" Исследование некоторых кривых в полярной системе координат."

Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека. Хочется рассказать о таком случае: на одном из внутренних рейсов по РФ в лайнере отказали все навигационные приборы, и экипаж успешно посадил борт при помощи обычного стакана с водой, который показывал угол наклона самолёта относительно земли. А лётная полоса – вот она, из лобового стекла видна. Можно вспомнить, что в повести Р.Л.Стивенсона «Остров сокровищ» описано, как старый пират Флинт определил местоположение закопанного клада: «Десять футов к северу от высокого дерева на склоне Подзорной Трубы». А как составить карту местности, как прочитать координаты цели, выдаваемой радиолокационной станцией или как интерпретировать томографию сердца? Значит, обычной школьной прямоугольной системой координат недостаточно, для описания некоторых процессов и предметов из окружающего пространства. Думаю, что некоторые элементарные преобразования кривых в ПСК будут соответствовать элементарным преобразованиям в ДСК. Для проведения исследования использовал следующие методы:

- обзор литературы по теме;

- анализ различных систем координат;

Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые я проиллюстрирую на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

Скачать:

Подписи к слайдам:

XXII городская конференция учащихся «Виват, молодая наука!» «Исследование некоторых кривых в полярной системе координат.» Выполнил: Ученик 11 класса «Б» МБОУ «СОШ №14» Норман Роман Михайлович Научный руководитель – Козлова Наталья Борисовна

Цель работы: Изучение принципов построения графиков в полярной системе координат. Задачи: - организовать поиск и отбор материала по теме; - научиться строить графики в полярной системе координат, - сравнить полярную и декартовую прямоугольную системы координат; - научиться переводить график кривой из одной системы в другую; провести собственное исследование

Объект исследования: полярная система координат. Предмет исследования: элементарные преобразования кривых, заданных в ПСК на примере кардиоиды. Методы исследования: - обзор литературы по теме; - анализ различных систем координат; - анкетирование одноклассников; - эксперимент. Гипотеза: Некоторые элементарные преобразования кривых в ПСК будут соответствовать элементарным преобразованиям в ДСК.

При изучении уравнений с двумя переменными, графического способа решения систем уравнений возникла необходимость построения графиков уравнений с двумя переменными типа 2х+3 y =5, x 2 + y 2 =9, x y =4 и т.п. Особый интерес вызвали графики уравнений ( x 2 + y 2 ) 2 =2( x 2 - y 2 ). В декартовой системе координат это построение будет весьма сложным. В полярной же системе координат эта процедура намного упрощается. Кроме непосредственного интереса эта тема привлекает внимание ещё и тем, что найдёт свое приложение в «Интегральном исчислении». Актуальность:

Существуют разные версии о том, как и когда формально ввели полярную систему координат. Ещё в древности намёки на полярные координаты появлялись у греческого астронома Гиппарха, у Архимеда. Динострат использовал их в неявном виде при исследовании квадратрисы в IV веке до н.э . Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. Чёткое представление об определении точки на плоскости при помощи полярных координат имеется у Л. Эйлера и С.Е. Гурьева.

Система координат Системой координат называется совокупность одной, двух, трёх или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, - начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат.

Любая отличная от начала координат точка М однозначно определяется своим расстоянием ОМ = r от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком ОМ. Кроме того, задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков. Полярная система координат – двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом.

Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Установим связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Рассмотрим АОМ

Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Пример 1. Требуется построить точку М ( 2 ; ) в полярной системе координат. Проведем луч ОР под углом к полярной оси ОЕ и отложим от полюса отрезок ОМ, равный двум единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будут искомой точкой . Пример 2. Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой М ( ; ). Решение: По формулам получаем Ответ: М( 3; )

Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Пример 3. Прямоугольные координаты точки А (1; ). Требуется найти ее полярные координаты. Решение: По формуле получаем . Зная получим откуда Ответ: А( 2 ; )

Некоторые кривые в полярных координатах. Окружность. Уравнение вида r = K = const определяет окружность с центром в полюсе радиуса K .

2) Спираль Архимеда

Прямоугольная СК Полярная СК Наиболее простая, часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению. Уравнения некоторых кривых (окружности) в ПСК записываются проще. Распределяются на пространство путем добавления еще одного угла. Сравнение полярной и прямоугольной системы координат.

Прямоугольная СК Полярная СК Прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом. Началом координат служит точка пересечения координатных осей. В ПСК фиксируется точка, являющаяся началом координат, и координатная ось, - прямая, проходящая через это начало.

Прямоугольная СК Полярная СК Прямоугольная система координат может быть двухмерной или трехмерной. Полярная система координат может быть только двухмерной. В прямоугольной системе координат отношения между точками можно установить только путем применения тригонометрических преобразований. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов.

Полярная система координат в жизни Полярную систему координат часто применяют в навигации , поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. В авиации , для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. Графики в полярной системе координат помогут нам лучше понять смысл квадратурной модуляции . Полярные координаты нередко возникают при решении различных задач в электротехнике , акустике , гидростатике и механике .

Материал, представленный в работе, расширяет кругозор, пополняет теоретические знания и практические навыки. Мы рассмотрели некоторые примеры, показывающие необходимость и актуальность изученной темы, и пришли к выводу: В ряде случаев при указании места расположения какого-нибудь объекта удобнее определять не его декартовы координаты, а направление и расстояние до объекта, то есть полярные координаты. Я убедился, что все они играют важнейшую роль в различных средах деятельности человека. Построение некоторых линий в полярной системе координат намного проще, а элементарные преобразования уравнений кривых схожи, чем в декартовой СК. Заключение: