Заочная школа. ВЕКТОРЫ 9-й класс, задание 2

1 НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Специализированный учебно-научный центр Заочная школа Математическое отделение ВЕКТОРЫ 9-й класс, задание Новосибирск 00 г.

2 ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РАБОТ Приступая к выполнению задания, внимательно прочтите методические указания. Попробуйте симостоятельно решить задачи указанные в качестве примера. Сравните свои ход решения с решением в задании, Работа должна быть выполнена в ученической тетради в клетку Обязательно пишите краткое условие каждой задачи Номера задач должны совпадать с теми, которые указаны в задании. Пишите четко, разборчиво. Необходимо оставлять поля для замечаний преподавателя На обложке тетради нужно указать:.отделение (математическое)..тему и номер задания..класс, в котором Вы учитесь в Заочной школе (9-я). 4.Индекс почтового отделения по месту Вашего жительства. 5.Ваш домашний адрес. 6.Фамилию, имя, отчество. Ваша работа не будет проверяться, если обложка тетради не оформлена по указанному образцу. При пересылке тетрадь не сворачивать в трубочку и не ' складывать ее пополам. Работу отсылать только простой бандеролью. В тетрадь нужно вложить листок бумаги размером 6х0 см. с написанным на нем Вашим адресом (мы наклеим его на конверт, когда будем отсылать ответ). Наш адрес 60090, Новосибирск-90, ул. Пирогова,, Заочная школа. Введение Многие явления в окружающей реальности характеризуются не только величиной, но и направлением, например, скорость, ускорение, сила. Для того чтобы применять в исследовании таких явлений математические методы, вводят понятие вектора. Отрезок, у которого указаны начало и конец, называют направленным отрезком или вектором. Изображают направленный отрезок в виде отрезка со стрелкой, поставленной в его конце (рис.). В Обозначаются векторы либо буквой со a стрелкой: a, b, c ; либо используя А Рис. обозначение начала и конца вектора: AB. Важной характеристикой вектора является его направление. Один из способов математического описания векторов с одинаковой направленностью основан на понятии параллельного переноса, который проще всего определить с помощью декартовой системы координат. Пусть на плоскости задана декартова система координат Oxy. Преобразование плоскости, при котором каждая точка с координатами (х, у) переходит в точку с координатами (х+ a, у+b ), где a и b - заданные постоянные числа, называется параллельным переносом. При параллельном переносе сохраняются расстояния между парами точек, и каждая фигура переходит в равную ей фигуру. Кроме того, прямая переходит в параллельную ей прямую. Векторы AB и CD называются одинаково направленными, если луч AB можно совместить с лучом CD некоторым параллельным переносом. Если такого параллельного переноса не существует, то векторы AB и CD имеют разные направления. Длиной или модулем вектора, называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Длина вектора a обозначается a, или AB, если вектор a совпадает с AB.

3 Два вектора AB и CD называются равными, если направленный В отрезок AB можно совместить с А С направленным отрезком CD некоторым параллельным переносом. Например, если D ABCD параллелограмм (рис.), то AB = DC, рис.. так как параллельный перенос, который переводит точку A в точку D, переводит точку B в точку C. В декартовой системе координат можно через координаты начала и конца определить координаты вектора. Пусть A (x, y ), B (х,у ). Тогда координатами вектора a = AB называется пара чисел а = х -х, а = у -у. С помощью координат вектор обозначается как a (а, а ) или просто (а,а ) если ясно, что речь идет о координатах вектора, а не о координатах точки. Равенство векторов направленных отрезков, - является одним из самых важных понятий, так как при выполнении операций над векторами каждый вектор можно заменить на равный ему вектор. Устанавливать равенство векторов, или их различие, можно разными способами. Один из них основан на приведенном определении, другие на следующих свойствах равных векторов.. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они одинаково направлены и имеют одинаковую длину.. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Пример. Найти числа x и y так, чтобы точки A ( z ; y ) и B ( x ;) определяли вектор AB равный вектору a ( ;). Решение. По определению ветор AB имеет координаты ( x -, - y ). Требуется, чтобы x - = и - y =. Отсюда x =, y =. Среди векторов рассматривают также особые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все такие векторы равны между собой, и каждый из них называется нулевым вектором и чаще всего обозначается как 0. Для нулевого вектора направление не определяется. Длина нулевого вектора равна нулю.. Сложение векторов и умножение вектора на число. Суммой векторов a и b с координатами (а, а ) и (b, b ) называется вектор c= a +b с координатами (а + b, а + b ). Геометрически сумму векторов удобно находить по одному из следующих правил. Правило треугольника. AB + CD = AC. Например, на рис. для вычисления суммы B C векторов a = AB и b = MN a строим вектор BC = MN, и тогда вектор A c = AC и есть сумма a + b. Рис.. M b N

