Пирамида Пирамидой ( n-угольной пирамидой ) , у основанием боковыми гранями боковыми ребрами Высотой правильной

1 Пирамида Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамус» в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от форм хлебцев в Древней Греции «пирос» - рожь. В связи с тем, что форма пламени иногда напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин происходит греческого слова «пир» - огонь. Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Эго определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Пирамидой (n-угольной пирамидой) называется многогранник, у которого одна грань n-угольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной. Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники боковыми гранями. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. ABCDE основание пирамиды. AS, BS, CS, DS, ES боковые ребра. ASB, BSC, CSD, DSE, ESA боковые грани. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к плоскости основания. SO высота пирамиды. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания.

2 Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, а боковые грани равные равнобедренные треугольники. SA=SB=SC=SD=SE=SF. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. SK апофема. SK AB. Теорема. В правильной пирамиде отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Доказательство. Пусть точка О центр шестиугольника ABCDEF. Рассмотрим треугольники ASD и CSF. Данные треугольники равнобедренные (все боковые ребра правильной пирамиды равны), следовательно, в каждом из них медиана SO является высотой, т.е. SO FC, SO AD. Таким образом, прямая SO перпендикулярна двум пересекающимся прямым FC и AD плоскости основания, а значит, перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, отрезок SO перпендикулярен плоскости основания, т.е. является высотой данной пирамиды. В случае правильной пирамиды, основанием которого служит n-угольник с четным числом вершин, доказательство аналогично. В случае, когда основанием правильной пирамиды служит многоугольник с нечетным числом вершин, для доказательства можно воспользоваться тем, что основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около его основания. Теорема доказана.

3 Задание 1. Укажите тип пирамиды, изображенной на рисунке 1) 2) 3) 4) 6) 7) 8) 5) Пример 1. Основание пирамиды равнобедренный треугольник, основание которого равно 6 см и высота 9 см. Найдите высоту пирамиды, если каждое ребро равно 13 см. Дано: ВС=6 см, АТ=9 см, DA=DC=DB=13 см Найти: DO Решение. Из прямоугольного треугольника ADO по теореме Пифагора OD= DA 2 AO 2. DA=13 см, остается найти АО. Отрезок АО является центром описанной окружности и АО=(АВ ВС СА):4S АВС. Из треугольника АТВ ( АТВ=90 О, АТ=9 см, ВТ=3 см): АВ= AT 2 BT 2 = см. SАВС =ВС АТ/2=27 см 2. Таким образом, АО=5 см. Подставив значения в формулу OD= 2 AO 2 DA, получаем OD=12 см. Ответ: 12 см Задание 2. Решите задачу 1) Вычислите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее апофема равна 10 см, а сторона основания 16 см. 2) Вычислите площадь основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее апофема равна 3 см, а длина бокового ребра 5 см. 6 64

4 3) Основание пирамиды прямоугольный треугольник с углом 30 О и противолежащим ему катетом см. Боковые ребра наклонены к ее основанию под углом 60 О. Найдите высоту пирамиды. 4) Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна см, а длина бокового ребра 5 см. 5) Найдите длину бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 4 см, а сторона основания - см. 6) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС=10 см. 7) Каждое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD равно см, диагонали основания пирамиды пересекаются в точке О. Найдите высоту пирамиды OSCD, проведенную из вершины О. 8) Основание пирамиды прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найти длину высоты пирамиды. 9) В треугольной пирамиде боковые ребра взаимно перпендикулярны и имеют длины см, см и см. Найти площадь основания пирамиды. 10) Основание пирамиды SABC прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С. Боковые ребра пирамиды равны друг другу. Найдите боковое ребро пирамиды, если АВ=10 см, а высота пирамиды равна 12 см. 11) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол 30 О. Вычислите высоту пирамиды, если площадь диагонального сечения равна см 2. 12) Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 О. Чему равна сторона основания, если высота пирамиды равна см? 13) Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60 О, а расстояние от середины стороны основания до прямой, содержащей боковое ребро, равно 6 см

