Методика решения задач на законы сохранения
Снаряд массой m1=10 кг, летящий со скоростью V1= 1 м/с параллельно рельсам, ударяет в неподвижную платформу с песком массой m2 = 100 кг и застревает в песке. С какой скоростью станет двигаться платформа?
Запишем коротко условие задачи, сделав предварительно чертеж.
Прежде всего, считаем, что снаряд и платформа до удара и после удара являются замкнутой системой, т.е. на них не действуют внешние силы, которые могли бы изменить скорости взаимодействующих тел в системе. Для таких систем справедлив закон сохранения импульса: в замкнутых системах суммарный импульс остается постоянным или суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия.
Найдем суммарный импульс системы (снаряд + платформа с песком) до взаимодействия (рис.68а). Поскольку вначале платформа покоилась, ее импульс равен нулю. Импульсом р1 =m1V1 до взаимодействия обладал только движущийся снаряд. После взаимодействия (удара) снаряда и платформы, они составляют единую систему массой (m1 + m2), движущуюся со скоростью V2 (рис.68б). Импульс этой системы равен:
По закону сохранения импульса:
С судна массой М=750 т произведен выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 600 к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой m=30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?
Изобразим судно до выстрела, и после выстрела на рис.
На рисунке введены следующие обозначения:
- - скорость судна вместе со снарядом до выстрела;
- - скорость судна после выстрела;
- скорость снаряда относительно судна.
Запишем суммарный импульс системы (судно + снаряд) до выстрела:
импульс мощность потенциальный энергия
Запишем суммарный импульс этой системы после выстрела. Скорость судна после выстрела V1 и его импульс равен МV1, скорость снаряда относительно судна Vотн, а относительно воды (Vотн - Vо), здесь Vотн - проекция скорости снаряда относительно судна на направление движения. Импульс снаряда относительно воды равен:
Знак минус связан с тем, что направление движения снаряда противоположно направлению движения судна. Тогда по закону сохранения импульса мы можем написать:
Решите задачи на импульс и закон его сохранения.
Скорость свободно падающего тела массой 4 кг на некотором пути увеличилась с 2 м/с до 8 м/с. Найти работу силы тяжести на этом пути.
На рис. показано, что направление силы тяжести, совершающей работу по перемещению тела, совпадает по направлению с направлением перемещения тела х. Найдем эту работу:
По определению Fтяж=mg, осталось найти перемещение тела при свободном падении. При этом используем формулу:
В нашем случае h=х и мы имеем:
Какую работу совершает сила тяжести, действующая на камень массой 2 кг, брошенный вертикально вверх, если он поднялся на высоту 10 м?
В этом случае направление силы тяжести , совершающей работу по перемещению. Тела, противоположно направлению перемещения. Найдем работу:
А=- Fтяж х = - mgх= - 196 Дж
Ящик тянут равномерно по горизонтальной поверхности. Веревка, с помощью которой тянут ящик, образует с горизонталью угол 300. Сила натяжения веревки 25 Н. Какая работы проделана при перемещении ящика на расстояние 52 м?
Определить мощность двигателя, который равномерно поднимает груз массой 5 кг на высоту 0,6 м за 2 с.
Условие задачи позволяет нам использовать формулу мощности:
В нашем случае F есть сила тяжести, поэтому:
Какую работу совершает человек при поднятии тела массой 2 кг на высоту 1 м с ускорением 3 м/с 2 ?
Сделаем чертеж и расставим силы, действующие на тело .
На тело действует сила тяжести и сила со стороны руки человека. Под действием этих сил тело совершает перемещение вдоль оси у. По условию задачи нам надо найти работу, которую совершает человек, т.е. работу силы F. Найдем величину этой силы, для чего запишем уравнение движения этого тела вдоль оси у:
Теперь можем найти работу этой силы:
А= Fх= m(g + a)х=26 Дж
Решите задачи на работу и мощность.
