Глава 8. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

В этой главе рассматриваются вопросы о собственных векторах и собственных значениях произвольной квадратной матрицы, симметрической матрицы и подобных матриц.

1. Основные понятия.

Определение. Вектор , называетсясобственным вектором квадратной матрицы , если существует такое число , что

. При этом число называетсясобственным значением матрицы , соответствующим собственному вектору .

Уравнение может быть записано в виде

Определение. Если - собственное значение матрицы , а соответствующий ему собственный вектор, то называютсобственной парой матрицы .

● Пример 1. Показать, что вектор является собственным вектором матрицы . Найти соответствующее ему собственное значение.

Так как ( ), то - собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению .●

● Пример 2. Показать, что если - собственная пара матрицы , то - собственная пара матрицы .

Решение. Действительно,

, т.е. . Из последнего следует, что - собственная пара матрицы .●

● Пример 3. При каких и вектор является собственным вектором матрицы ?

Решение. Найдем вектор . .

Если - собственный вектор матрицы , то , откуда . Из последнего имеем и и .

Ответ: при и произвольном вектор собственный вектор матрицы .

● Пример 4. Существует ли , при котором - собственный вектор матрицы ? Если существует, указать соответствующую собственную пару.

Решение. Вычислим произведение

Если - собственная пара матрицы , то

Из последнего равенства имеем Откуда, , .

- собственная пара матрицы .●

2. Свойства собственных векторов.

1) Если - собственный вектор матрицы , а - соответствующее ему собственное значение, то при любом вектор также является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому же собственному значению.

Замечание. Любой собственный вектор матрицы определяет целое направление собственных векторов этой матрицы с одним и тем же собственным значением.

2) Собственные векторы матрицы, соответствующие различным её собственным значениям, линейно независимы.

►Доказательство. Пусть и - собственные пары матрицы , где .

Предположим, что и линейно зависимые векторы.

Если и линейно зависимы, то хотя бы один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации другого (пусть ).

Тогда , откуда следует, что . Так как , то .

Полученное противоречие доказывает утверждение.◄

3) Если и линейно независимые собственные векторы матрицы , соответствующие одному и тому же собственному значению , то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов ( ) также является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому же собственному значению .

►Действительно, , что и требовалось доказать.◄

4) Если матрица диагональная , то ее собственные значения совпадают с диагональными элементами этой матрицы ( ), а единичный вектор является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

3 Нахождение собственных значений и собственных векторов.

Собственные значения и собственные векторы матрицы удовлетворяют матричному уравнению .

Если собственный вектор матрицы , то однородная система имеет нетривиальное решение, поэтому ( порядок матрицы и . Последнее уравнение позволяет найти собственные значения матрицы .

Определение. Многочлен называютхарактеристическим многочленомматрицы .

Определение. Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы .

Корни характеристического уравнения матрицы являются собственными значениями матрицы .

Характеристическое уравнение матрицы может быть записано в виде .

Определение. Множество всех собственных значений квадратной матрицы называется спектром этой матрицы.

Спектр матрицы -го порядка содержит собственных значений матрицы, которые могут быть как действительными, так и комплексными, простыми так и кратными.

Для матрицы характеристическое уравнение может быть может быть преобразовано к виду .

, поэтому характеристическое уравнение матрицы имеет вид

Уравнение является характеристическим уравнением матрицы .Это уравнение может быть представлено в виде

где , а миноры определителя .

Если , и корни характеристического уравнения (8.4), то это уравнение может быть записано в виде

Сравнивая уравнения (8.4) и (8.5), можно записать следующее:

Собственные векторы матрицы , соответствующие собственному значению , удовлетворяют матричному уравнению , которое может быть записана в форме Так как ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных ( =0), то система имеет бесконечное множество

решений, каждое ненулевое из которых является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

● Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. - характеристическое уравнение для данной матрицы, откуда , и .

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему эквивалентную уравнению . Вектор является решением этого уравнения, а при вектор - искомый собственный вектор.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему из которой следует, что вектор при является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

Ответ. , при ; , при .

● Пример 6.

Найти собственные пары матрицы .

Решение. - характеристическоеуравнение матрицы , которое может быть записано в виде , где , , , , (проверьте).

- характеристическое уравнение матрицы , корни которого .

Собственные векторы, соответствующие собственному значению , находим из системы . При имеем систему которая равносильна системе решение которой .

При вектор является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

При для нахождения собственных векторов имеем систему которая равносильна одному уравнению .

При любых и вектор есть решение уравнения , а при

является собственным вектором, который соответствует собственному значению .

Ответ: при ; при .

● Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Характеристическое уравнение для указанной матрицы имеет вид , откуда и .

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему из которой следует при .

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему из которой следует при .

Ответ. , при ; , при .

Доказать, что если собственная пара невырожденной матрицы , то -собственная пара матрицы .

►Так матрица невырожденная ( ), то существует . Произведение собственных значений матрицы равно , а так как , то собственное значение .

- собственная пара матрицы , поэтому .Умножив последнее равенство слева на , имеем , откуда , и . Последнее равенство означает, что - собственная пара матрицы .◄