научная статья по теме РОЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ТРОЕК АТОМОВ В ФОРМИРОВАНИИ ЭЛАСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ Физика

Текст научной статьи на тему «РОЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ТРОЕК АТОМОВ В ФОРМИРОВАНИИ ЭЛАСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2011, том 75, № 5, с. 704-708

Научно-исследовательский институт физики Южного Федерального университета, Ростов-на-Дону

Широко известно, что взаимодействия троек частиц, не сводимые к суммам парных взаимодействий, играют важную роль в формировании нелинейных и анизотропных характеристик кристаллов. Наша цель — установить общий вид зависимости этих свойств от взаимодействий троек атомов, который бы зависел только от структуры кристаллов. Для того чтобы отделить взаимодействия троек атомов от взаимодействия четверок, считаем, что энергия троек взаимодействующих атомов зависит только от характеристик треугольника, вершины которого расположены в центрах тяжести взаимодействующих атомов. Таким образом, в принимаемой модели внутренняя энергия должна быть инвариантна относительно перестановки номеров взаимодействующих атомов и любых вращений треугольника в изотропном пространстве: P(3) х 0(3). Чтобы конкретизировать вид зависимости энергии от характеристик мысленно выделенных треугольников, был построен целый рациональный базис инвариантов, зависящих от компонент векторов, соединяющих вершины каждого из треугольников. Затем на примере простой зависимости энергии от базисных инвариантов показано, как перейти от предположенной зависимости энергии от инвариантов к зависимости энергии от решеточных сумм.

В монографии М. Борна и Хуань-Куня [1] при выводе выражений для констант жесткости второго порядка сделано единственное допущение: термодинамические и механические характеристики состояния кристалла, образованного одним сортом атомов, расположенных в центросимметричных позициях кристаллической структуры, определяют только парные центральные взаимодействия. Результатом такого предположения стали соотношения Коши для констант жесткости второго порядка (С аРу8 = Сау|38). Для кубических кристаллов соотношения Коши имеют вид одного равенства:

^xx,xx,yy ^ xx, xy,xy>

^xx,yy,zz xx,yz,yz xy,yz,zxi

Известно, что соотношение (1) в широком интервале температур не выполняется ни для одного из кубических кристаллов [2].

Если при расчетах констант жесткости третьего и четвертого порядков тоже учитывать только парные центральные взаимодействия между атомами, то между этими константами жесткости также выполняются "дополнительные", противоречащие их определению и симметрии тензора деформаций иар, соотношения, аналогичные соотношениям Коши (1). Для кубических кристаллов они имеют вид

Соотношения (2—3) противоречат определению Сар,у8,ап и Сар1у5ст11Лц и, следовательно, так же, как и соотношения (1), не должны выполняться ни для одного из веществ.

Цель нашей работы — изложение основанного на соображениях симметрии подхода к выводу выражений для констант жесткости второго, третьего и четвертого порядков в моделях, учитывающих взаимодействия, зависящие от взаимного расположения атомов в тройках атомов, произвольно выделенных в кристаллической решетке. Энергии взаимодействия между атомами, входящими в тройку, и несводимые к суммам эффективных взаимодействий пар атомов, будем называть трехчастичными.

1. ЦЕЛЫЙ РАЦИОНАЛЬНЫЙ БАЗИС

ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ТРЕХЧАСТИЧНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ КАК ФУНКЦИИ МЕЖАТОМНЫХ РАССТОЯНИЙ

Энергия взаимодействия трех частиц как функция векторов т1к, гк1 и ги, соединяющих частицы одного сорта I, к и I, не зависит от того, какой номер

присвоен каждой из трех частиц. Соединив частицы, входящие в рассматриваемую тройку, отрезками прямых, получим треугольник. Предположим также, что энергия взаимодействия трех частиц зависит только от их взаимного расположения и не зависит от ориентации построенного треугольника в пространстве кристаллической решетки. Этим предложением из рассмотрения исключаются взаимодействия четверок частиц, несводимые к суммам парных и трехчастичных взаимодействий (исключаются "четырехчастичные" взаимодействия). Энергия трехчастичных взаимодействий между частицами одного сорта будет сложной функцией от полиномов, образующих целый рациональный базис инвариантов (ЦРБИ) группы Р (3) ® О(3) [3, 4]. Здесь Р (3) — группа перестановок трех частиц; а О (3) — группа трехмерных вращений в изотропном пространстве.ЦРБИ группы Р (3) ® О (3), построенный на векторах гы ,гк1 и ги, состоит из девяти полиномов [3, 4]:

Т1 - г1к + Гк1 + гИ , Т2 - гЫгЫ + гк1гП + гНг1к, т _ ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2

Т 3 - г1кгк1 + гк1гИ + гИ г1к,

I4 = (44 )(44) + (44) (44) + (44) (Ш;), ¡5 = 42 [(44) + (4-4)] + 42 [(44) + (44)] + + 4 [[4) + (44)], ¡6 = ?1к?к1?и, ¡7 = (44; )(44)(4 4), (4)

Л = (к2)2 [(44;) + ОШ] + + ()) [(4кГц) + (44)] + (42 )2 [(44) + (44)],

¡9 = 42 )2 + (44)2 ] + + 42 [(44 )2 + (44 )2 ] + ?и [(Г>-Г?к)2 + (44)2 ] •

2. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОНСТАНТ ЖЕСТКОСТИ КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ

Приведем вывод зависимости выражений констант жесткости второго, третьего и четвертого порядков кубических кристаллов от инвариантов базиса.

Обозначим векторы, соединяющие центры частиц в состоянии до деформации символом Гк0. Рассмотрим малую деформацию векторов, соединяющих частицы §4 = 4 - 4о. Такая деформация межатомных расстояний приводит к деформации инвариантов (4): Ыр = 1р (4,4,4) -— ¡р (40,410,40). В случае однородных по кристаллу конечных деформаций §гк = Гк0«ар, где

ных деформаций, а а, р и у — тензорные индексы.

Деформации Ыр инвариантов (4) могут быть представлены в виде

+ 1р (к0, гк10, 40 )иавЫв& + + 1р ) (к0, 4;0, 4(0) иарир5истп +

р ) (к0,4го, 4(0) иарирбистпи1ц + • (1) ,

В (5) величины I р1 зависят от начальных расстояний между атомами в недеформированном кристалле:

40, 4;0 и гт. Явный вид величин Iр) определяется конкретным видом полинома 1р из (4).

Предположим, как в [5], что плотность упругой энергии кристалла является гладкой полиномиальной функцией компонент тензора конечных деформаций иав:

Е3 = Е - Е = V кар (Е3 )иар +

+ V СаР,у8 (Е3 )иариу8 +

V СаР,у8,а% (Е3 ) иаРиу8иа

Дифференцируя плотность упругой энергии (6) по компонентам тензора деформации иар в отсутствие внешних напряжений, получим вклады в коэффициенты расширения кар (Е3) и в эффективные

константы жесткости второго С*р 8 (Е3), третьего

с*р,у8,ап (Е3) и Че1БертогО порядков С*^,^ (Е3), обусловленные трехчастичными взаимодействиями:

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