Проекции скорости точки на оси координат равны первым производным от конечных уравнений движения по времени.
Естественный способ задания движения точки: задать траекторию точки; выбрать начало отсчета дуг на траектории; задать положительное и отрицательное направления отсчёта дуг; задать закон, выражающий зависимость естественной координаты S от времени – S(t) – закон движения точки.
Под естественной координатой S понимают расстояние, отсчитываемое по дуге траектории в соответствующем направлении (рис. 4.3).
Скалярной скоростью точки в данный момент времени называют предел средней скалярной скорости при :
Скалярная скорость точки в данный момент времени равна производной от естественной координаты по времени:
Скалярным касательным ускорением точки в данный момент времени называют предел среднего скалярного касательного ускорения точки при :
Скалярное касательное ускорение точки в данный момент времени равно первой производной от скалярной скорости по времени или второй производной от естественной координаты по времени.
Модуль нормального ускорения точки в данный момент времени определяется выражением:
, где ρ – радиус кривизны траектории в точке.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, нормальное – по главной нормали в сторону вогнутости траектории.
Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное – изменение направления скорости.
Ускорение точки при движении по любой траектории равно сумме касательного и нормального ускорения:
Классификация движений точки по ускорениям:
1. – движение неравномерное, прямолинейное;
2. – движение неравномерное, криволинейное;
3. – движение равномерное, криволинейное;
4. – движение равномерное, прямолинейное.
4.1.1. Задание К -1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения
Дано:точкаВ движется в плоскости XOY. Закон движения точки задан уравнениями: x=f1(t), y=f2(t) (табл. К -1), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Определить:уравнение траектории точки; для момента времени t1=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Указания: задача К1 относится к кинематике точки; скорость и ускорение точки в декартовых координатах определяются по формулам координатного способа задания движения точки, а касательное и нормальное ускорения точки - по формулам естественного способа задания её движения.
По предпоследней цифре шифра зачетной книжки выбирается уравнение, задающее изменении координаты X(t), а по последней – Y(t).
В задаче все искомые величины следует определить для момента времени t1=1с.
Таблица К-1
№№ п/п x=f1(t) y=f2(t) Для строк 0-2 Для строк 3-6 Для строк 7-9 6cos(πt/6) – 3 12sin(πt/6) 2t 2 + 2 4cos(πt/6) 4cos(πt/6) -6cos(πt/3) 8sin(πt/4) 6cos 2 (πt/6) 2 – 3cos(πt/6) -3sin 2 (πt/6) (2+t) 2 4cos(πt/3) t-4 9sin(πt/6) 2t 3 10cos(πt/6) 4-2t 3cos(πt/3) 2cos(πt/4) -4cos 2 (πt/6) 2-t 10sin(πt/6) 2 - 3t 2 12cos(πt/3) 2t 6sin 2 (πt/6) 2sin(πt/4) -3cos(πt/6) 8sin(πt/6) – 2 -2sin(πt/6) (t+1) 3 -8cos(πt/3) 12sin(πt/6) 9cos(πt/3) 2 - t 3 9cos(πt/6) 4 – 6sin(πt/6) -8sin(πt/6) 4cos(πt/4) -6cos(πt/3)
4.1.2. Пример решения К-1
Дано: уравнения движения точки в плоскости XOY:
x=12sin(πt/6), y=4cos(πt/6), где x, y – в сантиметрах, t – в секундах.
Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t1=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение:
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения параметр t:
– уравнение траектории точки – эллипс с полуосями 12 см и 4 см (рис. К -1).
2. Определим положение точки на траектории в момент времени t1=1с :
3. Скорость точки находим по её проекциям на координатные оси:
4. Аналогично найдём ускорение точки при t1=1с :
5. Находим касательное ускорение точки, зная численные значения всех величин, входящих в правую часть выражения:
6. Нормальное ускорение точки определяем по формуле , подставляя известные численные значения. При t1=1с получим
7. Определяем радиус кривизны траектории: ρ=v 2 /a n при t1=1с ρ1=24,93 (см).