Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по геометрии. 10 класс. Часть 1 (Задания на оценку 3)

1 Задания для подготовки к годовой промежуточной аттестации по геометрии. 10 класс. Часть 1 (Задания на оценку 3) Аксиомы стереометрии и следствия из них. 1. Плоскость, притом только одна, проходит через а) любые три точки; б) любые три точки лежащие на одной прямой; в) любые три точки не лежащие на одной прямой. 2. Плоскость, притом только одна, проходит через а) две пересекающиеся прямые; б) одну прямую; в) две скрещивающиеся прямые. 3. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая а) пересекает плоскость; б) лежит в плоскости; в) параллельна плоскости. 4. В кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскости D 1 B 1 B и B 1 A 1 D 1 а) не пересекаются, б) пересекаются по прямой А 1 В; в) пересекаются по прямой B 1 D 1 5.Точка М лежит вне плоскости четырехугольника АВСД. Плоскости МАВ и МВС пересекаются по прямой а) МА; б) МВ; в) МС; г) АВ. 6. На рисунке прямая МЕ и плоскость АВС а) не пересекаются; б) пересекаются в точке Е; в) пересекаются в точке В; г) пересекаются в точке К 7.На рисунке прямая КЕ пересекает плоскость АВС в точке лежащей на прямой а) АВ; б) АС; в) ВС 8. Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости, следовательно а) какие-то три из них лежат на одной прямой; б) никакие из трех данных точек не лежат на одной прямой; в) прямые АВ и СД пересекаются. 9. Какое из следующих утверждений верно? а) любые четыре точки лежат в одной плоскости;

2 б) любые три точки не лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна. 10. Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости? а) 2; б) 3; в) несколько; г) бесконечно много или ни одной. 11. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось? а) 2; б) 3; в) 1; г) бесконечно много. 12. Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в пространстве они: а) не определяют в любом случае; б) определяют, но при дополнительных условиях; в) определяют в любом случае; г) ничего сказать нельзя. 13. Выберите верное утверждение. а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; б) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна; в) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя; г) любые две плоскости не имеют общих точек. 14. Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF. а) AD; б) DE; в) DF; г) AF. 15. Какую из перечисленных плоскостей пересекает прямая EF? а)abc; б) AA 1 D; в) BB 1 C 1 ; г) AEF. 16. Через точку М, не лежащую на прямой а, провели прямые, пересекающие прямую а. Тогда: а) эти прямые не лежат в одной плоскости; б) эти прямые лежат в одной плоскости; в) часть прямых лежит в плоскости, а часть - нет; г) все прямые совпадают с прямой а. 17. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение плоскостей α и β? а) они совпадают; б) имеют только одну общую точку; в) не пересекаются; г) пересекаются по некоторой прямой. 18. Точки A,B,C не лежат на одной прямой. M AB; K AC; X MK. Выберите верное утверждение. а) X AB; б) X AC; в) X ABC; г) точки Х и М совпадают. 19. Плоскость, притом только одна, проходит через

3 а) прямую; б) прямую и не лежащую на ней точку; в) прямую и лежащую на ней точку. 20. Плоскость, притом только одна, проходит через а) две скрещивающиеся прямые; б) две параллельные прямые; в) прямую и лежащую на ней точку. 21. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то а) пересекает плоскость; б) лежит в плоскости; в) параллельна плоскости. 22. В кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскости АСС 1 и В 1 С 1 С пересекаются по прямой а) АС; б) ВС; в) СС Параллелограмм АВСД и треугольник ДКС не лежат в одной плоскости. Плоскости АДК и ДКС пересекаются по прямой а) АД; б) ДК; в) КС; г) АК. 24. На рисунке прямая МК и плоскость АВС а) не пересекаются; б) пересекаются в точке А; в) пересекаются в точке М; г) пересекаются в точке С. 25. Прямая МР пересекает плоскость АВС в точке лежащей на прямой а) АВ; б) ВС; в) АС. 26. Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости, следовательно а) какие-то три из них лежат на одной прямой; б) никакие из трех данных точек не лежат на одной прямой; в) прямые АВ и СД пересекаются. 27. Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой? а) Пересекаются; б) ничего сказать нельзя; в) не пересекаются; г) совпадают; 28. Какое из следующих утверждений верно? а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости; б) любые две плоскости имеют только одну общую точку; в) через две точки проходит плоскость и притом только одна;

