Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 7 класс

1 Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 7 класс 1. Дети парами выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 2014 орехов? 2. На доске было написано трехзначное число без нулевых цифр. Из него получили три двузначных числа: первое вычеркиванием первой цифры (из исходного числа), второе вычеркиванием второй цифры (из исходного числа), третье вычеркиванием третьей цифры (из исходного числа). Найдите исходное число, если сумма трех полученных чисел равна В городе живут рыцари и лжецы. Рыцари говорят всегда только правду, а лжецы всегда лгут. Однажды в автобусе ехало несколько человек. «Сейчас остановка А. Следующая остановка Б», - произнес 1-й пассажир. «Сейчас остановка Б, - сказал 2-й. Предыдущая была В». «Предыдущая была В, - вступил в спор 3-й пассажир. Сейчас остановка А!». Определите, сколько из этих троих пассажиров рыцарей. 4. В клетках квадратной таблицы произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть ли оказаться так, что среди чисел ровно на 1? - суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло любые два соседних числа различаются 5. Встретились два математика, А и В, А спросил: «Сколько лет твоим четырем сыновьям?» На что В ответил, что произведение их возрастов равно 36, а сумма равна номеру проезжающего мимо автобуса. Подумав немного, А сказал, что этой информации ему недостаточно. Тогда В добавил: «Да, я забыл сказать, что мой старший сын занимается плаванием», и А назвал возраст детей. Как это ему удалось?

2 Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 8 класс 1. Докажите, что число не делится на Докажите, что если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить удвоенное произведение двух средних из них, то получится квадрат натурального числа. 3. В олимпиаде по математике участвовали двое близнецов. На вопрос о том, есть ли у них еще братья и какого они возраста, близнецы ответили: «У нас есть брат, его возраст записывается двумя одинаковыми цифрами, а суммарный возраст всех нас троих двузначное число, у которого вторая цифра вдвое больше первой». Определите возраст братьев. 4. Точка К середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника АВС. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что ВL = СМ. Докажите, что треугольник LMK также прямоугольный равнобедренный. 5. Каждый житель острова Гдетотам рыцарь, всегда говорящий правду, лжец, который всегда лжет, или хитрец, который может и лгать, и говорить правду. Однажды собрались трое жителей острова. Первый сказал: «Я лжец». Второй сказал: «Среди нас есть хитрец». Третий сказал: «Среди нас есть лжец». Сколько хитрецов могло быть среди собравшихся?

3 Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 9 класс 1. Произведение трех натуральных чисел оканчивается на Докажите, что их сумма не может равняться Верно ли, что если квадратные уравнения и не имеют корней, то и уравнение также не имеет корней? 3. Докажите, что не существует двух натуральных чисел, таких, что их сумма равна 201, а произведение делится на На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD (AB=1) взяты соответственно точки K, L, M и N так, что AK+LC+CM+NA=2. Докажите, что отрезки KM и LN перпендикулярны. 5. Двое по очереди выписывают на доску натуральные числа от 1 до Первым ходом первый игрок выписывает на доску число 1. Затем очередным ходом на доску можно выписать либо число 2а, либо число а + 1, если на доске уже написано число а. При этом запрещается выписывать числа, которые уже написаны на доске. Выигрывает тот, кто выпишет на доску число Кто выигрывает при правильной игре?

4 Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике ( уч. год) 10 класс 1. Коля отправился за грибами между восемью и девятью часами утра в момент, когда часовая и минутная стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня, при этом часовая и минутная стрелки его часов были направлены в противоположные стороны. Сколько времени продолжалась Колина прогулка? 2. Найдите все такие простые p и q, что уравнение имеет целые корни. 3. Существует ли такое число x, что все три числа, и являются целыми? 4. В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что АС = ВD, а точка Е середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите угол DEC. 5. Двое играют в следующую игру. Есть три кучки камней. В первой из них лежит 7 камней, во второй 9 камней, в третьей 11 камней. Ходят по очереди. За один ход разрешается либо взять из любой кучки камень, либо взять по одному камню из любых двух кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может выиграть в этой игре независимо от ходов соперника?

5 Олимпиадные задачи муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике ( уч. год) 11 класс 1. Существует ли такое число х, что значения выражений и - целые числа? 2. Назовем число почти квадратом натурального числа. Докажите, что произведение почти квадратов двух последовательных натуральных чисел также является почти квадратом натурального числа. 3. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник ВСМ, быть в 2 раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС? 4. Сколько положительных членов есть среди 2014 членов последовательности. 5. Два игрока играют в следующую игру: сначала на доске написаны числа 2,4,6,8,,2014. За один ход можно уменьшить на 1 любое из написанных чисел. При этом с доски стираются нули и числа, совпадающие с какими то из уже написанных на доске чисел. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется ни одного числа. Кто выигрывает при правильной игре?

