Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения тела вдоль оси Ох имеет вид: x = 2 + 15t + 0,4t2 + 6t3

Пример 1. Уравнение движения тела вдоль оси Ох имеет вид: x = 2 + 15t + 0,4t 2 + 6t 3 . Найти: начальную координату хо; координату х, скорость u и ускорение а тела в момент времени t = 2 с; путь, пройденный за 2 с после начала движения.

Дано:x = 2 + 15t + 0,4t 2 + 6t 3 ; t = 2 с. Найти: х0; хt = 2 с; S; ut = 2 с; аt = 2 с. Рис. 1

Решение:На рис. 1 показаны начальнаяи конечная координаты, векторы скорости и ускорения тела, движущегося прямолинейно вдоль оси Ох.

Из уравнения движения тела определим его начальную и конечную координаты: хo = 2 м, хt=2 с = 81,6 м.

Пройденный путь равен разности значений координат хt = 2 си хo:

Отсюда S = 79,6 м.

Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдём, продифференцировав координату х по времени:

u = x' = 15 + 0,8t + 18t 2 . (2)

Мгновенное ускорение в произвольный момент времени – производная от скорости по времени:

a = u' = 0,8 + 36t.(3)

В соответствии с (2) и (3) для момента времени t =2 с:

Пример 2. Колесо радиусом R = 50 см вращается равноускоренно с ускорением ε = 1,26 с -2 . Найти линейную скорость u, нормальное аn и тангенциальное аt ускорения точек обода колеса через время t = 20 с после начала вращения.

Решение:На рис. 2 изображены векторы, характеризующие вращение колеса по часовой стрелке, в произвольный момент времени. Направления векторов скорости и тангенциального ускорения совпадают с касательной в каждой точке колеса. Вектор нормального ускорения перпендикулярен вектору скорости и направлен по радиусу к центру колеса. Вектор направлен в соответствии с правилом правого винта перпендикулярно плоскости рисунка, от нас. При равноускоренном вращении направление вектора углового ускорения совпадает с направлением угловой скорости [1].

Согласно определению угловая скорость w равноускоренного вращательного движения

Поскольку wo = 0, то

Линейная скорость колеса связана с его угловой скоростью

Подставив (1) в (2), получим

Откуда u = 1,26∙0,5∙20 м/с = 12,6 м/с.

Нормальное (центростремительное) ускорение находим по формуле

Тангенциальное (касательное) ускорение

Числовое значение at = 12,6∙0,5 м/c 2 = 0,63 м/с 2 .

Ответ: u = 12,6м/с; an = 317,5 м/с 2 ; at = 0,63 м/с 2 .

Пример 3. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой m1 = 250 г. Тело массой m2 = 400 г подвешено на невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок и привязанной к телу массой m1. Пренебрегая массой блока и трением, определить силу натяжения нити Fнат; ускорение а тел; путь S, пройденный телами за время t = 0,2 с.

Дано:m1 = 250 г = 0,25 кг; m2 = 400 г = 0,4 кг; t = 0,2 с. Найти: Fнат; а; St = 0,2 с.

Решение: На рис. 3 показаны силы, действующие на тела m1 и m2: и – силы тяжести, – сила натяжения нити, – сила нормальной реакции опоры.

Из условия невесомости и нерастяжимости нити следует, что сила натяжения нити на всех участках одинакова и грузы движутся с одним и тем же ускорением.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для обоих тел:

Выбираем направление осей Ох и Оy по направлению вектора ускорения . Проецируем векторы на указанные оси, тогда второй закон Ньютона в скалярной форме примет вид:

Числовое значение ускорения .

Из (2) вычислим значение силы натяжения Fнат = 0,25∙6,04 Н = 1,51 Н.

Учитывая, что uo = 0, путь при равноускоренном движении

Таким образом, за время t = 0,2 с пройденный путь

Ответ: Fнат = 1,51 Н; а = 6,04 м/с 2 ; S = 12 см.

Пример 4.Человек массой m = 70 кг поднимается в лифте, движущемся равномерно (а1 = 0). Определить вес человека Р1. Во сколько раз изменится его вес, если лифт поднимается с ускорением а2 = 1 м/с 2 ?

Дано:m = 70 кг; а1 = 0; а2 = 1 м/с 2 . Найти: Р1; Р2 /Р1. Рис. 4

Решение:На человека, находящегося в движущемся лифте, действуют сила тяжести и сила упругости (сила реакции пола) . Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

В скалярной форме

ma = - mg +N. (2)

При равномерном подъёме (ускорение а1 = 0) уравнение (2) примет вид

где N1 – сила реакции опоры, действующая на человека, поднимающегося в лифте равномерно.

На основании третьего закона Ньютона вес человека равен силе реакции опоры

Вес приложен к опоре и направлен противоположно . Из (3) и (4) получаем:

При равномерном подъёме Р1 = 700 Н.

При равноускоренном подъёме (а2 = 1 м/с 2 ) уравнение (2) запишем в виде

где N2 – сила реакции опоры при подъёме с ускорением.