4 Правило параллелограмма. Пусть точки A 4 O, A, B не лежат на одной прямой. Тогда суммой векторов OA и OB равна вектору OD, где точка D получается O D как четвертая вершина параллелограмма рис.4. В OADB (рис.4). Пример. Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC. Найти вектор, равный сумме AC + BD. Решение. Построим на продолжении основания AD точку K так, что DK = BC. В С В результате получим параллелограмм BCKD. Поэтому BD = CK, и по правилу треугольника AC + BD = AC +CK = AK. А Рис.5. D K Разностью векторов a (a, a ) и b (b, b ) называется вектор c (с, с ) такой, что b +c= a. Отсюда находим координаты c, c вектора c= a -b : с = a -b, с =а -в. В Геометрически разность векторов удобно b находить по правилу треугольника: А OM -ON = NM. О a Например, (рис. 6) разность OA-OB равна вектору BA. Рис.6. Правило треугольника сложения двух векторов допускает естественное обобщение на случай сложения нескольких векторов, так как если a = A A, a = A A. a = A A +, то a + a a = A A +. Пример. Пусть A A. - вершины правильного -угольника, а точка O - его, A центр. Доказать, что OA + OA OA = 0 (на рисунке в качестве примера рассматривается = 5 ). A В 4 В В 5 A A O F A 5 A 4 В В Рис.7. Рис.8.

5 5 Решение. Известно, что в правильном -угольнике при каждой вершине угол равен π ( ) π или π. Соединяя центр О правильного -угольника с вершинами A A. получим, что отрезки OA OA. OA равны, а каждый из углов A OA,, A, A OA B B = π и т.д. равен. Отсюда следует, что если построить векторы B B = OA, OA. B OA (рис.8.), то получим правильный многоугольник. Докажем это утверждение: В многоугольнике с вершинами B = B. B окружности, описанной около многоугольника, если угол через α, то углы B, B B. B B равны π-α. B B B4 Отсюда следует, что многоугольник B B. B длины сторон равны, так как равны радиусу - правильный. B B Но так как B B = OA и угол B B = π-α, то Поэтому OA + OA OA = B B + B B B B Произведением вектора a =( a,a ) на λ a = (λ, λ a ). a A OA B = OA. +, равный B B = B B = 0. число λ называется вектор обозначить Геометрически произведение нулевого вектора a =OA на нулевое число λ равно векторуob, где точка B находится по следующему правилу: Если λ>0, то точка B лежат на луче OB и OB : OA = λ. Если λ<0, то точка B лежит на дополнении луча и OB и OB : OA = λ. Таким образом, если точка B лежит на отрезке OA или на его продолжении, то по отношению OB : OA можно представит вектор OB в виде произведения вектора OA на число, и наоборот, если есть равенство OB = λoa, то это приводит к вполне определенному взаимному расположению точек О, А, В. 4 Пример 4. Пусть известно, что OB = - OA. А Найти чему равно отношение AB : OB. О Решение. Так как λ= - 4 <0, то точка B В расположена на продолжении луча OA и 4 Рис.9 OB = OA (рис.9). Если обозначим OA = a, то OB =4 a, AB =7 a, откуда AB : OB = 7:4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают следующими основными свойствами.. a + b = b + a. ( a + b ) + c = a + (b + c ). a + 0 = a 4. a + (- a ) = 0