6 Ответы и решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 7 класс 1. Ответ: не могло. Решение. Заметим, что число орехов у каждой пары детей делится на 3. Это означает, что суммарное число орехов должно делиться на 3. Однако число 2014 на 3 не делится. 2. Ответ: 998. Решение. Из представления следует, что либо два из слагаемых равны 98, а одно 99 (тогда исходное число было 998), либо два слагаемых равны 99, а одно 97 (это невозможно, потому что любая цифра по условию встречается хотя бы в двух из полученных чисел). 3. Ответ: все лжецы. Решение. Заметим, что 2-й и 3-й высказываются о текущей остановке по-разному, а о предыдущей одинаково. Это означает, что среди них нет ни одного рыцаря, т.е. 2-й и 3-й лжецы. Но 3-й и 1-й говорят о текущей остановке одинаково, значит, 1-й тоже лжец. 4. Ответ: не могло. Решение. Предположим, что требуемая расстановка чисел существует. Тогда, так как суммы чисел, стоящих в соседних столбцах, отличаются на единицу, то в пяти столбцах сумма чисел четна, а в пяти других нечетна, т.е. сумма чисел во всей таблице нечетна. Однако = 5050 четное число противоречие. 5. Ответ: 1, 2, 2 и 9. Решение. Число 36 можно разложить на 4 натуральных сомножителя девятью способами. При этом получаются 8 различных сумм этих сомножителей. Но раз второй математик сказал, что этой информации недостаточно, то это означает, что возможно больше одного варианта решения, то есть или - в обоих случаях сумма сомножителей равна 14. После последней подсказки (про старшего сына) становится ясно, что детям первого математика 1, 2, 2 и 9 лет.

7 Ответы и решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 8 класс 1. Решение. Рассмотрим сумму ( ) ( ) ( ) = ( ). В последней сумме первое слагаемое делится на 3, а второе слагаемое не делится на 3. Поэтому и вся сумма не делится на Решение. Имеем ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )= ( ) 3. Ответ: 13, 13 и 22 года. Решение. Из условия получаем, ( ) откуда следует, что - четная цифра, т.е. (теоретически возможно и, но тогда уже не является цифрой). Значит Первое невозможно, так как тогда возраст каждого из близнецов - ( ), и они не могли участвовать в олимпиаде, во втором случае их возраст ( ). 4. Решение. Медиана СК треугольника АВС является также высотой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный. Поэтому KBC = KCB = KCA = 45. Отсюда КС = КВ, и, значит, треугольники КВL и КСМ равны по двум сторонам (KC =KB, BL = CM) и углу между ними. Поэтому КL =КМ, и из равенства ВКL = СКМ следует LKM = LKC + CKM = LKC + BKL = BKC = 90. Значит, треугольник LMK прямоугольный равнобедренный. 5. Ответ: два или три. Решение. Если первый рыцарь, то он солгал, а если лжец, то сказал правду. Ни то ни другое невозможно. Поэтому первый хитрец. Значит, второй сказал правду. Он может быть рыцарем или хитрецом. Если третий сказал правду, то он хитрец или рыцарь. Но тогда лжеца среди собравшихся на самом деле нет противоречие. Поэтому третий солгал, и лжецов среди собравшихся действительно нет. Следовательно, третий хитрец.

8 Ответы и решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 9 класс 1. Решение. Если сумма трех целых чисел равна 9999, то либо они все нечетны (и тогда их произведение оканчивается на нечетную цифру), либо два из них четны, а одно нечетно (тогда их произведение делится на 4, а число, оканчивающееся на 14, на 4 не делится). 2. Ответ: верно. Решение. Первое решение. По условию Покажем, что тогда ( ) ( ) Имеем ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ). (Мы использовали неравенство ( ).) Второе решение. Пусть По условию при всех так как Но тогда и значит, уравнение не имеет корней. 3. Решение. Предположим, что нашлись такие два числа, что а делится на 201. Так как то одно из чисел, для определенности, делится на 3, но тогда и делится на 3. Аналогично и, и делятся на 67, т.е. каждое из них не меньше, т.е. их сумма больше 201 противоречие. 4. Решение. Проведем CP MK и DQ NL, тогда CMKP и DQLN параллелограммы, значит, KP = CM и LQ = DN. Тогда AK+LC+CM+NA = AK+LQ+CQ+CM+NA = AK+KP+DN+NA+CQ = = AP+AD+CQ = 2 BP+CQ. Итак, CQ = BP и, значит, DQC = CPB. Отсюда QDC= PCB=90 PCD, т.е. DQ перпендикулярен CP, и, значит, LN перпендикулярен KM. 5. Ответ: второй. Решение. Заметим, что если какой-то из игроков выпишет на доску число 500 или 999 (назовем такой ход проигрышным), то его противник следующим ходом выпишет число 1000 и выиграет. Какие числа могут быть выписаны на доску до появления чисел 500 и 999? Во-первых, это все числа от 1 до 449 (их 449). Во-вторых, это все числа от 502 до 998 (их 497), так как 502 можно получить удвоением из числа 251. Заметим также, что число 501 может получиться только из числа 500, т.е. перед появлением числа 500 или 999 будет сделано не более =996 непроигрышных ходов. При этом если сделано менее 996 непроигрышных ходов, то можно сделать еще один. Действительно, все числа от 2 до 499 можно получить из 1 операцией а + 1. Число 502 получается из 251. А из 502 можно получить все числа от 503 до 998. Таким образом, можно сделать четное число непроигрышных ходов. Это означает, что проигрышный ход сделает первый игрок.