Вес тела при равноускоренном подъёме

Ответ: Р1 = 700 Н, при подъёме с ускорением вес тела увеличится в 1,1 раза.

Пример 5. Геостационарный искусственный спутник Земли "висит" над одной точкой экватора и делает полный оборот вокруг Земли за время Т = 24 часа (рис. 5). На какую высоту запущен спутник? Каковы скорость и ускорение его движения на данной высоте? Радиус Земли R = 6370 км.

Дано:R = 6370 км = 6,37∙10 6 м; Т = 24 ч = 8,64∙10 4 с; go = 9,8 м/с 2 . Найти: H; u; g. Рис. 5

Решение: Поскольку на спутник действует только гравитационная сила, то второй закон Ньютона для спутника имеет вид

где – центростремительное ускорение, – сила притяжения Земли, m – масса спутника.

Центростремительное ускорение находим по формуле

определим из закона всемирного тяготения

где М – масса Земли.

Подставляя (2) и (3) в (1), получим:

На основании формулы (3) ускорение свободного падения у поверхности Земли

С учётом (6) выражение (4) принимает вид

При равномерном вращении с периодом Т скорость спутника

Из формул (7) и (8) находим высоту спутника Н над Землей

Следовательно, Н = 35930 км.

Зная Н, по формуле (8) находим u = 3,07 км/с.

Ускорение спутника равно ускорению силы тяжести на высоте Н

Соответственно g = 0,22 м/с 2 .

Ответ:Н = 35930 км; u = 3,07 км/с; g = 0,22 м/с 2 .

Пример 6. Какую силу F1 нужно приложить к середине бревна в точке А (рис. 6а), чтобы закатить его на ступеньку высотой, равной 0,5 радиуса бревна? Во сколько раз сила F2, позволяющая приподнять бревно на высоту ступеньки, больше силы F1? Масса бревна m = 50 кг.

Дано:h = ½ R; m = 50 кг. Найти: F; F2 /F1. а) б) Рис. 6

Решение:При закатывании бревна на ступеньку сила и сила тяжести создают вращающие моменты и . Направления векторов и определяются по правилу правого винта (рис. 6а).

Модуль момента силы F1 относительно точки С

где – плечо силы F1.

Модуль момента силы тяжести относительно точки С

где l2 – плечо силы тяжести.

По теореме Пифагора находим плечо силы тяжести

Условием перекатывания бревна будет равенство моментов М1 и М2, то есть

После расчёта получим: F1 = 0,57∙500 Н = 288,7 Н.

При поднятии груза равномерно вверх сила преодолевает силу тяжести (рис. 6б). По второму закону Ньютона в скалярной форме

Отсюда F2 = 50∙10 Н = 500 Н.

Ответ:F1 = 288,7 Н; F2/F1 = 1,73, т.е. бревно легче закатить на ступеньку, чем поднять на высоту самой ступеньки.

Пример 7. Молотильный барабан, момент инерции которого J = 30 кг∙м 2 , вращается с частотой no = 20 с -1 . Определить момент силы, под действием которого барабан остановится за время ∆t = 3,3 мин.

Дано:no = 20 с -1 ; n =0; ∆t = 3,3 мин = 198 c; J = 30 кг∙м 2 . Найти: Mтр. Рис. 7

Решение:На рис. 7 указаны направления векторов, характеризующих равнозамедленное вращение барабана. Замедленное вращение барабана совершается под действием постоянного тормозящего момента .

Согласно закону изменения момента импульса произведение момента силы, действующего на барабан, и времени действия этого момента, равно изменению момента импульса барабана:

где wо и w – начальная и конечная угловые скорости.

В момент остановки w = 0, поэтому .

Поскольку угловая скорость связана с частотой вращения соотношением

то получаем расчётную формулу для тормозящего момента

Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Ответ: Мтр = –19 Н∙м.

Пример 8. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой m2 перпендикулярно берегу, обращённая к нему носом. На носу лодки стоит человек массой m1. На какое расстояние S лодка приблизится к берегу, если человек перейдёт с носа на корму лодки (рис. 8).

Дано:L; m1; m2. Найти: S. Рис. 8

Решение:Считаем, что человек идёт по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно, но в противоположную сторону. При движении импульс человека

где – скорость человека относительно берега.

где – скорость лодки относительно берега.

В системе отсчёта, связанной с берегом, скорость лодки

Учитывая, что человек движется относительно лодки и вместе с лодкой, скорость человека относительно берега

Система "лодка-человек" является замкнутой, так как внешние силы (сила тяжести и выталкивающая сила) скомпенсированы. Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения импульса. Поскольку до начала перемещения человека импульс системы равен нулю, то закон сохранения импульса запишем в виде

Проецируем импульсы и на ось ох и учитываем (3) и (4):

Получаем искомую расчётную формулу

Ответ: .

Пример 9. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска, стоит человек массой m2 = 80 кг. Масса платформы m1 = 240 кг, её радиус R = 2 м. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегая трением, найти, с какой частотой будет вращаться платформа, если человек пойдёт вдоль её края со скоростью u =1 км/ч.

