Решить следующие задачи и сделать поясняющие рисунки. ВАРИАНТ 1. f(x, y)dx. f(x, y)dy + Задача 1. Изменить порядок интегрирования:

1 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 КУРС, 3 СЕМЕСТР ИУ-1,3 Решить следующие задачи и сделать поясняющие рисунки. ВАРИАНТ x x/2 2 f(x, y) + 1 2/x x/2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z 2 = 9x, x = y, x + y = 2. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 + z 2 = 5, z = x 2 + y /внутри параболоида/. Задача 4. Вычислить линейный интеграл (x 2 + y 2 2Rx) + R(x + y) вдоль дуги окружности (x R) 2 + y 2 = R 2 от точки O(, ) до точки A(R, R). Задача 5. Вычислить x 3 y 3, взятый вдоль окружности (x R) 2 + y 2 = R 2 в положительном направлении. Преобразовать интеграл в двойной и убедиться в равенстве этих интегралов, вычислив тот и другой. ВАРИАНТ x 2 4x x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 4y 2, z =, x = 4. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 z 2 = 9, z =, z = 4. yz+z 9 y 2 +xyzdz вдоль дуги винтовой линии x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 2 t от точки A пересечения кривой с плоскостью XOY до точки B ее пересечения с плоскостью z = 4. π Задача 5. Вычислить x 3 y 3, взятый вдоль эллипса x2 4 + y2 = 1 в положительном направлении. Преобразовать в двойной; убедиться в равенстве этих интегралов, вычислив тот и другой. ВАРИАНТ y 2 y 2 1 f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z 2 = 4x; z 2 = 4 4x; y = ; x + y = 2. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ; (x 1) 2 + y 2 = 1; z =. (1,1) ( 1,4) + (x + y 1) 2. Задача 5. Применяя формулу Грина, вычислить (x 2 2xy) + (y 2 2xy), где пробегаемый в положительном направлении контур, составленный из отрезка прямой от точки A(3, ) до точки B(1, 2), параболой y = 2x 2 от точки B(1, 2) до точки O(, ) и отрезка оси OX от точки O(, ) до точки A. Проверить результат с помощью криволинейного интеграла. 1

2 ВАРИАНТ x x 2 4 x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 = 4y; y + z = 4; y + 2z = 4. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4, z = ; x + y + z = 4. (,4) Задача 4. Вычислить (x + y) 2 (x y) 2 вдоль параболы y = 1 2 x2 от точки O(, ) до точки (,) A(2, 2) и далее по прямой от точки A(2, 2) до точки B(, 4). Задача 5. Вычислить x y по контуру, образованному осью OX и первой аркой циклоиды x = a(t sin t), y = a(1 cos t) в положительном направлении. Проверить результат с помощью формулы Грина. ВАРИАНТ y y/2 f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ; y = x 2 ; y = 1; z =. Задача 3. Вычислить объемы частей шара x 2 + y 2 + z 2 9, на которые он делится плоскостью z = 1. Задача 4. Вычислить x y вдоль первой арки циклоиды x = a(t sin t), y = a(1 cos t) от точки A(2πa, ) до точки O(, ) и далее вдоль прямой от точки O(, ) до точки B( πa, 2πa). Задача 5. (x + y) (x y) по контуру, образованному параболой y = 3(x 1) 2 от точки A(1, ) до точки B(3, 12), отрезком прямой от точки B до точки O(, ) и отрезком оси OX от точки O до точки A. Проверить результат с помощью формулы Грина. ВАРИАНТ x Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4 y 2 ; x = ; z = x. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: (x 1) 2 + y 2 = 1; z = ; x + y + z = 4. (3,1) ( 1; 3) (x y 1) 2. Задача 5. Вычислить (x + y) (x y) вдоль окружности x 2 + (y R) 2 = R 2 в положительном направлении, преобразовать в двойной. Убедиться в равенстве этих интегралов, вычислив тот и другой. x 2 2