9 Ответы и решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 10 класс 1. Ответ: 6 часов. Решение: По прошествии 6 часов минутная стрелка находится в исходном положении, а часовая поворачивается на 2. Ответ: p = q = 2 Решение: Пусть x 1, x 2 корни уравнения. Тогда по теореме Виета x 1 x 2 =, x 1 + x 2 = - q. Отношение простых чисел целое, значит, p = q и x 1 x 2 = 1, откуда x 1 = x 2 = - 1 и p = q = 2 3. Ответ: Не существует. Решение: Предположим, что существует такое число x, что все три числа, данные в условии, целые. Тогда их сумма, равная x, тоже целая. Первое число будет целым тогда, когда x целое и целое. Но из равенства следует:. Однако разность между двумя квадратами целых чисел не может равняться 2, поскольку между и разность равна 1, а между любыми двумя другими квадратами она хотя бы равна 3. Таким образом, первое число не может быть целым. 4. Ответ: 90. Решение: Точка Е середина дуги АВ (см. рисунок), поэтому АЕ = ВЕ. Кроме того, вписанные углы САЕ и ЕВС, опирающиеся на одну дугу, равны. Также по условию АС = ВD. Значит, треугольники АСЕ и ВDЕ равны, откуда СЕА = ВЕD. Но тогда DЕС = ВЕА 90, так как ВЕА = ВСА. 5. Ответ: Выиграет второй Решение: Выигрывает тот, после чьего хода в кучках не осталось камней. Опишем выигрышную стратегию второго игрока. Если первый игрок первым ходом взял 1 камень из какой-нибудь кучки, то второму следует взять по 1 камню из двух других кучек. Если же первый игрок первым ходом взял по 1 камню из каких-то двух кучек, то второму следует взять 1 камень из оставшейся кучки. Таким образом, после хода второго в первой кучке будет лежать 6 камней, во второй 8 камней, в третьей 10 камней, т.е. в каждой кучке будет лежать четное число камней. Каждым следующим ходом второй должен брать столько же камней и из тех же кучек, что и первый, т.е. после каждого хода второго в каждой кучке будет оставаться четное число камней. Второй всегда сможет сделать ход, так как после хода первого в тех кучках, из которых он брал камни, будет оставаться нечетное число камней, т.е. хотя бы по одному. А так как второй всегда сможет сделать ход, то именно он и заберет последние камни из кучек и выиграет.

10 Ответы и решения задач муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по МАТЕМАТИКЕ ( уч. год) 11 класс 1. Ответ: Не существует. Решение: Пусть и, где n и m целые числа. Тогда =,, следовательно, ( )( ), откуда ( ). Число иррационально, поэтому это равенство возможно лишь в случае. Полученное равенство возможно только для иррациональных n и m ( ) 2. Доказательство: Утверждение следует из цепочки равенств: (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Ответ: Не может Первое решение: Пусть - данные окружности (см. рисунок), их радиусы,. Тогда из формулы S=rp и равенства следует, что периметры треугольников АВС и ВМС должны быть равны. Но ( ) В С Второе решение: Построим треугольник АDC, в котором ВМ средняя линия. Он подобен треугольнику ВМС с коэффициентом 2, т.е радиус r вписанной в него окружности равен, но r > (окружности вписаны в один угол С, но окружность касается более удаленной от вершины угла С, чем АВ, прямой АD). 4. Ответ: 3 положительных члена Решение: При имеем ( ) ( ) ( ) делится на 9, значит, ( ) делиться на 360. Поэтому все члены последовательности, начиная с четвертого, совпадают с ( ). Таким образом, в последовательности 3 положительных члена. 5. Ответ: Выигрывает первый игрок. Решение: Выигрышная стратегия для первого игрока такова: каждый раз выбирать для своего хода наименьшее из написанных на доске нечетных чисел, а если таковых нет произвольное (четное) число. Если первый игрок следует своей стратегии, то после первого хода образуется одно нечетное число, после хода второго игрока 0 или 2 нечетных. Следовательно, после хода первого вновь будет ровно одно нечетное число. При этом не может появиться пара ( ) так как она может возникнуть только из пары ( ) а первый игрок выбирает для хода меньшее из двух написанных нечетных чисел. Значит, после хода второго игрока вновь будет 0 или 2 нечетных числа (ровно одно могло бы появиться, если бы перед каждым ходом была пара ( )) и т.д. Значит, после каждого хода первого игрока число нечетных чисел равно 1 и он не проигрывает.