научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАДИАЦИОННОЙ СИЛЫ Математика

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАДИАЦИОННОЙ СИЛЫ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 73. Вып. 2, 2009

ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАДИАЦИОННОЙ СИЛЫ

На основе ранее выведенного выражения для радиационной силы, действующей на движущиеся точечные источники в стратифицированой жидкости, изучается свободное движение тонкого цилиндрического тела. Приводится вывод основных уравнений движения, указываются границы применимости используемого приближения и представляются результаты расчетов типичных траекторий тела, начинающего движение с заданной скоростью из положения нейтральной плавучести под углом к горизонту. Расчеты траектории движения тонкого цилиндрического тела в стратифицированной жидкости при учете полной радиационной силы показывают, что влияние боковой компоненты этой силы значительно и приводит не только к количественным поправкам, но и к качественным эффектам (например, к усилению колебаний тела и изменению направления его движения). Полученные результаты имеют отношение как к движению твердых тел в жидкостях, так и к поступательному движению вихревых диполей в слабо стратифицированных средах.

Движение материальных объектов в сплошных средах, обладающих спектром собственных колебаний, вообще говоря, сопровождается излучением волн той или иной природы, что приводит к появлению дополнительных радиационных сил, действующих на источники этих волн. Эффекты такого рода подробно изучены в электродинамике при черенковском излучении электромагнитных волн быстро движущимися зарядами. Сходные физические явления возникают также в стратифицированных средах, например, в атмосфере или в океане, при излучении внутренних гравитационных волн движущимися телами. Однако излучение внутренних волн обладает рядом специфических особенностей из-за их анизотропной природы [1-3], связанной с действием силы тяжести.

При равномерном движении источника под произвольным углом к горизонту из-за асимметрии поля излучения относительно направления движения действующая на источник полная радиационная сила имеет кроме продольной компоненты (волнового сопротивления) также и поперечную компоненту, которая работы не совершает, но искривляет траекторию движения источника. Ранее был проведен расчет обеих этих компонент радиационной силы при заданной скорости источника [4]. Представляет интерес рассмотрение самосогласованной задачи об ускоренном либо замедленном движении тел в стратифицированной среде при действии полной радиационной силы наряду с силой тяжести.

Цель работы - исследование траекторий движения тела в такой среде в квазистационарном приближении.

1. Основные уравнения. Общие соотношения. Рассмотрим движение в идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости тела цилиндрической формы радиуса а, ось которого перпендикулярна градиенту плотности. Будем для простоты полагать

жидкость безграничной и экспоненциально стратифицированной по плотности, так что частота Брента-Вяйсяля постоянна:

N = (--gL<ddp- ] = const

где g - ускорение силы тяжести, pf(z) - невозмущенная плотность жидкости. Пусть в начальный момент времени тело имеет скорость u0, направленную под углом ф0 к горизонту. Исследуем дальнейшее движение тела.

Выберем неподвижную систему координат xs, zs так, чтобы уровень zs = 0 являлся уровнем нейтральной плавучести тела, т.е. на этом уровне Pf (0) = ps, где ps - плотность тела. При этом плотность жидкости Pf (zs) = psexp(-N2zs/g). Уравнение движения тела имеет вид

Ps -if = J( Рn' ds) + PsgGs (1.1)

где vt - скорость тела, Gs - площадь поперечного сечения тела, p - давление окружающей жидкости, S - поверхность тела, n - единичный вектор нормали к поверхности тела.

Первое слагаемое в правой части уравнения (1.1) представляет собой силу, действующую на тело со стороны жидкости. Для ее вычисления перейдем в систему координат, движущуюся вместе с телом (фиг. 1). В этой неинерциальной системе координат жидкость на больших расстояниях от тела движется со скоростью -us(t), уравнение Эйлера принимает вид

Представим поле скорости жидкости в виде суммы скоростей невозмущенного потока и возмущения, вносимого телом в поток:

Будем моделировать погруженное тело массовым диполем, ориентированным вдоль направления обтекания, дипольный момент которого 1

частности, если движущееся тело - цилиндр радиуса а, то величина дипольного момента составляет I = 2па2и5. Такая модель, как известно [2], оправданна в случае, если число Фруда достаточно велико: Бг = ь5КИа) > 1.