6 6 5. λ ( μ a ) = (λ μ ) a 6. (λ + μ) a = λ a + μ a 7. λ ( a +b ) = λ a + λ b 8. 0 a = 0 ; λ 0 = 0 Использование векторов и свойств операций над векторами позволяет решать некоторые задачи. Пример 5. Точка M является серединой отрезка AB, а N - серединой CD. Доказать, что MN = ( AC + BD ). В Решение. По правилу сложения векторов M имеем MN = MA + AC +CN. Кроме А D того, MN = MB + BD + DN. Складывая N оба равенства, получаем: Рис.0. C MN + MN = MA + MB + AC + BD +CN + DN. В левой части, согласно свойству умножения векторов на число, имеем MN + MN = MN. В правой же части MA = - MB, так как эти векторы имеют равную длину AB и противоположно направлены; аналогично, CN = - DN. Итак, MN = AC + BD или, умножая обе части на, получаем MN = ( AC + BD ).. Разложение вектора по неколлинеарным направлениям. Иногда удобно изображать векторы равными им векторами с общим началом. При выборе начальной точки O каждый вектор OA однозначно задает точку A и называется радиус-вектором точки A. Два радиус-вектора с общим началом равны только тогда, когда их концы совпадают. Многие геометрические задачи удается решить с помощью радиус-векторов. Пример 6. Даны четыре точки A, B, C, D. Доказать, что отрезки, соединяющие середины отрезков AB и CD, BC и AD, имеют общую середину (рис.). K С В Решение. Выберем произвольную точку O. M O Т N Пусть S и T середины отрезков KL и MN, о которых говорится в условии (рис. ). А S Докажем, что радиус-векторы OS и OT Рис.. L D равны, откуда и будет следовать совпадение точек S и T. Имеем OK = OD + DK = OD + DC = OD + (OC -OD ) = OC + OD.

7 7 Аналогично получаем, что OL = OA + OB. Далее находим OS = OK + KS = OK + KL = OK + (OL - OK )= OK + OL = = (OA+OB +OC +OD ). 4 Для представления радиус-вектора OT проводим аналогичные рассуждения: OM = (OA+OD ), ON = (OB +OC ), OT = (OM +ON ) = 4 (OA+OB +OC +OD ). В итоге OS и OT равны одному и тому же вектору, а поэтому OS = OT, отсюда следует совпадение точек S и T, что и требовалось доказать. Два вектора OA и OB называются коллинеарными, если точки O, A, B лежат на одной прямой. В этом случае любые векторы a = OA и b =OB также называются коллинеарными. Если два вектора не являются коллинеарными, то их называют неколлинеарными. Известно, что если векторы a и b неколлинеарны, то для каждого вектора c плоскости существует единственная пара чисел (λ, μ) такая, что c = λ a + μb. Представление вектора c в виде такой суммы называется разложением вектора по неколлинеарным направлениям. Иногда сумму вида λ α + μ b называют линейной комбинацией векторов a и b. Пример 7. В трапеции ABCD отношение оснований AD и BC равно :, диагонали трапеции пересекаются в точке В С F. Выразить вектор AC через векторы a = AB и b = DF. F А D Рис.. Решение. Из подобия треугольников AFD и откуда BD : DF = 5:. Следовательно, DB = 5 DF, DA = DB + BA = 5 DF - AB, BFC следует, что BF : FD = :, BC = - DA = AB - DF, AC = AB + BC = AB - DF Таким образом, AC = a - b. 9 Этот же результат можно получить и другим способом. Проведем через точку C прямую, параллельную прямой BD и найдем точку L ее пересечения с прямой AD (рис.).