4 г) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника. 29. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки? а) Никогда; б) могут, но при дополнительных условиях; в) всегда имеют; г) нельзя ответить на вопрос. 30. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось? а) 1; б) 2; в) 3; г) бесконечно много. 31. Выберите верное утверждение. а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна; б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; в) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна; г) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя. 32. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB. а) PM; б) AB; в) PB; г) BM. 33. Какую из перечисленных плоскостей пересекает прямая РМ (рис.4)? а) DD 1 C; б) D 1 PM; в) B 1 PM; г) ABC; д) CDA. 34. Две плоскости пересекаются по прямой с. Точка М лежит только в одной из плоскостей. Что можно сказать о взаимном положении точки М и прямой с? а) Никакого вывода сделать нельзя; б) точка М лежит на прямой с; в) прямая с не проходит через точку М; г) другой ответ. 35. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c? а) Все прямые лежат в разных плоскостях; б) все прямые лежат в одной плоскости; в) ничего сказать нельзя; г) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b. 36. Прямые а и b пересекаются в точке О. A a, B b, Y AB. Выберите верное утверждение. а) Точки O и Y не лежат в одной плоскости; б) прямые a, b и точка Y лежат в одной плоскости; в) точки O и Y совпадают; г) точки Y и A совпадают. 37. Основными фигурами в стереометрии являются: а) куб; б) точка; в) луч; г) треугольник; д) прямая; е) плоскость.

5 Прямые в пространстве. 1. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. Точки К, Р, Е и Н середины отрезков МА, АВ, МС, ВС. Следовательно а) четырехугольник РКЕН является трапецией; б) четырехугольник РКЕН является параллелограммом в) прямые КР и ЕН скрещиваются. 2. Если через две параллельные прямые проходят пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения а) параллельна каждой из двух прямых или совпадает с одной из них; б) пересекается хотя бы с одной из этих прямых; в) скрещивается хотя бы с одной из прямых. 3. Выясните взаимное расположение прямых АС и КС. а) параллельны; б) определить нельзя; в) скрещиваются; г) пересекаются. 4. Каково взаимное расположение прямых AD 1 и MN? а) параллельны; б) определить нельзя; в) скрещиваются; г) пересекаются. 5. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC, K середина MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK? а) скрещиваются; б) параллельны; в) совпадают; г) пересекаются. 6. Выберите верное утверждение. а) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек; б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны; в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны; г) если углы равны, то их стороны соответственно сонаправлены. 7. Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда: а) прямые а и с пересекаются; б) прямая с лежит в плоскости α; в) прямые а и с скрещиваются; г) прямые а и с параллельны. 8. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b? а) скрещиваются или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) только скрещиваются; г) только параллельны. 9. Через вершину А параллелограмма ABCD и точку М, не лежащую в плоскости параллелограмма, проведена прямая АМ. Чему равен угол между прямыми АМ и ВС, если угол MAD равен 120?

6 а) определить нельзя; б) 120 ; в) 30 ; г) 60 ; д) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Чему равен угол между прямыми BD и AВ 1? а) 90 ; б) 45 ; в) 30 ; г) Точка К не лежит в плоскости треугольника АВС. Точки О; Д; Р и Е середины отрезков АС; АВ; КС и КВ соответственно а) четырехугольник ОРЕД является трапецией; б) четырехугольник ОРЕД является параллелограммом; в) прямые ОЛ и РЕ скрещиваются 12. Если через две параллельные прямые проходят пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения а) параллельна каждой из двух прямых или совпадает с одной из них; б) пересекается хотя бы с одной из этих прямых; в) скрещивается хотя бы с одной из прямых. 13. Выясните взаимное расположение прямых MN и NP. а) Параллельны; б) скрещиваются; в) определить нельзя; г) пересекаются. 14. Каково взаимное расположение прямых DA 1 и MN? а) Параллельны; б) определить нельзя; в) пересекаются; г) скрещиваются. 15. Точка М не лежит в плоскости четырехугольника ABCD, K середина МА. Каково взаимное расположение прямых МВ и DK? а) Определить нельзя; б) скрещиваются; в) параллельны; г) пересекаются. 16. Выберите верное утверждение. а) если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то углы равны; б) две прямые, параллельные третьей прямой, пересекаются; в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны;