Для нахождения компонент радиационной силы, возникающей из-за потери телом импульса на излучение внутренних волн, необходимо знать поле возмущений скорости. Предполагая, что амплитуда волн, излучаемых при обтекании тела, в дальней зоне (г > X, X - длина волны) достаточно мала, воспользуемся линейным приближением для их описания. В рассматриваемой системе координат уравнения движения и неразрывности, описывающие такие возмущения в приближении Буссинеска, имеют вид

БУ 1 д р' „ Б1 1 д р' р'£ „ Бр' А Р г п

Бг р^ дх Бг рдг р^ Бг йг (13)

дУ дw' , ч Б д д д

дх дг Бг дг дх дг

Здесь У и w' - возмущения горизонтальной и вертикальной компонент скорости, р', и р' - возмущения давления и плотности, р^ - плотность жидкости в месте нахождения тела, т(х, г) - источник массы, моделирующий движущееся тело, который в рассматриваемом случае движущегося диполя равен /8'(гц)8(г1), где 5 - дельта-функция Дирака, 5' - ее производная, Гц и г± - продольная и поперечная компоненты радиус-вектора источника относительно вектора его скорости. На фиг. 1 показано направление движения источника и компоненты действующей на него радиационной силы р и а также полная радиационная сила Р. В виду линейности уравнений (1.3) очевидно, что все возмущения гидродинамических полей пропорциональны I.

Используя преобразование Фурье по горизонтальной и вертикальной координатам, можно привести систему (1.3) к одному уравнению для комплексной амплитуды возмущения вертикальной компоненты скорости W' (г, кх, кг):

Б2р1' кX 2 кг Брт (кх, к.)

Брг кх + кг кх + кг Брг

где -р-— = =-- + ¡кхи + ikгW - приведенный выше оператор субстанциональной произ-

водной Б в Фурье-представлении по пространственным координатам, т (кх, кг) - Фурье-образ источника, кх, ку - компоненты волнового вектора к.

Из уравнения (1.4) видно, что при выполнении условия

его решение имеет вид

где е - бесконечно малая величина, введенная в соответствии с правилом Лайтхилла [2] для устранения особенности в решении. Очевидно, что при выполнении условия (1.5) зависимость волнового поля от времени становится чисто параметрической. Границы применимости такого квазистационарного приближения будут оценены ниже.

Для вычисления силы, действующей на тело, используем прием, описанный ранее [5, 4]. Гидродинамическая сила, действующая на единицу длины цилиндрического тела в жидкости, определяется потоком импульса, уносимого на бесконечность внутренними волнами из выделенного объема G, содержащего тело; изменением импульса в единицу времени внутри этого объема, а также импульсом внешних сил - инерции и тяготения, действующих на жидкость в этом объеме. Введем нумерацию координат, так что индекс 1 соответствует х-координате, а индекс 2 - г-координате, тогда для j-й компоненты (/ = 1, 2) этой силы можно записать выражение

/ = -д-Яр/+ ! | (п+ П2"2)^ - Цр/(и + Е5,2)ds Ц.7)

где П, ¡(¡, I = 1, 2) - элементы тензора потока импульса, щ - компоненты орта нормали к поверхности, ограничивающей выделенный цилиндрический объем О, ДБСБ - прямоугольный контур, охватывающий сечение этого цилиндрического объема в перпендикулярной плоскости Хц, г„, 5,2 - символ Кронекера.

Если обтекаемое тело заменить источником массы т(х, г), то из уравнения Эйлера при учете уравнения непрерывности для каждой '-й компоненты скорости имеем

it +1 ^aXfj = - P f-Э7- f 2 + P / u> (L8)

Интегрируя уравнение (1.8) по площади поперечного сечения внутри выделенного объема жидкости G, за исключением площади сечения самого тела Gs, и сравнивая результат с выражением (1.7), получим в приближении Буссинеска

f = Pfs Í ds - PfsgGs - P/SÍÍ V'mdxdz

Первое слагаемое в правой части этого равенства представляет собой силу, связанную с присоединенной массой тела при нестационарном движении в жидкости [1, 3]. Она равна -cmPfSdvs/dt, где cm - коэффициент присоединенной массы. Второе слагаемое - архимедова сила плавучести, третье - искомая радиационная сила, обусловленная излучением волн телом.

Подробный расчет радиационной силы, действующей на равномерно движущийся источник в стратифицированной среде, был приведен ранее [4]. При этом зависимости полной радиационной силы и ее компонент от величины и направления скорости источника определяются формулами

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