Всероссийская математическая олимпиада для учащихся 8 классов
Кто и зачем провел эту олимпиаду. По новому Положению о Всероссийской олимпиаде школьников региональный и заключительный этапы олимпиады проводятся только для учащихся 9–11-х классов. Более того, Центральный оргкомитет олимпиады не рекомендовал допускать восьмиклассников к участию в заключительном этапе олимпиады за 9-й класс. Чтобы восполнить эти потери, группа организаций, работающих с математически одаренными школьниками, учредила и провела для российских восьмиклассников математическую олимпиаду имени Леонарда Эйлера 1 . Олимпиада проводилась также в Болгарии и Грузии. Для участников олимпиада была бесплатной: организационные расходы спонсировали АНОО «Вятский центр дополнительного образования» (г. Киров) и ООО «Компания Яндекс» (Москва), оказавшая олимпиаде также информационную поддержку. И конечно, олимпиада не состоялась бы без активной поддержки педагогов и наставников, работающих с одаренными школьниками.
Дистанционный этап. Олимпиада проходила в три этапа. Первый — дистанционный — состоялся в декабре. Участвовать в нем могли все желающие восьмиклассники и учащиеся более младших классов, прошедшие интернет-регистрацию. Этап включал 7 туров, проходивших в разное время дня и разные дни недели, чтобы каждый, независимо от часового пояса и смены, мог выбрать удобное для участия время. Чтобы пройти на второй этап, достаточно было показать хороший результат хотя бы в одном из туров.
Четыре тура дистанционного этапа были традиционными, три — тестовыми. По трудности все они соответствовали муниципальному этапу Всероссийской олимпиады, а три из четырех туров традиционного этапа были проведены по вариантам муниципальных этапов Кировской области и Удмуртии, а также Омской городской олимпиады им. Кукина 2 . Участники традиционных туров должны были в течение 6 часов после публикации отсканировать, сфотографировать либо набрать в текстовом редакторе свою работу и отправить файлы на проверку электронной почтой. В первых двух тестовых турах на выполнение заданий давалось 2 часа, за которые надо было дать один из трех ответов — «да», «нет», «не знаю» — на каждый из 50 вопросов, поставленных по 10 заданиям тура. За верный ответ начислялся 1 балл, за неверный снимался 1 балл, ответ «не знаю» стоил 0 баллов. Третий, «непрерывный» тестовый тур длился с 17 по 20 декабря. В нем каждому участнику генерировался индивидуальный пакет заданий, на которые надо было дать числовые ответы.
Публикация статьи произведена при поддержке «Института по повышению квалификации и профессиональной переподготовке специалистов». Институт проводит обучение во всех регионах РФ, доступны очная и дистанционная формы обучения, выдаётся диплом государственного образца с присвоением квалификации согалсно ФГОС. Программы обучения – переподготовка на учителя информатики и икт, педагог-психолог, педагог дополнительного образования детей и взрослых, олигофренопедагогика, руководитель организации социального обслуживания, специалист органа опеки и попечительства, специалист по работе с семьёй и другие специальности. Чтобы узнать подробную информацию об институте, посмотреть список программ и сроков обучения, цены и контакты перейдите по ссылке: http://center-professional.ru/.
В дистанционном этапе приняли участие около 3000 школьников из 46 регионов России. Многие из них узнали об олимпиаде из ссылок на образовательных интернет-ресурсах и контекстной рекламы, предоставленной Яндексом. Важнейшую роль в пропаганде новой олимпиады сыграли учителя и руководители кружков, работающие с одаренными школьниками. Около 80 из них получили статус доверенных лиц Координационного совета олимпиады с правом проводить традиционные туры дистанционного этапа для своих подопечных в очном режиме обычной олимпиады, а во многих случаях — и правом первичной проверки работ.
Региональный этап олимпиады проходил в 35 регионах России и собрал около 900 участников. Он был очным и проводился доверенными лицами Координационного совета. Кроме лучших участников дистанционного этапа сюда были приглашены лучшие участники локальных математических соревнований, которые Координационный совет, будучи уверенным в достаточном уровне вариантов и качестве проверки работ, признал выводящими: Турнира городов, окружных олимпиад и Математического праздника в Москве, муниципального этапа Всероссийской олимпиады в Санкт-Петербурге и ряде других регионов России, личных олимпиад Уральских турниров юных математиков, Кубка памяти А.Н. Колмогорова, Кировской летней многопредметной школы, олимпиад им. Анисимовой в г. Ижевске и им. Кукина в г. Омске и некоторых других.