7 г) две прямые, имеющие общую точку, являются скрещивающимися. 17. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда: а) прямые b и с пересекаются; б) прямая b лежит в плоскости β; в) прямые b и с скрещиваются; г) прямые b и с параллельны. 18. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если любая плоскость, проходящая через а, не параллельна b? а) скрещиваются; б) параллельны; в) пересекаются г) определить нельзя. 19. Через вершину С параллелограмма ABCD и точку М, не лежащую в плоскости параллелограмма, проведена прямая СМ. Чему равен угол между прямыми АВ и МС, если угол МСD равен 100? а) 100 ; б) 80 ; в) 130 ; г) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб. Чему равен угол между прямыми B 1 С и A 1 В? а) 30 ; б) 45 ; в) 60 ; г) 90. Параллельность прямых и плоскостей. 1. Плоскость пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точках К и Р. Известно, что ВС //, тогда прямые ВС и КР а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются. 2. Точка К не лежит в плоскости треугольника ВДС, точки А, М, и Р середины отрезков КВ, КД, КС соответственно. Каково взаимное расположение плоскостей ВДС и АМР? а) плоскости параллельны; б) плоскости пересекаются; в) их расположение определить нельзя. 3. Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые а)скрещиваются или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) только скрещиваются; г) только параллельны.

8 4. В тетраэдре ДАВС точка М лежит на ребре АВ, а точка К на ребре ДВ. Точка пересечения прямой МК и плоскости АВС лежит на прямой а) ВС; б) АВ; в) АС; г) ДС. 5. В кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 точка Е лежит на ребре АА 1, а точка К на ребре АВ. Точка пересечения прямой ЕК с плоскостью грани ВВ 1 С 1 С лежит на прямой а) ВС; б) В 1 С 1 ; в) ВВ 1 ; г) СС В кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 плоскость, проходящая через прямую АМ и вершину В, пересекает плоскость грани ДД 1 С 1 С по прямой а) МС 1 ; б) МВ; в) МС; г) параллельной АВ и проходящей через точку М. 7. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости? а) только параллельны; б) все случаи взаимного расположения; в) только скрещиваются; г) только пересекаются. 8. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно? а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α; б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α; г) прямая а имеет общую точку с плоскостью. 9. Даны трапеция ABCD и плоскость α. Диагонали трапеции AC и BD параллельны плоскости α. Тогда прямая BA и плоскость α: а) Параллельны; б) пересекаются; в) определить нельзя; г) прямая ВА лежит в плоскости.

9 10. Плоскость, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках М и К соответственно. Точка М середина АВ. Найдите длину MK, если AD = 10, ВС = 6. а) 16; б) 11; в) 13; г) Через концы отрезка NM, не пересекающего плоскость α, и точку К середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках N 1, М 1, К 1 соответственно. Найдите длину отрезка NN 1, если ММ 1 = 16, КК 1 = 9. а) 2; б) 5; в) 12; г) 12, В треугольнике АВС точки F и E принадлежат сторонам СВ и АВ соответственно, причѐм ВЕ : ЕА = 2 : 3. Через эти точки провели плоскость, параллельную АС. Найдите отношение BF : FC. а) 3 : 2; б) 2 : 3; в) 3 : 5; г) 2 : Точки М, Н, К середины соответствующих сторон AD, DC, СВ. МР BCD. Найдите периметр четырѐхугольника MHKP, если АС = 10 и BD = 8. а) 18; б) 26; в) 28; г) Плоскость пересекает стороны ВС и АС треугольника АВС соответственно в точках М и Е. Известно, что АВ //, тогда прямые АВ и МЕ а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются. 15. Точка Д не лежит в плоскости треугольника АВС, точки Р, О, и М середины отрезков ДА, ДВ, ДС соответственно. Каково взаимное расположение плоскостей АВС и РОМ? а) плоскости параллельны; б) плоскости пересекаются; в) их расположение определить нельзя. 16. Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые а)скрещиваются или пересекаются; б) скрещиваются или параллельны; в) только скрещиваются; г) только параллельны.

