задание 5. В арифметической прогрессии первый ее член равен 10, десятый член прогрессии равен 28. Найти сумму десяти первых членов прогрессии. а шести Задание 6. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найти сумму первых членов. Задание 7. В арифметической прогрессии десятый член равен 13, пятый член равен 18. Найти разность прогрессии. Задание 8. В арифметической прогрессии третий член равен 6, сумма второго и пятого членов этой прогрессии равна 9, n-ый член прогрессии равен 15. Найти n. 40, а первого Задание 9. В геометрической прогрессии сумма первого и третьего членов равна сумма второго и четвертого равна 80. Вычислите частное от деления члена прогрессии на ее знаменатель.

18 сумму 72. Задание 10. Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой крайних членов прогрессии равна 27, а произведение средних равно