8 8 L B C F A D Рис.. Из подобия треугольников ABF и AC : AF = 5:. Поэтому AL = 5 AB, LC = 5 BF. ALC следует, что AL : AB = CL : BF = Но так как BF = - DF, то AC = AL + LC = AB + (- ) DF = a - b. 9 Возможность разложения векторов плоскости по двум неколлинеарным векторам является важным инструментом векторного исчисления и позволяет сводить решение геометрических задач к алгебраическим вычислениям. Пример 8. В треугольнике ABC точка M на стороне AB и точка N на стороне BC выбраны так, что В AM : MB = :, BN : NC = :. М Отрезки AN и CM пересекаются в точке P (рис. 4). Найти AP : PN. N P А С Рис. 4. Решение. Обозначим AC = a, AB = b. Из условия следует, что точка P общая для двух отрезков. Поэтому выразим вектор AP двумя способами.. BC = AC - AB = a - b, BN = BC = a - b, AN = AB - BN = b + ( a - b ) = b + a, AP = x AN = x x a + b, где x - неизвестное число.. AM = AB = b, CM = AM - AC = b - a, CP = y CM = y b - y a, где AP = AC + CP = (- y ) a + y - неизвестное число, y b.

9 9 В силу единственности разложения вектора по двум заданным неколлинеарным векторам имеем равенства: x x y x x x 6 = - y, =. Отсюда y =, = -, x =. 7 6 Следовательно, AP = AN, а поэтому AP : PN = 6:. 7 и. Скалярное произведение векторов. В декартовой системе координат скалярным произведением векторов a = ( x, y ) b = ( x, y ) называется число x x + y y. Скалярное произведение обозначается в виде a b. Иногда скалярное произведение a a обозначают a. Нетрудно увидеть, что a = x + y = ( x + y ) = a, то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора. Из определения скалярного произведения следует, что для любых векторов a, b, c и любого числа λ выполняются свойства: a b = b a (λ a ) b = λ ( a b ) ( a + b ) c = a c + b c Основной геометрический смысл скалярного произведения заключается в том, что скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между векторами, то есть a b = a b cos φ. В частности, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны. Такое простое условие перпендикулярности очень удобно при решении задач. Пример 9. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = a и В BC = b проведена высота BH (рис.5). Выразить вектор BH через векторы BA и BC. А Н С Рис. 5. Решение. Обозначим BA = m, BC =. Тогда из условия m = = b, m = 0. Далее, AC = BC - BA = - m. Пусть AH = x AC, где x - неизвестное число. Тогда BH = BA + AH = (- x ) m + x. Так как BH AC, то BH AC = 0 или ((- x ) m + x ) ( - m ) = 0, откуда (- x ) ( m 0 (- x ) m + x - x ( m ) = 0, x b a b (- x ) a = 0, x =, - x =. a + b a + b b a Поэтому BH = (- x ) m + x = BA + BC. a + b a + b a,