5 14) Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см ) Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120 О. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45 О. Найдите площадь основания пирамиды. 16) Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС=10 см. 17) Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота АН=9 см. DA=DB=DC=13 см. Найдите высоту пирамиды. 18) Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту ) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 О. Найдите боковое ребро пирамиды. 20) Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды. 21) Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды равна 3,2 см и проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоту грани пирамиды. 22) В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине пирамиды равен 60 о. Вычислите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания. 23) Найдите угол при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды, если высота пирамиды в два раза меньше стороны основания. 24) Боковое ребро SB треугольной пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ее основания. Вычислите длину этого ребра, если АВ=9 см, ВС=16 см и SC:SA=4:3. 5;

6 Задание 3. Решите задачу 1) На ребре SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD взята точка О такая, что SO:OA=1:3. Через точку О и середины ребер SD и SC проведены прямые, пересекающие основание в точках F и Е. Найдите длину отрезка EF, если АВ=20 см. 2) SABC правильная треугольная пирамида, точка D середина ребра SB. Точки Е и F лежат на ребрах SA и SC так, что АЕ:ЕS=1:3, CF:FS=1:3. Точки О и К точки пересечения прямых DF и DE с плоскостью основания. Вычислите длину отрезка ОК, если АВ=16 см. 3) ТABCD четырехугольная пирамида, основанием которой служит трапеция ABCD (ВС AD). Точка К середина SA. Длина отрезка, по которому плоскость КВС пересекает грань ТAD, 5 см. Найдите длину средней линии трапеции, если ВС=6 см. 4) В правильной треугольной пирамиде ABCD точки М, N, Q и Р середины отрезков DB, DC, AC и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD=12 см, ВС=14 см. 5) В тетраэдре SABC точки К и Т середины ребер АВ и SC соответственно. Найдите длину отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые ST и ВК и параллельными прямой АС, если АВ=12 см. 6) DABC тетраэдр. Плоскость пересекает ребро BD, медиану BF грани АВС и делит их в отношении DD 1 :D 1 B=FF 1 :F 1 B=1: Найдите длину ребра тетраэдра, если D 1 F 1 = см. 5 7) В правильной треугольной пирамиде SABC точки Е и D середины ребер SA и SB соответственно. Через середину отрезка СЕ проведена прямая, параллельная прямой AD и пересекающая поверхность пирамиды в точке Т. Найдите длину отрезка ОТ, если СЕ=8 см. 8) SABCD четырехугольная пирамида, основанием которой служит трапеция ABCD (ВС AD). Точка О середина ребра SA. Найдите длину отрезка, по которому плоскость ОВС пересекает грань SAD, если ВС=6 см, а длина средней линии трапеции равна 8 см. 9) В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ рано стороне основания. Точка Р середина ребра МС. На ребрах MD и MB взяты соответственно точки R и V середины этих ребер

7 Найдите длину стороны основания, если расстояния между прямыми AV и PR равно 7 см. 10) В тетраэдре SABC точки К и М середины ребер АВ и SC соответственно. Найдите сторону тетраэдра, если длина отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые SМ и ВК и параллельными прямой АС, равна 4 см. 11) В правильной четырехугольной пирамиде TABCD все ребра равны между собой. Точка Е середина ребра АТ. Через точку Е проведена прямая, параллельная прямой КР, где К и Р середины ребер TD и ТС соответственно. Найдите площадь основания пирамиды, если площадь четырехугольника EFCD равна 3 11 см 2, где точка F точка пересечения прямой с плоскостью ТВС. 12) Основание треугольной пирамиды SABC прямоугольный треугольник АВС, в котором АСВ=90 о, САВ=30 о. Вычислите длину высоты грани ASB, проведенной из вершины S, если длина бокового ребра SC, перпендикулярного основанию, равна 4 см, а АС=6 см. 13) Боковое ребро ТА четырехугольной пирамиды ТABCD, основание которой прямоугольник ABCD, перпендикулярно плоскости основания. Вычислите длину ребра ТА, если TD=12 см, ТС=18 см, ТВ=14 см. 14) В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Вычислите длину высоты SD треугольника SAC, если АВ=10 см, ВС=17 см, АС=21 см, SB=15 см. 15) Основание треугольной пирамиды SABCD равнобедренный треугольник АВС, а боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Найдите длину ребра SA, если АВ=АС=10 см, а площадь грани ABC равно см 2. 16) В правильной треугольной пирамиде SABC из точки D, делящей ребро АС на отрезки AD=15 см и DC=10 см, проведен перпендикуляр к грани SAB. Найдите длину этого перпендикуляра. 17) DABC треугольная пирамида, основание которой равносторонний треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Точка К лежит на продолжении ребра АС так, что точка С середина отрезка АК. Вычислите угол между прямыми АВ и DK

