Стационарное поле температур тел с источниками тепла

постоянным тепловыделением по объему; на границах тел теплообмен подчиняется закону Ньютона (условия третьего рода); теплопроводность и теплоотдача не зависят от температуры.

Из уравнения (2.9) при —=- = —- = 0 следует, что

Запишем условия на границах (рис. 2.4 а)

Постоянные интегрирования С/и С2найдём из уравнений (2.48) - (2.49):

Рис. 2.4. К определению стационарных полей температур тел с

Подставим значения С] и С2 в (2.50):

Последнее выражение преобразуем, введя новую систему координат:

Найдём максимальную температуру tmax, которая соответствует центру пластины x=L, а х'=0.

Неограниченный сплошной цилиндр. Дифференциальное уравнение и граничные условия имеют вид

Представим (2.52) в виде

Решение этого уравнения

dt _ Wx C, dx 2X x

Найдём постоянные интегрирования С; и Сг. При х = 0, абсурдно, поэтому полагаем С] = Ои запишем решение в виде

Из условий на границе x=L определим Сг.

WL а ґ W т2 _ ч А

Окончательно температурное поле цилиндра имеет вид

Полный неограниченный цилиндр (рис. 2.4 б).

Дифференциальное уравнение для неограниченного цилиндра имеет вид (2.52), его решение было получено выше.

t = Xі + С. Inx + C7

На границах x = Rjvlx = R2 теплообмен происходит по закону Ньютона со средами, температуры которых равны t и tc, а коэффициенты

теплообмена - и а2 , Граничные условия имеют вид

Используя эти условия, найдём постоянные С/и С2'.

С2 + (/?,2 In Д2 - R; In Д,)- — (а, In Д, + а,/?, In /?2) +

Пример. Полый электрический проводник охлаждается водой, текущей в его внутренней полости и естественной конвекцией на наружной поверхности, находящейся в воздухе. Размер проводника Rj = 2 мм, i?2 =3 мм, удельное сопротивление материала />=0,1 Ом мм / м, 1=

15 Вт/мК, сила тока 7=1000 А, аз =1000 Вт/м2К, а2 = Ю Вт/м2 К, ^ _30°С,

Требуется определить максимальную температуру проводника.

Решение: Найдём координату х0, соответствующую максимальной температуре

il o=0; Xq = Jt± = о,00298м

Поскольку Ri<x0<R2 , то максимальная температура достигается внутри проводника и можно воспользоваться полученными выше формулами (в противном случае максимальная температура наблюдалась бы на одной из поверхностей).

С2 =1304,9; С, =120,5; tmax =543,9°С,

при такой высокой температуре следует рассмотреть вопрос кипения воды. Шар с источником энергии. Дифференциальное уравнение имеет

d2t 2 dt W Л ^ ^ _

На границе x=L теплообмен происходит по закону Ньютона, поэтому граничное условие имеет вид

Максимальная температура должна быть в центре шара, что позволяет записать

Покажем решение приведённой выше системы уравнений. Представим (2.55) в форме

Интегрируя дважды последнее уравнение, получим

d(xt) W х2 _ ,. . W х2 , ^ J

— _ ь С,, d(xt)— — dx + Cidx,

где С]И С2 - постоянные интегрирования.

Устремим х—>0, тогда t —юо, что физически абсурдно, поэтому

полагаем С? = 0 и t

На основании условия (2.56) определим Сь

запишем выражение для искомой температуры:

Приведём сводку формул для трех тел простейшей формы:

t “ t — — (X “X ) + — L,

Во всех случаях температурное поле тела представляется параболическим законом. При а=оо и х=0:

Найдём среднюю объёмную температуру пластины, цилиндра и шара; по определению

где V и dV - объём и элемент объёма тела.

Ki - 2L-1-1, dVu=dx-l'l,

L<X<L - Кц = жі> ■ 1, dVц = l/rxdx •1, о < x < і •

V = —77ТЪ ш 3 ’ dVm = 4nx1dx, о <x<L

Подставляя в (2.58) значения разности температур из (2.51), (2.53) и (2.57) и производя интегрирование, получим после простых преобразований выражение для среднеобъемного перегрева

где P=W'V - полная мощность источников в теле; V и S - объём и теплоотдающая поверхность в теле; п - коэффициент, равный для пластины, цилиндра и шара

Формулу (2.59) можно также применять для оценки средней объёмной температуры тел иных конфигураций с распределёнными источниками энергии. Для этого следует все тела разбить на три группы: тела группы шара имеют все три измерения одного порядка; тела группы цилиндра имеют два конечных измерения одного порядка и третье измерение - неограниченно большое (z, «ь «ьъ); тела группы пластины обладают одним измерением конечной величины с двумя другими неограниченно большими измерениями (z, <<z2 » Z3 )• При оценке Э,, для тел указанных групп следует выбирать соответствующие значения п из (2.60) или промежуточные значения этих величин.

Тепломассообмен

Систем обогрева жилища много, на любой вкус. Одним из наиболее востребованных в последнее время вариантов является водяной теплый пол http://ukrakvabud.com.ua/vodyanye-teplye-poly.html. Важнейшая особенность этой конструкции та, что нагревательные элементы устанавливаются не …

Для линейных задач теплопроводности справедлив принцип суперпозиции (сложения) температурных полей: температурное поле тела, которое формируется в результате нескольких тепловых воздействий, может быть представлено в виде алгебраической суммы температурных полей, вызванных …

Ошибки за счёт оттока тепла по проводам термопары могут быть полностью устранены только в случае равенства температур пластины и окружающей среды. Такой предельный случай встречается редко, поэтому рассмотрим реальный процесс …