Дано:m1 = 240 кг; m2 = 80 кг; u = 1 км/ч = 0,28 м/с; R = 2 м. Найти: n1. Рис. 9

Решение:Система "человек – платформа"является замкнутой, так как моменты внешних сил (силы тяжести и силы реакции опоры), действующих на эту систему относительно оси ОО¢, являются уравновешенными. Для такой системы выполняется закон сохранения момента импульса

где и – моменты импульсов системы до и после начала движения человека по платформе соответственно.

До начала движения человека момент импульса системы относительно неподвижной оси ОО', связанной с полом,

При движении человека вдоль края платформы момент импульса всей системы

где J1 и J2 – моменты инерции платформы и человека, и – их угловые скорости относительно ОО¢.

Угловые скорости и направлены в противоположные стороны, так как при движении человека платформа вращается в противоположном направлении.

На рис. 9 показаны векторы моментов импульсов платформы и человека .

Момент инерции платформы находим по формуле

Считая, что масса человека сосредоточена в точке касания с платформой, его момент инерции

Человек движется относительно платформы и вместе с ней, поэтому его угловая скорость относительно оси ОО¢, связанной с полом,

где – угловая скорость человека относительно платформы.

Согласно закону сохранения момента импульса (1) для системы "человек – платформа" и формулам (2), (3)

Спроецируем векторы и на ось ОО':

С учётом выражений (4) и (8) имеем

Используя связь между угловой скоростью w и частотой n (w = 2 π n), получим формулу для частоты вращения платформы n1:

Подставив числовые значения в (11), найдём

Ответ: n1 = 0,53 мин –1 .

Пример 10.Молот массой m = 200 кг падает с высотой h = 20 см на заготовку, масса которой вместе с наковальней составляет М = 2500 кг. Найти: кинетическую энергию молота в момент удара Wк1; энергию Wк2, переданную системе "молот – заготовка – наковальня"; полезную энергию, необходимую для деформации заготовки Ед; коэффициент полезного действия удара η. Удар молота о заготовку рассматривать как неупругий.

Дано:m = 200 кг; M = 2500 кг; h = 20 см = 0,2 м. Найти: Wк1; Wк2; Ед; η. Рис. 10

Решение: Если пренебречь силами сопротивления, то систему "молот– Земля" можно считать замкнутой. Падение молота происходит под действием силы тяжести, следовательно, к системе "молот – Земля" можно применить закон сохранения механической энергии. Потенциальная энергия молота mgh в конце падения с высоты h переходит в его кинетическую энергию Wк1.

Подставляя числовые значения, получаем: Wк1 = 200∙10∙0,2 Дж = 400 Дж.

Система "молот – заготовка – наковальня" является замкнутой, но неконсервативной, поэтому можно считать, что энергия, затраченная на деформацию заготовки, равна разности значений механических энергий до и после удара. Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, так как незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда полезная энергия, затраченная на деформацию (ковку),

где Wк2 – кинетическая энергия системы после удара.

Для определения кинетической энергии, переданной системе, необходимо знать её скорость после удара. Применим закон сохранения импульса для этой системы в момент удара:

где – скорость молота до удара, – скорость наковальни, заготовки и молота после удара.

Уравнение (3) запишем в скалярной форме

mu = (m+M)u.(4)

Кинетическая энергия системы после удара

Из выражений (5) и (6) получим формулу для Wк2:

Согласно формуле (2) энергия, затраченная на деформацию (ковку), Ед = (400 – 29,6) Дж = 370,4 Дж.

Коэффициент полезного действия определим как отношение полезной энергии, затраченной на деформацию, к полной энергии Wк1:

Соответственно, кпд или η = 93%.

Ответ:Wк1 = 400 Дж; Wк2 = 29,6 Дж; Ед = 370,4 Дж; η = 93 %.

Пример 11.Шар, катившийся со скоростью u1 = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью u2 = 2 м/с (рис. 11). Масса шара m = 3 кг. На сколько изменилась кинетическая энергия шара? Какая часть энергии шара перешла во внутреннюю энергию стены?

Дано:m = 3 кг; u1 = 3 м/с; u2 = 2 м/с. Найти: ∆Wк;∆Wк / Wк1. Рис. 11

Решение: Кинетическая энергия шара при качении складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения.

Кинетическая энергия поступательного движения

где u – скорость поступательного движения центра масс шара.

Кинетическая энергия вращательного движения

где w – угловая скорость вращения относительно центра масс.

Момент инерции шара

Линейная u и угловая w скорости связаны соотношением

Используя формулы (1), (2), (3) и (4), выразим кинетическую энергию катящегося шара

Кинетические энергии шара до и после удара соответственно равны:

Изменение кинетической энергии

Подставив в (6) выражения для Wк1 и Wк2, получим

Отсюда ∆Wк = 0,7∙3∙(2 2 – 3 2 ) Дж = –10,5 Дж. Знак "–" указывает на уменьшение кинетической энергии.

Во внутреннюю энергию, связанную с неупругой деформацией стенки, перешла энергия ∆Wк.

Вычислим кинетическую энергию шара до удара: Wк1 = 0,7×3×3 2 Дж = 18,9 Дж