10 0 В качестве еще одного применения скалярных произведений докажем теорему о высотах треугольника. Пример 0. Теорема. Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение. Лемма. Для любых четырех точек A, B, C, D выполняется равенство: AB. CD + BC. AD +CA. BD =0. Действительно, ( DB - DA ). CD +( DC - DB ). AD +( DA - DC ). BD = = DB. CD - DA. CD + DC. AD - DB. AD + DA. BD - DC. BD = =( DB. CD - DC. BD )+( DC. AD - DA. CD )+( DA. BD - DB. AD )= =( BD. DC - DC. BD )+( AD. DC - AD. DC )+( AD. DB - DB. AD )=0. Пусть теперь А, В и С - вершины нашего треугольника, a D - точка пересечения двух высот треугольника ABC, опущенных на стороны АВ и ВС. Тогда AB. CD =0 и BC. AD =0. Следовательно, по лемме CA. BD =0, т.е. CA DB. Значит, высота, опущенная из вершины из В на сторону СА, тоже проходит через точку D, так как через одну точку к данной прямой можно провести только один перпендикуляр. Теорема доказана. 4. Параллельный перенос в задачах по геометрии Напомним, что если на плоскости введены декартовы прямоугольные координаты, то параллельный перенос фигуры F - это преобразование, при котором каждая точка ( х, у ) фигуры F переходит в точку (х + а,у + b), где а и b постоянные. Эти формулы преобразования координат такие же, как и формулы для сложения векторов: к вектору ( х, у ) прибавляют фиксированный вектор ( а,b) (рис.6). Поэтому удобно говорить, что имеется параллельный перенос на данный вектор (а, b ). Можно дать и другое, равносильное определение. А именно, чтобы осуществить параллельный перенос фигуры F на вектор AB, нужно из каждой точки С фигуры F отложить векторcd, равный AB. Множество концов отложенных векторов и составит «перенесенную» фигуру F. Параллельный перенос является движением, то есть сохраняет расстояния между парами точек. Наглядное представление о параллельном переносе дает передвижение вырезанной из картона фигуры в каком-то направлении на определенное расстояние без какихлибо Рис 6 поворотов. Применение параллельного переноса в геометрии основано на том, что фигура переходит в равную ей фигуру, а прямая переходит в параллельную ей прямую Например, квадрат переходит в равный ему квадрат, треугольник в равный ему треугольник. Окружность также переходит в окружность того же радиуса, причем, центр переходит в центр. Поэтому, чтобы осуществить параллельный перенос окружности с центром в точке O на вектор AB, достаточно из точки О отложить вектор равный OO, и затем описать окружность того же радиуса с центром в точке O. Следующий пример - типичное применение параллельного переноса. Пример. Разберем как с помощью циркуля и линейки построить отрезок, концы которого лежали бы на заданных прямых l и l, и который был бы равен и параллелен заданному отрезку AB.

11 Решение. Осуществим параллельный перенос прямой l на вектор AB. Для этого достаточно из произвольной точки С прямой l отложить вектор CD, равный вектору AB, и провести через точку D прямую l, параллельную l (рис. 7). Пусть N - точка пересечения прямых l и l.она получена параллельным переносом некоторой точки М прямой l на вектор AB. Но тогда вектор MN равен вектору AB, а поэтому отрезок MN является искомым, так как точки M, N лежат на заданных прямых, MN=AB и отрезок MN параллелен AB. B A Задача имеет в общем случае два решения (можно сделать то же самое, рассматривая параллельный перенос на вектор BA ). Решений нет, только если прямая l параллельна l и l l ; если же l =l, то решений бесконечно много. Рис. 7. Рис. 8. Разберем в заключение еще одну интересную задачу. Пример. Пункты А и В разделены рекой, берега которой - параллельные прямые. Требуется проложить дорогу из А в В и построить мост через реку перпендикулярно берегам так, чтобы путь из А в В был кратчайшим. Решение. Пусть на рис.8 отрезок CD обозначает мост. Его длина не зависит от выбора места строительства. Поэтому нужно сделать минимальной сумму длин АС и BD. Чтобы получить более ясное представление об этой сумме длин, выполним параллельный C A перенос отрезка BD на вектор DC. Отрезок BD перейдет в равный ему отрезок КС, поэтому сумма длин отрезков АС и BD равна сумме длин отрезков КС и СА. Но при различном строительства моста соответствующие отрезки DC, D C, D C и т.д. параллельны и имеют равную длину (рис.9). Отсюда следует, что вектор DC не зависит от положения точки D. Поэтому точка К, в которую переходит точка В, также не зависит от выбора места для моста. Значит, для заданных точек А и В, надо так выбрать точку С,чтобы сумма КС + СА была наименьшей. А это будет тогда, когда ломаная КСА станет отрезком. Отсюда следует способ построения: сначала в любом месте отложить вектор D C с концами на берегах реки и перпендикулярный берегам, отложить из точки В вектор BK, равный D C и затем точку K соединить C отрезком с точкой А. Точка С пересечения отрезка КА с берегом укажет искомое D место строительства моста DC (рис.0). Путь BDCA будет B кратчайшим из всех возможных путей. Рис. 9.

12 Составители: д.ф.м.н., профессор Хухро Е.И., доцент Михеев Ю.В. Ризография СУНЦ НГУ , Новосибирск, 90, Пирогова.. 00г.