3 ВАРИАНТ y 2 /2 y 2 1 f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 1 x 2 ; z = 1 y 2 ; z =. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 + z 2 = 16, z = 7, z = 2 3. (5;5) Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл ye x +(1 e x ) по формуле Ньютона-Лейбница, (1;1) отыскав предварительно функцию по её полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла. Задача 5. Вычислить a 2 x b 2 y, взятый вдоль эллипса x2 a 2 + y2 = 1 в положительном направлении. b2 Проверить результат с помощью формулы Грина. ВАРИАНТ x 2/x Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4xy; z = ; y = 2; x + y = 4, y > 2. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 8 y 2 ; z = 2x 2 + y 2. (,1) y x x 2 + y 2 по двум путям: ( 1, 1) а) произвольной кривой, оставляющей начало координат слева; б)произвольной кривой, оставляющей начало координат справа. Задача 5. Вычислить e x xy e y (x + y), взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках A(2, 2), B( 2, 2), ( 2, 2), D(2, 2) в положительном направлении. формулы Грина. ВАРИАНТ x 2 4x x 2 Проверить результат с помощью Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z 2 = y, z 2 = 4 y, x + y = 4, x =. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 9 x 2 y 2, z =, x 2 + y 2 = 4 /вне цилиндра/. (4,) Задача 4. Вычислить (y 2 + 2) + yx вдоль параболы y 2 = 1 (x 2) (y ) от точки A(, 1) до 2 (,1) точки B(2, ) и далее по верхней части окружности (x 3) 2 + y 2 = 1 до точки (4, ). Задача 5. Вычислить xy + (x + y) по контуру, образованному верхней частью астроиды x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, (y > ) и отрезком оси OX, проходимому в положительном направлении. Проверить результат с помощью формулы Грина. 3

4 ВАРИАНТ x x x x 2 Задача 2. Вычислить объем тела ограниченного поверхностями: z = 4 x 2 ; y = ; z = y. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 z 2 = 4; x 2 + y 2 = 9. осям. Задача 5. Вычислить (5,1) (1,3) + (x 2 + y 2) 2 вдоль ломаной, отрезки которой параллельны координатным (x y) + xy вдоль контура, образованного верхней частью астроиды x = a cos 3 t, y = a sin 3 t и нижней частью окружности x 2 + y 2 = a 2 в положительном направлении. ВАРИАНТ y 2 f(x, y). 8/3 2(y+1) Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z 2 = 4y; x = y; x + y = 2. Задача 3. Вычислить объем тела ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 + z 2 = 6; z = x 2 + y 2 /внутри параболоида/. (1,5) ( y 2 1 y ) ( x y x x ) x y 2. (2,2) Задача 5. Вычислить x 2 y + xy 2, где окружность (x 1) 2 + y 2 = 1, пробегаемая против хода часовой стрелки. Проверить результат с помощью формулы Грина. ВАРИАНТ x 4x x 2 f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 ; z = 1 y 2. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: y = ; z = ; x + y + z = 4; 2x + z = 4. Задача 4. Отыскав предварительно функцию U(x, y) по её полному дифференциалу, вычислить криво- (2,3) x + y линейный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. 2 + x 2 + y2 (,) Задача 5. Вычислить (x 2 + 2y) xy, взятый вдоль эллипса направлении. Проверить результат с помощью формулы Грина. (x a)2 a 2 + y2 b 2 = 1 в положительном 4

5 ВАРИАНТ y+1 y f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = y; y = x 2 ; z = 2 y. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + (y 2) 2 = 4; z = ; z = 6 x. (6,4) Задача 4. Вычислить (x 2 + 2y) xy вдоль нижней части окружности (y ) x 2 + y 2 = 4 от ( 2,) точки A( 2, ) до точки B(2, ) и далее по прямой от точки B(2, ) до точки (6, 4). Задача 5. С помощью формулы Грина вычислить разность между интегралами I 1 I 2 : I 1 = (x + y) 2 (x y) 2 и I 2 = (x + y) 2 (x y) 2, AmB AnB где AmB отрезок прямой между точками A(, ) и B(1, 1), AnB дуга параболы y = x 2. ВАРИАНТ y 2 y 2 /2 f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ; z = ; y = 1; y = 2x; y = 6 x. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z 2 = x 2 + y 2 ; 2z 2 = x 2 + y ( a,) Задача 4. Вычислить x + (x + y) вдоль астроиды x = a cos 3 t, y = a sin 3 t от точки A(a, ) до (a,) точки B(, a) и далее по прямой от точки B(, a) до точки ( a, ). Задача 5. Вычислить 1 + x 2 + y 2 +y[xy +ln(x+ 1 + x 2 + y 2 )] вдоль окружности x 2 +y 2 = R 2. ВАРИАНТ y 2 f(x, y). 3 1+y 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 2 x 2 ; z = x; y = x; y = 2x, (x, y ). Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y ; z = 3 x 2 y 2. Задача 5. Вычислить (3,2) ( 1, 1) 2 (x 2y + 2) 2. y 2 x 2 вдоль контура, образованного прямыми x + y = 1, x =, y = в положительном направлении. Проверить по формуле Грина. 5