Региональный этап проходил по задачам, составленным Методической комиссией Всероссийской олимпиады. По ним же проходили официальные региональные математические олимпиады для восьмиклассников в большинстве регионов России, где они были сохранены (отметим, что в нескольких случаях толчок к такому сохранению дало именно появление нашей олимпиады). Поэтому эти олимпиады проходили одновременно — 23–24 января, а участникам региональных олимпиад для восьмиклассников, проводившихся по тем же задачам, их результаты шли и в зачет олимпиады им. Эйлера.
Работы участников регионального этапа проверялись и оценивались по единым критериям Методического совета олимпиады. Лучшие работы из регионов, где была организована их местная проверка, и все работы из регионов, где ее не было, сканировались и направлялись электронной почтой в Центральное жюри. Поскольку в него вошли представители различных регионов России, проверка велась в интернете. Были опасения, что такая проверка затянется, но удалось придумать достаточно эффективную схему ее организации, и к середине февраля она была завершена. При этом каждая работа, автор которой имел шансы пройти на заключительный этап, была проверена дважды, а в сложных и спорных случаях — трижды.
Заключительный этап состоялся с 24 по 27 марта в городах Кирове, Москве, Омске и Санкт-Петербурге. По формату и уровню трудности варианта он соответствовал заключительному этапу Всероссийской олимпиады школьников. Вариант составил Методический совет олимпиады при содействии Методической комиссии по математике Всероссийской олимпиады школьников.
На финал были приглашены все участники регионального этапа, набравшие не менее 36 баллов (из 56 возможных), а также восьмиклассники и учащиеся более младших классов, выступавшие на региональном этапе Всероссийской олимпиады за 9-й класс и набравшие не менее 30 баллов, и победители традиционных Московской и Санкт-Петербургской математических олимпиад. Те, кто набрал на региональном этапе от 33 до 35 баллов, могли участвовать в заключительном этапе, оплатив регистрационный взнос. В итоге в финале олимпиады приняли участие 209 школьников (8 — вне конкурса): 167 восьмиклассников, 39 семиклассников и 3 шестиклассника из Архангельской, Белгородской, Вологодской, Иркутской, Кировской, Костромской, Курганской, Ленинградской, Московской, Нижегородской, Новосибирской, Омской, Ростовской, Самарской, Саратовской, Свердловской, Тамбовской, Томской, Челябинской, Ульяновской, Ярославской областей, Камчатского, Красноярского, Краснодарского, Пермского краев, республик Башкортостан, Марий Эл, Тува, Татарстан, Саха (Якутия), Удмуртия, Чувашия, городов Москвы и Санкт-Петербурга, а также города Петропавловска Республики Казахстан. В Кировском финале участвовали 66 школьников, Московском — 65, Омском — 45, Санкт-Петербургском — 33. Непростая задача унификации критериев оценки решений и награждения между четырьмя локальными жюри была своевременно и успешно решена с помощью электронной переписки и телефонных переговоров, и утром 27 марта на всех четырех локальных финалах было проведено награждение участников, показавших наиболее высокие результаты.
Абсолютным победителем олимпиады с результатом 55 баллов из 56 возможных стал семиклассник из физико-математического лицея № 239 г. Санкт-Петербурга Дмитрий Крачун. Он награжден дипломом I степени и специальным дипломом за абсолютно лучший результат. Дипломами I степени награждены также 5 участников, показавших результаты в диапазоне от 39 до 43 баллов: Ленар Исхаков (г. Ижевск), Никита Косинов (г. Ульяновск), Павел Осипов (г. Томск), Александр Калмынин (г. Иркутск), Николай Крохмаль (г. Белгород). Дипломы II степени получили 17 участников, показавших результаты от 32 до 36 баллов; участница, выступавшая вне конкурса и набравшая 32 балла, награждена дипломом II степени от жюри. Дипломами III степени награждены 37 участников, набравших от 26 до 31 балла, похвальными грамотами за успешное выступление — 22 участника, набравшие от 23 до 25 баллов. Все участники заключительного этапа, выступавшие в основном конкурсе, получили сертификаты участника. 124 лучших результата, показанные участниками финала, в том числе результаты всех победителей и призеров, опубликованы в интернете по адресу http://www.matol.ru/3etap_res.xls.
