Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x=A+Bt+Ct3, где A=2 м, В=1 м/с, С=–0.5 м/с3
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x=A+Bt+Ct 3 , где A=2 м, В=1 м/с, С=–0.5 м/с 3 . Найти координату х, скорость x и ускорение аx точки в момент времени t=2с.
Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:
х = (2+1×2 – 0.5 2 3 ) м = 0.
Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
В момент времени t = 2с
x = (1-3×0,5×2 2 ) м/с= – 5 м/с; ах = б( — 0,5)×2 м/с 2 = – 6 м/с 2 .
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j=А+Вt+Ct 2 , где А=10 рад, В=20 рад/с, С= – 2 рад/с 2 . Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.
Решение. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения аt, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения an, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1):
Так как векторы ат и аn взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения
Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами аt = er, аn = w 2 r,
где w – модуль угловой скорости тела; e – модуль его углового ускорения. Подставляя выражения at и ап в формулу (1), находим
Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени: .
В момент времени t=4c модуль угловой скорости
w=[20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
e=dw/dt = 2С = — 4 рад/с 2 .
Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем
а = 0,1 м/с 2 = 1,65 м/с 2 .
Пример 3. Ящик массой т1 = 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l=2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m2=80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость и тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом a=30° к рельсам.
Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел.
Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести m1g и m2g и сила реакции N2 (рис. 2). Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик – тележка нельзя. Но так как проекции указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны
нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать
где р1x и р2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p’1x и p'2x – те же величины после падения ящика. Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р2x= 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью и:
где 1– модуль скорости ящика перед падением на тележку; 1x = 1cosa – проекция этой скорости на ось х.
Модуль скорости определим из закона сохранения энергии:
m1gh = ½ m1 , где h =lsina, откуда
Подставив выражение в формулу (2), получим
После вычислений найдем
Пример 4. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m=20 г поднялась на высоту h=5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на ∆х=10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.
Решение. Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия E системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом)
равна полной энергии Е в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.
где Т1, Т2, П1 и П2 – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.
Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид
Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высота подъема пули будет отсчитываться от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. П1= ½ k(∆x) 2 , а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. П2=mgh.
Подставив выражения П1 и П2 в формулу (2), найдем ½ k(∆x) 2 =mgh, откуда
k=2mgh/x 2 . (3)
Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы (единицу какой-либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенным в квадратные скобки):
Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:
Пример 5. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m2. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением
где Т1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Т2 –скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u2. Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:
Решив совместно уравнения (2) и (3) найдем :
Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив на и m1, получим
Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.
Пример 6. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m=80г (рис. 4), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1=100г и m2=200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.
Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально
вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза
для второго груза
Под действием моментов сил T1 и T2 относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,
где ; – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.
Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити , . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо и выражения Т1 и Т2, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):
После сокращения на r и перегруппировки членов найдем
Формула (4) позволяет массы m1, m2 и m выразить в граммах, как они даны в условиях задачи, а ускорение – в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим
Пример 7. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0,2м и массой m=50 кг раскручен до частоты вращения n1=480 мин -1 и предоставлен сам
себе. Под действием сил трения маховик остановился через t=50c. Найти момент М сил трения.
Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде
где Мг –момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси z, Jz –момент инерции маховика относительно оси z; Dw – изменение угловой скорости маховика за время .
Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле
Изменение угловой скорости Dw=w2-w1 выразим через конечную n2 и начальную п1частоты вращения, пользуясь соотношением w = 2pn:
Подставив в формулу (1) выражения Jzи Dw, получим
Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы (Н×м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:
Подставим в (2) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая, что n1=480мин -1 =480/60с -1 = 8с -1 :
Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.
Пример 8.Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин -1 . В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь, человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lzмомента импульса системы платформа – человек остается постоянной:
где Jz – момент инерции платформы с человеком относительно оси z; w – угловая скорость платформы. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии Jz=J1+J2, а в конечном состоянии .
