Пропорциональные отрезки в треугольнике

1) Формулировки всех теорем, связанных с пропорциональными отрезками.

2) Задачи по готовым чертежам (на мультимедийном проекторе).

№ 1. Найти подобные треугольники на чертежах:

Сформулировать признаки подобия треугольников, применяемые для решения данных задач.

№ 2. Найти подобные треугольники на чертежах:

Сформулировать признаки подобия треугольников, применяемые для решения данных задач.

№ 3. Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Отрезки, отсечённые прямыми на одной стороне угла, относятся как . Как относятся отрезки, отсечённые на другой стороне угла?

Сформулировать обобщённую теорему Фалеса.

№ 4. Дано: АВС – прямоугольный ( С=90°), СD – высота, АD=4 см, ВD=9 см.

Найти: а) СD; б) АС; в) ВС.

Сформулировать теорему о средних пропорциональных.

1. В треугольнике АВС АВ=8 см, ВС=9 см, АС=2 см. На сколько надо продолжить сторону АС до пересечения с биссектрисой внешнего угла при вершине В?
2. В треугольнике АВС ВС=а, АС=b, АВ=с. Докажите, что если , то А=2 В.
3. Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов 2 : 3 и его периметру.
4. В трапеции АВСD и , АС=15 см, АЕ=9 см. Найти площадь трапеции.

Объявление отметок и домашнего задания.

2-й урок

Оборудование: мультимедийный проектор.

I. Решение задачи с помощью обобщённой теоремы Фалеса.

№ 1. В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ : МС = 1 : 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.

(Указание: через точки N и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ; и через точки М и С провести параллельные прямые, пересекающие АВ).

Эту задачу можно решить более рациональным способом, но для этого нужны дополнительные знания.

II. Доклад о математике Джованни Чева.

Джованни Чева — итальянский математик. Родился в 1648 г. и умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Старался возродить греческую геометрию. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении “О взаимопересекающихся прямых”. В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек. Прилагаемый к вопросам, в которых рассматриваются отношения между отрезками, образованными пересекающимися линиями друг на друге, он состоит в помещении в точках пересечения тяжестей, обратно пропорциональных соответствующим отрезкам, и в последующем за тем выводе отношения между тяжестями на основании принципа рычага в статике. Достаточно назвать известное в геометрии под именем теоремы Чевы предложение о произведениях отрезков, образованных на сторонах треугольника трансверсалями, проходящими через общую точку (произведение трех отрезков, не сходящихся попарно в одной общей точке, равно произведению трех других отрезков), и на подобное же предложение об отрезках, образованных на сторонах четырехугольника плоскостью, их пересекающею, если не все вершины четырехугольника лежат в одной плоскости. Во второй части идеи и теоремы, изложенные в 1-й, прилагаются к коническим сечениям. Наконец, прибавление занимается теоремами о площадях некоторых плоских фигур и об объемах и центрах тяжести тел вращения второго порядка. Чева был инженером-гидравликом и в качестве такового несколько раз служил правительству Мантуи. Смерть его последовала во время осады Мантуи. Считался выдающимся автором в области экономики — первым проницательным математическим писателем по этому предмету. Его брат, Томмазо Чева, математик (1648—1737), иезуит. В 1695 г. изобрел инструмент для механического деления угла на три части.

III. Определение чевианы и доказательство теоремы Чевы.

Определение. Чевианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой на противоположной стороне этого треугольника.

Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки . Отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: .

Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую a¦AC. Пусть прямые АА1 и ВВ1 пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников АА1С и МА1В1 по двум углам ( А1СА = А1ВМ как накрест лежащие и ВА1М = АА1С как вертикальные) имеем: . (1)

Аналогично из подобия треугольников АС1С и ВС1N по двум углам ( С1СА = С1NB и С1АС = С1BN – как пары накрест лежащих): . (2)

Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам ( ОСА = ONP и ОАС = OMN) получаем . (3)

Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств (1), (2) и (3), получим необходимое равенство.

Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 проходят через одну точку.

Пусть O – точка пересечения отрезков АА1 и СС1, а C2 – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что .

Сравнивая с условием теоремы, получим . Следовательно, точки C2 и С1 совпадают.

IV. Решение задач.

№ 2. Решить задачу №1 с помощью теоремы Чевы.

№ 3. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD : DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?

V. Презентация о математике Менелае Александрийском.

VI. Доказательство теоремы Менелая. (Доказательство ведётся с помощью мультимедийного аппарата в программе “Живая геометрия”).

VII. Решение задач.

№ 4. В треугольнике АВС точка М – середина АВ, точка N такая, что BN : NC = 3 : 2.

Прямая МN пересекает прямую АС в точке К. Найти отношение КС : АК.

№ 5. В треугольнике АВС отрезки AD и ВЕ, проведённые из вершин А и В к сторонам ВС и АС соответственно, делятся точкой пересечения Q в соотношении AQ : QD = 7 : 5, BQ : QE = 3 : 4. В каков отношении точки D и Е делят сторону треугольника?

VIII. Итог урока:

Объявление отметок и домашнего задания.

3-й урок

Оборудование: мультимедийный проектор.

В результате учащиеся должны:

- прочно усвоить теоремы, связанные с данной темой;

- уметь решать задачи, связанные с данной темой, рациональным способом;

- повысить качество знаний.

I. Повторить формулировки теорем Чевы и Менелая.

1. Каждая группа получает задачу на данную тему и решает её.
2. Обсуждение решений задач каждой группы по готовым чертежам (готовит учитель на мультимедийном проекте).
3. Выработка рационального способа решения каждой задачи.

Задачи для урока:

№ 1. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК : ВК = 1 : 3, а на стороне ВС – точка L так, что CL : BL = 2 : 1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQC равна 2. (Ответ: 3)

№ 2. В треугольнике АВС, площадь которого равна 5, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК : ВК = 2 : 3, а на стороне АС – точка L, делящая её в отношении AL : АС = 5 : 8. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние 1. Найти длину стороны АВ. (Ответ: 5)

№ 3. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка К, а на стороне ВС точка М так, что СК : КА = 5 : 1, . Найти СМ : МВ. (Ответ: 6 : 5)

№ 4. На медианах АК, BL и CN треугольника АВС взяты точки Р, Q и R так, что AP : PK = 1 : 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : CN = 9 : 4. Найти площадь треугольника PQR, если площадь треугольника АВС равна 1. (Ответ: )