6 ВАРИАНТ x x (x 2) 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = y 2 ; z = 4; y = 3 x; x =. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 = 1; x 2 + y 2 + z 2 = 4 (вне цилиндра). Задача 4. Вычислить 3x 2 y + y вдоль дуги кривой y = (1 x) x между точками O и A её пересечения с осью OX и далее по нижней части окружности (x 2) 2 + y 2 = 1 (y < ) до точки B(3, ). Задача 6. Пользуясь формулой Грина, вычислить (e x sin y y) + (e x cos y 1) по контуру, состоящему из верхней полуокружности (x 1) 2 + y 2 = 1 и отрезков прямых от точки O(; ) до точки A(1; 1) и далее до точки B(2; ). Результат проверить, вычисляя интеграл непосредственно. 1 1 x ВАРИАНТ f(x, y) + 2 x x 2 2 x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = ; y = 2 + 2x; y = x/2 1; x + y = 2; z = 1 + y 2. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ; z = 2x 2 + 2y 2 ; (x 1) 2 + y 2 = 1. Задача 4. Вычислить (x 2 + y 2 ) + (x 2 y 2 ) вдоль четверти эллипса x2 a 2 + y2 = 1 (y ) от точки b2 A(a, ) до точки B(, b) и далее вдоль прямой до точки ( 2a, ). Задача 5. Вычислить x 2 + xy, взятый вдоль контура, образованного прямыми x y = 1, 2y x = 1, x + y = 1 в положительном направлении. Проверить результат с помощью формулы Грина. ВАРИАНТ x x x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ; z = x 2 + 2y 2 ; y = x; y = 2x; x = 1. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 1 x 2 ; z = ; x 2 + y 2 = 4; x 2 + y 2 = 9. (4,3) x ( x 2 y + y) + (x y 2 y x 2 y ). 2 (2,1) Задача 5. Вычислить x + (x + y) вдоль окружности x 2 + y 2 = 2x. формуле Грина. Проверить результат по 6

7 y = 2 4 x 2 4x x 2 4x ВАРИАНТ f(x, y) x 2 8 x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z 2 + 2y 2 = 8; y = x 2; y = x 2. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = ; z = 4 x 2 y 2 ; z = 2(4 x 2 y 2 ); 3 3 x; y = 3x; (x ); (y ). (5,4) (3,2) x y x 2 y 2. Задача 6. Используя формулу Грина, вычислить интеграл непосредственно вдоль контура x2 9 + y2 4 x 2 y + xy 2. Проверить результат, вычисляя = 1 в положительном направлении. ВАРИАНТ 2. 1 (x+1)/2 2x 1 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 2 ; x + y + z = 3; z + y 2x = 3. y Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + 2y 2 ; z = 8 x 2. (1,1) ( 1, 1) (x y 1) 2. Задача 5. Вычислить (x y 2 ) + 2xy вдоль окружности (x 2) 2 + (y 3) 2 = 1 в положительном направлении. Проверить результат с помощью двойного интеграла. ( 1,) ВАРИАНТ x x 2 2 f(x, y) + x x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4 y 2 ; z =, y = 2 x 2. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4 x 2 y 2 ; z = 4 2y. (1,2) 3x 2. y x 3 y x 3 Задача 5. Доказать, что интеграл (x 4 +4xy 3 )+(6x 2 y 2 5y 4 ) не зависит от пути интегрирования. Найти значение интеграла, интегрируя сначала по ломаной AOB от точки A( a, 2b) до точки B(a, 2b), а затем по прямой, соединяющей эти точки, где O начало координат. 7