С учетом этого равенство (1) примет вид
где значения моментов инерции J1 и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и – к конечному.
Момент инерции платформы относительно оси zпpи переходе человека не изменяется
Moмент инерции человека относительно той же оси будет изменяться.
Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J2’=m2R 2 .Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости ( = /R, где – скорость человека относительно пола) ( m1R 2 +0) 2pn = ( m1R 2 + m2R 2 ) /R.
После сокращения на R 2 и простых преобразований находим скорость:
Пример 9. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в
вертикальном направлении. При какой минимальной скорости , сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу
Земли (R = 6.37×10 6 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.
Решение: Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно.
где Т1, П1 и Т2, П2 – кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях. Согласно условию задачи П1=0, Т2=0, T1= m 2 /2, П2=mgR. Следовательно, и .
Пример 10. Точка совершает гармонические колебания с частотой v=10Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: xmax= 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить её график.
Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде
x = Asin(wt + j1), (1)
где А – амплитуда колебаний; w – циклическая частота, t – время; j1 – начальная фаза.
По определению, амплитуда колебаний A = xmax. (2)
Циклическая частота w связана с частотой n соотношением
w = 2pn, (3)
Для момента времени t=0 формула (1) примет вид xmax= Asinj1, откуда начальная фаза
j1 = arcsin = arcsin 1, или j1=(2k+l)×p/2 (k= 0, 1, 2, . ).
Изменение фазы на 2p не изменяет состояния колеблющейся точки, поэтому можно принять j1 = p/2. (4)
С учетом равенств (2)-(4) уравнение колебаний примет вид
x=Asin(2pnt+p/2), или x = Acos2pnt,
где А=1мм=10 -3 м,
График соответствующего гармонического колебания приведен на рис.5.
Пример 11. Частица массой т= 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т= 2с. Полная энергия колеблющейся частицы
E=0,1мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.
Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:
Е = ½ mw 2 A 2 ,
где w = 2p/Т. Отсюда амплитуда
Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F= – kx, где k – коэффициент квазиупругой силы; х– смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax равном амплитуде:
Коэффициент kвыразим через период колебаний:
k = mw 2 =m4p 2 /T 2 . (3)
Подставив выражения (1) и (3) в (2) и произведя упрощения, получим
Пример12. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями
где A1 = 3см, A2 =2см, t1, = 1/6с, t2=1/3с, T = 2с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.
Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме x=Acos(wt+j), получим
Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту
w = 2p/T.
Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны
Изобразим векторы a1 и А2. Для этого отложим от резки длиной А1 = 3 см и А2 = 2 см под углами j1= 30° в j2=60° к оси Ох. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, равной
геометрической сумме амплитуд a1 и A2: A = A1 +A2 Согласно теореме косинусов,
Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис 6):
Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде
x=Acos(wt+j) где A = 4.84см, w = 3,14 с -1 , j-=0,735рад.
Пример 13. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x1=12м и x2 = 15м от источника волн, колеблются с разностью фаз Dj=0,75p. Найти длину волны l написать уравнение волны и найти смешение указанных точек в момент t=1,2 с, если амплитуда колебаний A = 0,1 м.
Решение: Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны l, колеблются с разностью фаз, равной 2p; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Dx, колеблются с разностью фаз, равной
Решая это равенство относительно l, получаем
Подставив числовые значения величин, входящих в выражение (1), и выполнив арифметические действия, получим
Для того чтобы написать уравнение плоской волны надо еще найти циклическую частоту w. Так как w=2p/T (T=l/ – период колебаний), то w=2pv/l.
Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту w и скорость v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:
y=Acosw(t-x/ ), (2)
где А=0,1 м, w=5pс -1 , =20 м/c.
Чтобы найти смещение y указанных точек, достаточно в уравнение (2) подставить значения t и x.
y1=0,1cos5p(1,2-12/20)м=0,1cos3p м=-0,1 м;
y2=0,1cos5p(1,2-15/20)м=0,1cos2,25p м=0,1cos0,25p м=0,071 м=7,1 см.