8 18) В правильной треугольной пирамиде SABC, боковые ребра котярой взаимно перпендикулярны, на ребре SB взята точка D так, что AD=5 см. Параллельная проекция этого отрезка на плоскость основания параллельно прямой SC равна 26 см. Вычислите длину бокового ребра пирамиды. 4 Сечение пирамиды плоскостью Диагональным сечением пирамиды называется сечение ее плоскостью, проходящей через два боковых ребра пирамиды, не лежащих в одной грани. Любое диагональное сечение разбивает пирамиду на две пирамиды. Теорема. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду. Доказательство. Рассмотрим плоскость α, параллельную плоскости основания пирамиды с вершиной S и пересекающую данную пирамиду. На основании пирамиды отметим две произвольные точки M и N. Плоскость α пересекает лучи SM и SN в точках M 1 и N 1. Прямые MN и M 1 N 1 параллельны, поскольку они лежат в одной плоскости (плоскости треугольника SMN) и не пересекаются. Из курса планиметрии SM 1 /SM=SN 1 /SN, т.е. SM 1 /SM=k не зависит от точки М. Следовательно, отсекаемая плоскостью α пирамида получается из данной пирамиды преобразованием гомотетии относительно точки S с коэффициентом гомотетии K. Как известно гомотетичные фигуры подобны. Задание 4. Решите задачу Теорема доказана. 1) Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 4 см, а сторона основания 3 см. 2) Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, длина диагонали ее основания равна 6 см. Вычислите площадь диагонального сечения пирамиды

9 3) Вычислите площадь наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной пирамиды, если ее высота 5 см, а сторона основания 4 см. 4) ABCDS правильная четырехугольная пирамида. Параллельно высоте пирамиды SO проведена прямая, пересекающая отрезки SC и АС в точках М и N соответственно, причем SM=MC, ON=NC. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, если площадь треугольника MNC=5 см 2. 5) ABCDS правильная четырехугольная пирамида. SO высота пирамиды. Через точку К середину отрезка АО проведена прямая, параллельная боковому ребру и пересекающая отрезок ОS в точке Е. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, ели площадь треугольника КОЕ=2 см 2. 6) ABCDТ правильная четырехугольная пирамида. Параллельно высоте пирамиды ТO проведена прямая, пересекающая отрезки ТC и АС в точках Р и Е соответственно, причем ТР=РC, OЕ=ЕC. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, если площадь треугольника РЕC=2 см Задание 5. Решите задачу 1) В пирамиде DABC сечение, параллельное основанию, делит боковое ребро в отношении 2:3 (считая от вершины). Найдите площадь сечения, если его площадь на 84 см 2 меньше площади основания. 2) В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту пополам. Найдите площадь сечения, если площадь основания 508 см 2. 3) В правильной четырехугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного основанию, разделила высоту пополам. Найти сторону основания пирамиды, если площадь сечения равна 36 см 2. 4) Основание пирамиды ромб со стороной длиной см и острым углом 30 О. Найдите площадь сечения, параллельного основанию, если плоскость сечения делит высоту в отношении 4:1 (считая от вершины пирамиды). 5) В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания длиной проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды делится этой плоскостью в отношении 1:4 (считая от вершины пирамиды) ,8 6) В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в 508