10 17. В тетраэдре МАВС точка О лежит на ребре МС, а точка К на ребре МВ. Точка пересечения прямой ОК и плоскости АВС лежит на прямой а) АС; б) АВ; в) ВС; г) АМ. 18. В кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 точка К лежит на ребре ДД 1, а точка М на ребре АД. Точка пересечения прямой МК с плоскостью грани АА 1 В 1 В лежит на прямой а) АА 1 ; б) А 1 В 1 ; в) АВ; г) ВВ В кубе АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 плоскость, проходящая через прямую КВ и вершину С, пересекает плоскость грани АА 1 В 1 В по прямой а) КВ 1 ; б) КВ; в) КС; г) параллельной ВС и проходящей через точку К. 20. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая а лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости? а) Параллельны или пересекаются; б) скрещиваются или пересекаются; в) параллельны или скрещиваются; г) определить нельзя. 21. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно? а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α; б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α; в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α; г) прямая а имеет общую точку с плоскостью. 22. Даны треугольник АВС и плоскость α, причем АВ α, АС α, тогда прямая ВС и плоскость α: а) параллельны; б) пересекаются; в) прямая лежит в плоскости; г) определить нельзя.

11 23. Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его стороны в точках М и К. Найдите длину АВ, если точка М середина АС, а длина МК равна 10. а) определить нельзя; б) 10; в) 5; г) 6⅔; д) Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость α и точку С середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А 1, В 1,С 1 соответственно. Найдите длину отрезка СС 1, если АА 1 = 12, ВВ 1 = 6. а) 6; б) 9; в) 6 2 ; г) В параллелограмме АВСD точки E и F принадлежат сторонам АВ и СД соответственно, причем BE : EA = CF : FD. Через эти точки проведена плоскость α так, что AD α, тогда: а) ВС α; б) ВС α; в) ВС α; г) плоскость α совпадает с плоскостью параллелограмма. 26. Точки M, H, P- середины соответственно сторон AD, DC, AB. HK ABD. Найдите периметр четырехугольника MHKP, если AC=8, BD=10. а) 18; б) 36; в) 28; г) 26; Перпендикулярность прямой и плоскости. 1. Какое из следующих утверждений верно? а) Две прямые перпендикулярные третьей перпендикулярны между собой; б) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости; в) две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой; г) прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 2. Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними? а) 90 0 ; б) 0 0 ; в) ; г) 45 0.

12 3. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВM, перпендикулярная его плоскость. Какое из следующих утверждений неверно? а) MD CD; б) MB BC; в) MА АД; г) MВ AC. 4. Дан правильный треугольник ABC со стороной, равной 3. Точка O центр треугольника, OM перпендикуляр к его плоскости, OM = 1. Найдите расстояния от точки M до вершин треугольника. а) 2 ; б) 3 ; в) 3; г) Прямая m перпендикулярна к прямым a и b, лежащим в плоскости α, но m не перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых a и b. а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются; г) определить нельзя. 6. Отрезок AB, равный 5см, не имеет общих точек с плоскостью α. Прямые AC и BD, перпендикулярные к этой плоскости, пересекают ее в точках C и D соответственно. Найдите BD, если CD = 3см, AC = 17см, BD< AC. а) 12см; б) 13см; в) 21 см; г) 10 см. 7. В тетраэдре DABC AD AC, AD AB, DC BC. Тогда прямая BC и плоскость ADC: а) параллельны; б) прямая ВС лежит в плоскости; в) прямая ВС пересекает плоскость, но не перпендикулярна к плоскости; г) перпендикулярны. 8. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4см, а до каждой из его вершин 6см. Найдите диагональ квадрата. а) 2 5 см; б) 5см; в) 5 2 см; г) 2 3 см В треугольнике АВС C 90. Точка Д не лежит в плоскости АВС, причем ДС АС. Плоскости ДСВ перпендикулярна прямая а) АВ; б) АС; в) АД; г) определить нельзя.

