Определение молярной массы воздуха

Цель работы. С помощью фазового метода определить скорость распространения звука в воздухе и его молярную массу.

Приборы и принадлежности. Излучатель звука (динамик), приемник звукового сигнала (микрофон), звуковой генератор, осциллограф, комплект проводов (перед использованием провода обязательно проверить).

Введение

Известно, что звуковая волна в воздухе – продольная, и представляет собой совокупность распространяющихся в пространстве чередующихся областей разряжения и сжатия воздуха. Именно на эти разряжения и сжатия реагирует, в частности, барабанная перепонка уха человека.

В первые оценить скорость распространения звука, используя параметры газа, удалось Ньютону. Получим формулу Ньютона для скорости звука в газе [1, 2], положив для упрощения вывода, что звук распространяется в бесконечно длинной трубе с площадью поперечного сеченияS, Пусть за время dt за счет движения поршня создано избыточное давление p на фоне давления p, при котором находится газ в трубе. При этом какому-то слою воздуха массой dm передан импульс. За это время поршень сместится на некоторое расстояние dl и по трубе пойдет волна сжатия, которая за время dt распространится на расстояние dL (рис.1).

Таким образом, скорость волны равна = dLdt. Однако, сами частицы во всем слое длиной dl будут двигаться со скоростью u = dl/dt, что соответствует скорости движения самого поршня. Поскольку поршень движется равномерно, то u  const.

Массу dm частиц газа, которым передан импульс поршнем, можно представить в следующем виде: dm  Sdl  Sdt (где  - плотность газа).

Это означает, что

 S (1)

Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на газ со стороны поршня, равна скорости изменения его импульса: F  dpdt, причём

 m  u . (2)

Поскольку u  const, то  0; с учётом этого из (1) и (2) следует:

F  u  u   S , (3)

где F - сила давления поршня.

Если учесть, что эта сила связана с избыточным давлением p, которое создаётся поршнем, соотношением F  p S, то из (3) получим:

р = u. (4)

Отметим, что здесь рассматривается случай небольших сжатий, и отличиями площади S поперечного сечения трубы и плотности  воздуха в «несжатой» и в «сжатой» областях можно пренебречь.

В случае объемной деформации газа формула закона Гука записывается следующим образом [3]:

р =  K . (5)

Здесь р - давление - аналог напряжения, K - модуль объемной упругости среды - аналог модуля Юнга, VV - относительная объемная деформация - аналог относительного сжатия.

Объем газа, деформируемый за время t, легко подсчитать как:

V = St. (6)

Саму деформацию объема можно представить в виде

V=  Sut. (7)

Знак «» показывает, что при увеличении скорости поршня среда сжимается, а при уменьшении - расширяется.

Учитывая выражения (6) и (7), можно переписать формулу закона Гука:

р = K . (8)

Теперь, используя выражение (4), из уравнения (8) получим, что скорость звука звуковой волны:

Воспользовавшись формулой (5), приходим к выражению:

K =  V . При V  0 это выражение можно переписать, как

=  V lim   V . (10)

Поскольку V = m = const, то =  . Следовательно,

Ньютон предположил, что закон изменения давления и плотности газа в звуковой волне соответствует закону Бойля-Мариотта: выполняется условие =const. Исходя из этого, можно записать, что = =сonst. Тогда

Это и есть формула Ньютона.

Формулу Ньютона можно преобразовать, используя закон Клапейрона– Менделеева (выразив давление р газа через его плотность ):

где R  8,31 Дж/(мольК) – универсальная газовая постоянная,  – молярная масса газа, Т – его температура. В результате получаем:

Пользуясь этой формулой, можно вычислить, чему равна молярная масса воздуха  (если знать, чему равны звука, T и R). Однако, как показали дальнейшие исследования, различные области газа, по которому распространяется звуковая волна, имеют неодинаковую температуру (на это впервые указал П. Лаплас в 1816 году). Применим его подход к рассмотрению структуры звуковой волны.

Звуковая волна представляет собой чередующиеся в пространстве области разрежения и сжатия воздуха. Для сжатия воздуха внешние силы должны совершить работу над газом, в результате чего его температура в этой области будет несколько выше, чем в соседних. В разреженных же областях газ наоборот совершает работу и при этом охлаждается. Процесс сжатия-разрежения идет достаточно быстро, и температура не успевает выравниваться. Теплообменом можно пренебречь, поскольку теплопроводность воздуха в обычных условиях достаточно мала. Сказанное означает, что процесс сжатия-разрежения надо считать адиабатическим, а не изотермическим. Дифференцируя уравнение Пуассона для адиабатического процесса рV  = сonst, в котором  = Сp /СV (отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме), можно записать:

dрV   рV  1 dV = 0, или

dрV  рdV = 0. (14)

Если учесть, что   V = const , то можно перейти к уравнению вида:

рd = dр, то есть

Тогда, используя уравнение (15) и закон Клапейрона – Менделеева, формула для скорости звуковой волны в газе будет выглядеть так:

Измерив температуру Т воздуха, и приняв во внимание, что его можно с хорошей точностью считать двухатомным идеальным газом, (в этом случае показатель степени в уравнении Пуассона легко рассчитывается теоретически:  = 1,4), для определения  по формуле (16) остаётся найти только скорость звука звуковой волны.