Почему масса является квадратичным членом в лагранжиане?

Почему масса является квадратичным членом в лагранжиане?

Тед Банн

Я не уверен, что это тот ответ, который вы хотите, но здесь идет.

Масса, по определению, вещь в F = м а F знак равно м , То есть это коэффициент перед ускорением в уравнении движения. Если вы строите лагранжиан из терминов с участием координаты Икс Икс и его производная Икс ˙ Икс ˙ , а затем разработать уравнения Эйлера-Лагранжа, единственный способ получить член вида м х ¨ м Икс ¨ в конце - начать с термина формы 1 2 м х ˙ 2 1 2 м Икс ˙ 2 в лагранжиане.

Это ответ классической механики. Если вы искали ответ по теории поля, детали разные, но идея та же. Подумайте, как вы ожидаете, что масса будет отображаться в уравнении поля, и определите, какой термин в исходном лагранжиане приведет к соответствующему выражению, когда вы используете лагранжиан для получения уравнения поля.

Владимир Калитвианский

Для релятивистской частицы (свободной или во внешнем поле) лагранжиан содержит массу по-другому, а не «квадратично».

dbrane

Возьмем лагранжиан только с кинетическими и квадратичными членами. Найдите волновое уравнение и пропагатор, и вы увидите, что они соответствуют уравнениям свободной релятивистской частицы с квадратом массы, равным квадратичному коэффициенту. Таким образом, интерпретация верна в теории свободного поля.

Добавление членов более высокого порядка не меняет эту интерпретацию, поскольку члены более высокого порядка соответствуют взаимодействиям.

Ханс де Врис

Масса - это квадратичный член в лагранжиане, потому что это лагранжева плотность , лагранжиан на единицу объема. Сам лагранжиан получается путем интегрирования по объему, который содержит поле. «Классическое» отношение есть.

ЧАС - р v знак равно - L ЧАС - п v знак равно - L

Эти интегрированные величины, гамильтониан ЧАС ЧАС лагранжиан L L и срок р v п v преобразовать как.

ЧАС р v L превращается как превращается как превращается как γ β 2 γ 1 / γ ЧАС превращается как γ п v превращается как β 2 γ L превращается как 1 / γ

Объем волновых функций трансформируется как 1 / γ 1 / γ из-за сокращения Лоренца. Таким образом, плотность становится выше в разы γ γ следовательно, гамильтонова плотность ЧАС ЧАС , лагранжева плотность L L и плотность р v п v Термин преобразовать как.

ЧАС р v L превращается как превращается как превращается как γ 2 β 2 γ 2 " 1 " ЧАС превращается как γ 2 п v превращается как β 2 γ 2 L превращается как " 1 "

Соответствующее соотношение плотностей трансформируется как основное соотношение энергии / импульса.

ЧАС - р v знак равно - L превращается как Е 2 - р 2 знак равно м 2 ЧАС - п v знак равно - L превращается как Е 2 - п 2 знак равно м 2

Мы видим, что плотность лагранжиана одинакова во всех системах отсчета. Это скаляр Лоренца. Это делает лагранжеву плотность фундаментальной величиной в квантовой теории поля. Стандартная модель физики основана на плотности лагранжиана, которую в квантовой физике обычно называют просто лагранжианом, без плотности.

«Уравнения движения» основаны на производных от плотности Лагранжа, которая является скаляром Лоренца. Это гарантирует, что вся Стандартная модель физики преобразуется правильно, то есть законы физики одинаковы в каждой системе отсчета.

С уважением, Ганс

Питер Морган

Для свободного квантового поля квадратичный член определяет, что 4-вектор энергии-импульса, наблюдаемый для одночастичного состояния в одной моде Фурье, будет находиться на передней массовой оболочке, а не на прямом световом конусе. То есть, Е 2 + р 2 = м 2 Е 2 + п 2 знак равно м 2 является константой, которая алгебраически имеет ту же форму, что и релятивистские отношения массы-энергии-импульса. [Заметим, однако, что моды Фурье, строго говоря, являются неподходящим пределом в квантовой теории поля.]

Опять же для свободного квантового поля, но с точки зрения КТП, понимаемого как стохастический формализм для наблюдаемых полей, а не с точки зрения интерпретации частиц, двухточечной корреляционной функции С ( х - у ) = ⟨0 | φ ^ ( х ) ϕ ^ ( у ) | 0⟩ С ( Икс - Y ) знак равно ⟨ 0 | φ ^ ( Икс ) φ ^ ( Y ) | 0 ⟩ удовлетворяет классическому уравнению поля Клейна-Гордона, где мы можем обсудить плотность энергии-импульса.

Говоря более абстрактно, можно использовать массу или инерцию, чтобы обозначить обобщенное «сопротивление» данной простой эволюции заданной деформации фона или введению нового закона силы. В этих терминах каждый постоянный член в лагранжиане является частью многомерного описания того, каким будет ответ исходной системы на любой заданный дополнительный член в лагранжиане. Массовый член выделен как компонент самого низкого порядка инерции.

Мне кажется, что этот вопрос может быть удивительным образом удивительным. Только через некоторое время я решил, что Вопрос достаточно полезен, чтобы избежать неясности. Для меня только из-за тега QFT Вопрос становится продуктивным.