Что показала олимпиада?Данные о числе и географии участников дистанционного этапа и доверенных лиц, участвовавших в его проведении, показывают, что Всероссийская математическая олимпиада высокого уровня для учащихся 7–8-х классов широко востребована как школьниками, так и учителями. Об этом же говорит и сохранение в ряде регионов официальных региональных математических олимпиад для восьмиклассников, несмотря на их исключение из нового Положения о Всероссийской олимпиаде школьников.
В число победителей и призеров финала Олимпиады им. Эйлера вошли 10 петербуржцев, 8 москвичей, 7 жителей Татарстана, по 3 школьника из Белгородской, Иркутской, Кировской, Омской, Ульяновской областей и Удмуртии. Это полностью подтверждает разумность и справедливость положенного в ее основу принципа индивидуальности, в соответствии с которым олимпиада является соревнованием школьников, а не школ, городов и регионов, и восхождение ее участников по лестнице этапов должно определяться исключительно их личными достижениями. Ведь если бы мы отбирали участников так же, как их в этом году отбирали на финал Всероссийской олимпиады по математике, куда от одних регионов проходили «победители», набравшие на региональном этапе 20 баллов из 56, а из других из-за жесткой конкуренции не проходили участники с 54 баллами, то подавляющее большинство этих талантливых ребят осталось бы за бортом.
Наконец, успех Олимпиады им. Эйлера демонстрирует, что в России существует дееспособное и активное сообщество педагогов и наставников математически одаренных детей: без его деятельного участия олимпиада, сравнимая по масштабу с официальной Всероссийской и проведенная полностью на общественных началах, была бы невозможна. Оно могло бы столь же деятельно и эффективно участвовать и в проведении Всероссийской математической олимпиады школьников, но действующее Положение о ней практически не востребует его потенциал, отводя энтузиастам работы с одаренными детьми роль, самое большее, наемных членов жюри.
А теперь — о математике! Ниже мы публикуем задания одного традиционного и одного тестового туров дистанционного этапа, а также полные варианты регионального и заключительного этапов с решениями и критериями оценки работ по стандартной семибалльной шкале. После формулировки каждой задачи в скобках указан ее автор или источник. Полные варианты всех традиционных туров дистанционного этапа олимпиады можно найти на ее сайте www.matol.ru.
Третий традиционный тур
задачи муниципального этапа математической олимпиады Кировской области для 8-го класса
1. (Фольклор) Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.
Решение. Три возможных ответа изображены на рисунке 1. Можно показать, что других конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.
За любой верный рисунок — 7 баллов.
2. (И. Рубанов) Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?
Решение . Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся стало быть, попал 55 – 5 = 50 раз.
1. За ответ без объяснения — 0 баллов. 2. За верный ответ, полученный рассмотрением частного случая (например, когда промахами окончились последние пять выстрелов) — 2 балла. Если при этом вдобавок замечено, что после каждого промаха число пулек у мальчика уменьшается на 2, но это не использовано для того, чтобы провести рассуждение в общем виде, ставится 3 балла.
3. И. Рубанов) Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60°.
Решение . Пусть биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I (рис. 2). Допустим, что AIC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника
BAC + BCA = 120°
ABC = 180°– BAC – BCA = 60°.
Но это еще не все решение: ведь может случиться, что AIC = 60°. Однако тогда
IAC + ICA = 120°,
BAC + BCA = 240°,
Решение, где не рассмотрен или рассмотрен неверно случай, когда угол в 60° лежит против стороны треугольника, а не ее части, оценивается не выше, чем 4 балла. Если, напротив, верно рассмотрен только этот невозможный случай, решение оценивается в 2 балла.
4. (Д. Ланин) Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?
Ответ : от сгущенки.
Решение . По условию
3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,
3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,
Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в.
1. Если получены неравенства м + с > 2в и 2с > м + в, но никаких разумных выводов из них не сделано, ставится 0 баллов. 2. За ответ «сгущенка» без обоснования — 0 баллов. 3. Грубой ошибкой является использование в решении «равенства» за это ставится 0 баллов.
5. (И. Рубанов по мотивам задачи с Омской городской математической олимпиады 2001/ 02 учебного года.) В каждой клетке клетчатой доски размером 50 × 50 записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.
Решение . Покажем, что подойдет раскраска клеток доски в шахматном порядке. Заметим, что сумма данного числа и его соседей по диагоналям равна сумме соседей этого числа по сторонам: обе суммы втрое больше данного числа. Поэтому в квадрате 2 × 2, находящемся в углу доски, суммы чисел в красных и синих клетках совпадают: обе они втрое больше числа, стоящего в угловой клетке доски. Также совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого прямоугольника 3 × 2, примыкающего длинной стороной к краю доски: обе они втрое больше числа, стоящего в средней клетке стороны, примыкающей к краю доски. Наконец, совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого квадрата 3 × 3: обе они втрое больше числа, стоящего в центре квадрата.
Разобьем доску 50 × 50 на квадрат 48 × 48, квадрат 2 × 2 и два прямоугольника 2 × 48, как показано на рисунке 3. Квадрат 48 × 48 разобьем на квадраты 3 × 3, а прямоугольники 2 × 48 — на прямоугольники 3 × 2, примыкающие длинной стороной к краю доски. В каждом из этих квадратов и прямоугольников суммы чисел, стоящих в красных и синих клетках, равны. Значит, они равны и на всей доске.
1. Указание на шахматную раскраску без обоснования — 0 баллов. 2. Если задача решена только для доски 3x3 — 0 баллов. 3. За идею разбиения доски на части, каждую из которых можно раскрасить, при отсутствии дальнейшего продвижения — 1 балл.
«Непрерывный» тестовый тур
пример варианта; авторы А. Шаповалов, О. Ланин
1. ( 1 балл ) В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?
Менее чем 4 ходами не обойтись: чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички. Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.
2. (1 балл) Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?
Решение. Пусть — такое число. Тогда N – 19 тоже кратно 19. Но Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95. Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.
3. У даты 12.04.1961 (то есть 12 апреля 1961 года) сумма цифр равна 24. Найдите ближайшую дату после 01.01.2008, у которой сумма цифр равна: а) (2 балла) 35; б) (2 балла) 7.
Ответ: а) 29.09.2049; б) 03.01.2010.
Решение. а) Наибольшая сумма цифр числа равна 11 для 29-го числа. Наибольшая сумма цифр месяца равна 9 для сентября, то есть для 09. Значит, наибольшая сумма цифр в текущем году будет у даты 29.09.2008. Она равна 30, что меньше 35. Следовательно, надо менять и год. Последняя цифра года не более 9, и если мы сохраняем первые две цифры, то придется цифру десятилетий увеличить до 4.
б) Для 2008 года сумма цифр года уже больше 27, поэтому год придется изменить. Ближайший год в будущем с меньшей суммой цифр — 2010-й. Соответственно, ближайшая подходящая дата 03.01.2010.
4. (3 балла) Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.
Решение. Чтобы произведение было точным квадратом, нужно, чтобы каждый простой множитель входил в него в четной степени. В произведение 8 · 9·. · 17 в нечетной степени входят 2, 7, 11, 13 и 17. Значит, мы обязаны вычеркнуть сомножители 11, 13 и 17. А вот чтобы «убить» лишние простые множители 2 и 7, хватит одного вычеркнутого сомножителя 14. Итого сумма вычеркнутых чисел равна 11 + 13 + 14 + 17 = 55.
5. ( 3 балла ) На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?
Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51. При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 – 36 = 15, при втором — 51 – 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18. Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8. Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 — 8.
6. ( 3 балла ) В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?
Решение. Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем и не больше, чем Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно
7. ( 5 баллов ) Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?
Решение. Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 – 18 = 24, он затратит 18·3 + 24·9 = 270 мин. При этом Васе, наоборот, достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24·3 + 18·11 = 270 мин — то же самое время. Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится. Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).
Замечание. Конечно, ответ 18 угадывать не надо, достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение
x·3 + (42 – x)·9 = (42 – x)·3 + 11x.
8. ( 5 баллов ) На каждую клетку шахматной доски положили по несколько монет так, чтобы суммы на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались на 1 р. Известно также, что на одной из клеток лежит 6 р., а на другой — 20 р. Найдите наибольшую возможную сумму монет на двух главных диагоналях.