13 10. Точка К не лежит в плоскости ромба АВСД. Известно, что КВ АВ КВ ВД. Плоскости КВД перпендикулярна прямая а) АВ; б) АД; в) АС; г) АК. 11. Какое из следующих утверждений неверно? а) Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости; б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает; в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны; г) если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны. 12. Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая? а) Да; б) да, но при определенных условиях; в) определить нельзя; г) нет. 13.ABCD квадрат со стороной, равной 2, O точка пересечения его диагоналей, OE перпендикуляр к плоскости ABC, OE = 3. Найдите расстояние от точки E до вершин квадрата. а) 3 ; б) 4; в) 1; г) Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВК, перпендикулярная его плоскости. Какое из следующих утверждений неверно? а) КD CD; б) КB BC; в) КА АД; г) КВ AC. 15. Прямая а перпендикулярна к прямым с и b, лежащим в плоскости α, прямая а перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых с и b. а) только параллельны; б) только пересекаются; в) параллельны или пересекаются; г) определить нельзя. 16. Отрезок MH не имеет общих точек с плоскостью α. Прямые MK и HT, перпендикулярные к этой плоскости, пересекают ее в точках K и T соответственно. Найдите MH, если KT = 3см, MK = 2см, HT = 6см. а) 7 см; б) 7см; в) 5 см; г) 3см. 17. Точка E не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. BE AB, BE BC. Тогда прямая CD и плоскость BCE: а) параллельны;

14 б) перпендикулярны; в) определить их взаимное расположение нельзя ; г) прямая лежит в плоскости. 18. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4см, а до каждой из его сторон 6см. Найдите диагональ квадрата. а) 2 5 см; б) 5 2 см; в) 5см; г) 4 5 см. 19. АВСД квадрат. Вне его плоскости выбрана точка К, причем КА АВ. Плоскости АКД перпендикулярна прямая а) ДС; б) КС; в) ВК; г) ВС В треугольнике АВС A 90, АН высота треугольника. Вне плоскости АВС выбрана точка Д, причем ДВ ВС, ДВ АВ. Плоскости ДВС перпендикулярна прямая а) АД; б) АВ; в) АН; г) АС. Перпендикуляр и наклонные. 1. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 20см и 15см. Их проекции на эту плоскость относятся как 16 : 9 (рис. 1). Найдите расстояние от точки М до плоскости α. а) 20см; б) 6 2 см; в) 13см; г) 12см. 2. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см. а) 4см; б) 8см; в) 6см; г) 2см. 3. Через точку А, удаленную от плоскости α на 4см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α, если длина отрезка АВ равна 6см. а) arccos2/3; б) arcsin2/3; в) arcsin3/2; г) arctg2/3. 4. Точка М не лежащая в плоскости треугольника АВС равноудалена от его вершин, МО перпендикуляр к плоскости АВС. Точка О является

15 а) центром вписанной в треугольник АВС окружности; б) центром описанной возле треугольника АВС окружности; в) центром тяжести треугольника АВС; г) точкой пересечения высот треугольника АВС. 5. Отрезок КА перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого 36 см 2. Расстояние между прямыми КА и ВС равно а) 6 2 см; б) 12 см; в) определить нельзя, не хватает данных; г) 6 см. 6. Отрезок НВ перпендикулярен плоскости квадрата АВСД. Угол между прямой НД и плоскостью квадрата АВСД это угол а) НВД; б) НДС; в) НДВ; г) НДА. 7. Прямая CD перпендикулярна к плоскости остроугольного треугольника ABC, у которого CK высота. Найдите расстояние от точки A до плоскости CDK, если DA = 8 см, а DAK = а) 4 см; б) 2 2 см; в) 4 2 см; г) 16см. 8. ВВ 1 перпендикуляр к плоскости ромба АВСД, диагонали которого пересекаются в точке О. Плоскости В 1 ОВ перпендикулярна прямая а) АВ; б) ВС; в) СД; г) АС. 9. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых относятся как 13 : 15. Их проекции на эту плоскость равны 10 см и 18 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости α. а) 34см; б) 24см; в) 32см; г) 23см. 10. Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 5с. Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC, если AB =3 2 см. а) 4 см; б) 4 2 см; в) 2см; г) 34 см. 11. Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Угол между прямой АВ и плоскостью α равен Найдите длину

16 отрезка АВ. а) 4см; б) 3см; в) 6см; г) 5см. 12. Точка М не лежащая в плоскости треугольника АВС равноудалена от его сторон, МО перпендикуляр к плоскости АВС. Точка О является а) центром вписанной в треугольник АВС окружности; б) центром описанной возле треугольника АВС окружности; в) центром тяжести треугольника АВС; г) точкой пересечения высот треугольника АВС. 13. Отрезок МВ перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого 64 см 2. Расстояние между прямыми МВ и СД равно а) 8 2 см; б) 16 см; в) определить нельзя, не хватает данных; г) 8 см. 14. Отрезок КА перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. АН высота этого треугольника. Углом между прямой КН и плоскостью АВС является угол а) КНВ; б) КНС; в) КАН; г) КНА. 15. Отрезок ВМ перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника АВС, АВ = ВС = 5 см и ВК = 4см. ВК медиана треугольника АВС. Найдите расстояние от точки С до плоскости МВК а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 5 см. 16. СС 1 перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, диагонали которого пересекаются в точке О. Плоскости С 1 ОС перпендикулярна прямая а) СД; б) ВС; в) ОД; г) АД. Угол между плоскостями. 1. Плоскости и пересекаются по прямой с. Точка, лежащая в плоскости, удалена от плоскости на 2 2 см, а от прямой с на 4см. Угол между и равен а) 30 0 ; б) 45 0 ; в) 60 0 ; г)