8 ВАРИАНТ x x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4 x 2 ; y + z = 4; z = ; y =. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 6; z = 1 x 2 y 2. (1,1) (x + y) (x y) x 2 + y 2 по двум путям: ( 1, 1) а) произвольной кривой, оставляющей начало координат слева; б) произвольной кривой, оставляющей начало координат справа. Задача 5. Вычислить 2y + xy вдоль контура, образованного прямыми x + y = 3, x = 1, y = 1 в положительном направлении. Проверить результат с помощью формулы Грина. ВАРИАНТ 23. (8/3) () 4+x 2 2x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 8 x 2 ; z = 3y; z = 8 y; y =. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 5 x 2 y 2 ; z = 1. Задача 4. Отыскав предварительно с помощью криволинейного интеграла функцию по её полному дифференциалу, вычислить: π (1, 2 ) (y cos xy) + x cos(xy). (,) Задача 5. Используя формулу Грина, вычислить вдоль окружности x 2 + y 2 = 1. 3x y x 2 + 4y 3 + (18y 2 + x x 2 + 4y 3 ) x 2 + 4y 3 ВАРИАНТ (y+1)/2 2y 1 f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: 4z = x 2 ; y = ; y + z = 4. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ; z = 1; z = 4. (x 4)2 Задача 4. Вычислить (y + x) + (y x) вдоль верхней части эллипса + y2 = 1 (y ) от 4 2 точки A(6, ) до точки B(2, ) и далее по прямой до точки (, 2). y Задача 5. Вычислить x + x2 вдоль контура, образованного кривой y = ln x, участком оси OX и прямой x = e в положительном направлении. Проверить результат с помощью двойного интеграла. 8

9 ВАРИАНТ x x Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: y + z = 2; z = ; 4z + 2y + x = 8; 2z + x + y = 4. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ;z = 2x. (4,5) x y y 2 x 2. Задача 5. Вычислить: (1,2) y 2 + xy вдоль окружности (x 1) 2 + (y 1) 2 = 1 в положительном направлении. ВАРИАНТ x 2 f(x, y) + f(x, y) x x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4 x; y 2 = 4 x; z = ; x =. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = x 2 + y 2 ; z = 4; y = 1, (y > 1). Задача 4. Вычислить xy + y вдоль параболы y = x 2 от точки O(; ) до точки A(1; 1) и далее по x 2 окружности (x 2) 2 + (y 1) 2 = 1 от точки A(1, 1) до точки B(2; 2). Задача 5. Вычислить y 2 + x по контуру, образованному кривой y = x 1, прямой y = 2 и отрезками осей OX и OY, проходимому в положительном направлении. Проверить результат с помощью формулы Грина. ВАРИАНТ x x 2 4 x 2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x + z = 1; x = ; y = ; x + y = 1. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + z 2 = 5a 2 ; x 2 y 2 + z 2 = 4a 2. (4,) Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл (x 3 3y) + (y 2 3x) по формуле Ньютона- Лейбница, предварительно отыскав функцию U(x, y) с помощью криволинейного интеграла. Задача 5. Вычислить интеграл (x 2 + y) (y 2 + x) вдоль контура, образованного верхней частью окружности x 2 + y 2 = 1 и участками прямых от точки A( 1; ) до тоски B(; 1) и далее до точки точки (1; ) в положительном направлении. Результат проверить по формуле Грина. ( 4,3) 9

10 ВАРИАНТ y 2 y+1 f(x, y). Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = y 2 ; z = y; y = x; x = 1. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = 9 x 2 y 2 ; z = ; x 2 + y 2 = 4 (вне цилиндра). Задача 4. Вычислить (x + y) + (y x) вдоль окружности x 2 + y 2 = 4 от точки A(; 2) до точки B(2; ), а далее по прямой, соединяющей точку B(2; ) и точку С (4; 2). Задача 5. Вычислить (2x y) + (x 1) вдоль контура, образованного y = 2x, y = 2 x, x = 2 в положительном направлении. Результат проверить по формуле Грина. ВАРИАНТ x x 2 f(x, y) (x 2)2 Задача 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = y 2 + 2; z = y; y = x; x =, z =. Задача 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 z 2 = ; x 2 + y 2 = a 2 ; x 2 + y 2 = 4a 2. Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл (8;4) ( ) ( y y x x 4 2 y ) по формуле x Ньютона-Лейбница, отыскав предварительно функцию U(x, y) по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла. Задача 5. Вычислить 2x (x y) вдоль контура, образованного линиями y = x + 1, y = e x, С x = 1 в положительном направлении. Результат проверить по формуле Грина. (1;1) 1