Тело массой 0,5 кг брошено вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Найти изменение кинетической и потенциальной энергии при подъеме тела до максимальной высоты.
Напомним, что изменением какой-либо величины называется разность между ее начальным и конечным значением.
А) Найдем сначала изменение кинетической энергии. Начальная кинетическая энергия тела равна:
Конечная кинетическая энергия тела на максимальной высоте равна:
В этой точке тело на мгновение остановилось, и его скорость равна нулю. Найдем теперь изменение энергий:
б) Найдем теперь изменение потенциальной энергии. Выбираем за нуль отсчета потенциальной энергии тела уровень поверхности Земли, тогда начальная потенциальная энергия равна:
Потенциальная энергия тела на максимальной высоте h равна:
Найдем максимальную высоту подъема:
Поскольку направление ускорения свободного падения тела противоположно направлению оси у, то в правой части этой формулы надо поставить знак минус перед g. Далее, учтем, что на максимальной высоте скорость тела равна 0:
Найдем теперь изменение потенциальной энергии:
Еп1 - Еп2= 0 - mgh= - mgh= - 4 Дж
Во сколько раз изменится потенциальная энергия пружины детского пистолета жесткостью k, если увеличить ее деформацию в 2 раза?
Потенциальная энергия деформированной (сжатой) пружины в 1-ом случае равна:
Потенциальная энергия деформированной пружины во 2-ом случае равна:
Найдем их отношение с учетом того, х2=2х1:
Мяч, брошенный вертикально вверх с начальной скоростью V1=10 м/с, поднимается на максимальную высоту h1= 5 м. С какой начальной скоростью надо бросить мяч, чтобы он поднялся на высоту h2=10 м?
Здесь можно использовать закон сохранения механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергии), а еще лучше закон превращения кинетической энергии в потенциальную. Выбираем нуль отсчета потенциальной энергии на поверхности Земли, тогда в начальный момент времени:
В конечный момент времени (в нижней точке) мяч остановится, следовательно:
По закону изменения (перехода) энергии: Ек1=
Во втором случае:
Получаем начальную скорость V2:
Найти скорость V вылета "снаряда" пружинного пистолета массой m при выстреле вертикально вверх, если жесткость пружины равна k, а сжатие х.
Сжатая пружина не придает скорости снаряду, следовательно, его кинетическая энергия равна нулю. Однако в этот момент пружина обладала потенциальной энергией деформации:
В момент выстрела пружина разжимается, выбрасывает снаряд и сообщает ему кинетическую энергию. По закону сохранения механической энергии можно записать:
Велосипедист, прекратив работать педалями, на горизонтальном участке пути длиной 36 м уменьшил свою скорость с 10 до 8 м/с. Найди коэффициент сопротивления. Сколько процентов кинетической энергии превратилось во внутреннюю?
Поскольку на велосипедиста действует внешняя сила сопротивления со стороны дороги, изменение его кинетической энергии равно работе этой силы:
Найдем механическую работу А силы сопротивления движению:
В нашем случае угол есть угол между направлением действия силы сопротивления и направлением перемещения, который равен 1800. Следовательно:
Найдем теперь, сколько процентов кинетической энергии превратилось во внутреннюю. Начальная кинетическая энергия равна:
Конечная кинетическая энергия равна
Найдем приращение кинетической энергии:
С горки высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтальный путь 35 м от основания горки. Найти коэффициент трения, считая его одинаковым на всем пути.
Сделаем сначала рисунок
Примем горизонтальный участок дороги за нуль отсчета потенциальной энергии. Поскольку на всем пути санки тормозятся силой сопротивления со стороны дороги, то изменение механической энергии санок должно быть равно работе этой силы . В начальном положении санок (на вершине горы), их кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна:
В конечном положении (санки остановились на горизонтальном участке) их кинетическая и потенциальная энергия равны нулю. Следовательно, можем записать: Е1- Е2 = А1+А2