17 2. Прямая ДА перпендикулярна сторонам АВ и АС треугольника АВС и не лежит в его плоскости. Перпендикулярными являются плоскости а) ДАС и АВС; б) ДАВ и ДВС; в) ДАС и ДВС; г) ДВС и АВС. 3. Равнобедренные треугольники АВС и АДС имеют общее основание АС, причем ВД АВС. ВМ медиана треугольника АВС. Линейным углом для двугранного угла ДАСВ является угол а) ДАВ; б) ДСВ; в) ДМС; г) ДАС. 4. Пирамида ДАВС правильная. О центр основания АВС, ОК радиус окружности вписанной в основание. Линейным для двугранного угла при основании является угол а) ДАО; б) ДСО; в) ДАС; г) ДКО. 5. Через вершину А параллелограмма АВСД проведѐн к его плоскости перпендикуляр АМ. Линейным углом между плоскостями МАД и МАВ является угол а) МДА; б) ДАВ; в) МВА; г) МАД. 6. АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат АВСД. Боковая грань АА 1 В 1 В и диагональное сечение ВВ 1 Д 1Д образуют угол равный а) 30 0 ; б) 45 0 ; в) 60 0 ; г) В треугольнике АВС С = 90 0, МО // ВС. ДО перпендикуляр к плоскости АВС. Линейным углом между плоскостями АВС и ДАС является угол а) ДАО; б) ДМО; в) ДСО; г) ДАС.

18 8. Катет АС прямоугольного треугольника АВС у которого С = 90 0 лежит в плоскости, ВД. Линейным углом двугранного, образованного плоскостью и плоскостью АВС, является угол а) АСД; б) АСВ; в) АВД; г) АВС. 9. АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 - куб. Тангенс угла образованного основанием АВСД и плоскостью АВ 1 С равен а) 2 ; 1 б) ; 2 в) 3 ; 1 г) ДАВС треугольная пирамида, АЕ ДС и ВЕ ДС. Линейным углом для двугранного ВДСА является угол а) АДВ; б) АСВ; в) ЕАВ; г) АЕС. 11. МАВС пирамида, МА АВС. Основание АВС равнобедренный треугольник, АС = АВ. АК медиана этого треугольника. Линейным углом для двугранного ВДСА является угол а) МКА; б) КМА; в) МВА; г) МСА. 12. Плоскости и пересекаются по прямой с. Точка, лежащая в плоскости, удалена от плоскости на 3 см, а от прямой с на 6 см. Угол между и равен а) 30 0 ; б) 45 0 ; в) 60 0 ; г) Прямая МВ перпендикулярна сторонам АВ и ВС треугольника АВС и не лежит в его плоскости. Перпендикулярными являются плоскости а) МАС и АВС; б) МАВ и АВС; в) МАС и МВС; г) МВС и МАС.

19 14. Равнобедренные треугольники АВС и АВД имеют общее основание АВ, причем СД АВС. СК медиана треугольника АВС. Линейным углом для двугранного угла САВД является угол а) ДАВ; б) ДВС; в) ДАС; г) СКД. 15. Пирамида КАВС правильная. О центр основания АВС, ОН радиус окружности вписанной в основание. Линейным для двугранного угла при основании является угол а) КНО; б) КАО; в) КСО; г) НКО. 16. Через вершину В треугольника АВС проведѐн к его плоскости перпендикуляр ВК. Линейным углом между плоскостями СКВ и АКВ является угол а) КСА; б) КАС ; в) СВА; г) ВСА. 17. АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 - куб. Боковая грань АА 1 В 1 В и диагональное сечение ВВ 1 Д 1Д образуют угол равный а) 30 0 ; б) 45 0 ; в) 60 0 ; г) АВСД прямоугольная трапеция у которой АВС = ДК перпендикуляр к плоскости трапеции. Линейным углом между плоскостью трапеции АВСД и плоскостью КАВ является угол а) КАВ; б) КВД; в) КАД; г) АКД. 19. Катет АВ прямоугольного треугольника АВС у которого А = 90 0 лежит в плоскости. СН. Линейным углом двугранного, образованного плоскостью и плоскостью АВС, является угол а) САН; б) СВН; в) САВ; г) СВА.

20 20. АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 - куб. Тангенс угла образованного основанием АВСД и плоскостью ВС 1 Д равен а) 2 ; 1 б) ; 2 в) 3 ; г) МАВС треугольная пирамида, ВК МА и СК МА. Линейным углом для двугранного САМВ является угол а) САВ; б) СКМ; в) ВКА; г) СКВ. 22. КАВС пирамида, КС АВС. Основание АВС равнобедренный треугольник, АС = ВС. СМ медиана этого треугольника. Линейным углом для двугранного КАВС является угол а) КАС; б) КМС; в) МКС; г) КВС. Часть 2 (Задания на оценку 4-5). 1. Верна ли формулировка признака параллельности прямой и плоскости: «Прямая, параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости». 2. Прямые а и b параллельны. Какое положение может занимать прямая а относительно плоскости, проходящей через прямую b? 3. Даны прямая и две пересекающиеся плоскости. Охарактеризовать все возможные случаи их взаимного расположения. 4. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и вторая прямая параллельна это плоскости? 5. Даны две пересекающиеся плоскости. Существует ли плоскость, пересекающая две данные плоскости по параллельным прямым? 6. Даны две скрещивающиеся прямые. Можно ли через одну из этих прямых провести плоскость, параллельную другой? 7. В плоскости даны две пересекающиеся прямые а и b. точка С не лежит в плоскости. Каковы возможные случаи расположения прямой, проходящей через точку С, относительно прямых а и b?

21 8. Выясните взаимное расположение прямых: 9. Дан АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 -куб. Заполни пропуски о взаимном расположении прямых и плоскостей: 10. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? 11. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: А) пересекаться? Б) быть скрещивающимися? 12. Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с? 13. Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Точа А и А 1 лежат на прямой а, точки В и В 1 на прямой b. Как будут расположены прямые АВ и А 1 В 1? 14. Прямая а скрещивается с прямой b,а прямая b скрещивается с прямой с. Следует ли из этого, что прямые а и с скрещиваются? 15. Каково должно быть взаимное расположение трех прямых, чтобы можно было провести плоскость, содержащую все прямые? 16. Можно ли провести прямую, пересекающую каждую из трех скрещивающихся прямых? 17. Даны две пересекающиеся плоскости и. В плоскости лежит прямая а, а в плоскости - прямая b. Лежат ли прямые а и b в одной плоскости, если известно, что они пересекают линию пересечения плоскостей и : А) в одной точке; Б) в разных точках? 18. Даны две параллельные плоскости и. В плоскости лежит прямая а, а в плоскости - прямая b. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямых а и b? 19. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника? 20. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника? 21. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости? 22. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что вся окружность лежит в этой плоскости? 23. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости? 24. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые? 25. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости; через любые три точки проходит единственная плоскость? 26. Средняя линия трапеции лежит в плоскости. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость? 27. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей и. Каково взаимное расположение а и ; а и? 28. Прямая b непараллельна линии пересечения плоскостей и. Каково взаимное расположение b и ; b и?

22 29. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой? 30. Плоскость параллельна из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение второй прямой и плоскости? 31. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой? 32. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны? 33. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость? 34. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Пересекаться? 35. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? 36. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Какого взаимное расположение данной прямой и второй диагонали? 37. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в данной плоскости, скрещиваются? 38. Верно ли утверждение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости»? 39. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»? 40. Как расположены по отношению друг к другу ребра, выходящие из одной вершины куба? 41. Как расположены плоскости верхней и нижней граней по отношению к боковым ребрам? 42. Верно ли утверждение: «Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны»? 43. Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые АD и DС пересекают эту плоскость. 44. Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости. Докажите, что сторона СD параллельна этой плоскости. Задания еще будут добавлены.