10 отношении 1:1. Площадь основания больше площади сечения на 39 см 2. Найдите площадь основания. 7) В правильной четырехугольной пирамиде плоскость, параллельная основанию, делит высоту пополам. Найдите длину стороны основания пирамиды, если площадь сечения 36 см 2. 8) В четырехугольной пирамиде плоскость, параллельная основанию, делит высоту пирамиды пополам. Основанием пирамиды служит прямоугольник с длиной стоны 5 см. найдите длину второй стороны основания, если площадь полученного сечения равна 133 см 2. 9) В пирамиде на расстоянии 5 см от вершины проведена плоскость, параллельная основанию пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если площади сечения и основания соответственно равны 16 см 2 и 25 см 2. 10) В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении 1:1. Площадь основания больше площади сечения на 381. Найдите площадь основания. 11) В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15 3 см и острым углом 30 о. Найти площадь сечения, параллельного основанию, если сечение делит высоту основания в отношении 4:1 (считая от вершины). 12) Боковое ребро четырехугольной пирамиды разделено на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные плоскости основания. Найдите сумму площадей сечений, если площадь основания равна 81 см 2. 13) Площадь сечения пирамиды плоскостью, делящей боковое ребро пирамиды в отношении 1:2 (считая от вершины) и параллельной основанию, равна 5 см 2. Найдите площадь основания пирамиды. 14) В треугольной пирамиде DABC сечение, параллельное плоскости АВС, делит боковое ребро в отношении 1:3 (считая от вершины). Вычислите площадь сечения, если площадь треугольника АВC равна 32 см ,4 6, ) Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону основания и середину высоты. 16) Через центр основания правильной треугольной пирамиды параллельно двум ее непересекающимся ребрам проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения, если боковое 4

11 ребро пирамиды равно 6 см, а сторона основания 3 см. 17) В правильной треугольной пирамиде SABC боковые ребра взаимно перпендикулярны. Через точку О, взятую на ребре АС, построено сечение пирамиды, перпендикулярное прямой SC. Найдите длину бокового ребра пирамиды, если площадь сечения равна 32 см 2, а SO=10 см. 18) Основание пирамиды SABCD квадрат. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра SC и перпендикулярной ребру ВС, если АВ= 4 см. 19) Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 8 см, а длина бокового ребра равна 9 см. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра CD и перпендикулярной этому ребру. 20) В правильной треугольной пирамиде SABC проведены два сечения: одно через вершины А и В, перпендикулярное прямой SC, а другое через вершину В и точку Е, делящую ребро АС на отрезки АЕ=8 см и ЕС=7 см, параллельное прямой SC. Найдите длину отрезка, по которому пересекаются эти сечения, если SA=12 см Пример 2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 О. Секущая плоскость параллельна стороне основания и содержит высоту пирамиды. Найдите площадь сечения. Дано: SH= см, SAH=60 О. Найти: S сеч Решение. Треугольники AVN и ABC подобны, и коэффициент подобия равен отношению отрезка AH медианы меньшего треугольника, к медиане большего треугольника. Так как точка H точка пересечения медиан треугольника ABC, то k=2/3. Отсюда VN=2a/3, где a сторона основания пирамиды. Выразим теперь сторону основания a пирамиды через ее высоту и угол между боковым ребром и основанием. Из прямоугольного треугольника SHA найдем AH: AH=SH ctg A=2см.

12 Так как AH две трети медианы треугольника ABC, а медиана равна a /2, то a=2 см, а VN=4 /3 см. Отсюда площадь сечения: S VNS =SH VH/2=4 см 2. Ответ: 4 см 2 Пример 3. В правильной четырехугольной пирамиде TABCD длина каждого ребра равна 2 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AD и DC и параллельной ребру ТА. Дано: TABCD правильная четырехугольная пирамида, АВ=2 см, AО=ОD, DP=PC. Найти: S сеч Решение: Пусть точки О и Р середины сторон AD и DC соответственно. Секущая плоскость проходит через точку О (ADT) параллельно прямой АТ (ADT), следовательно, она пересекает плоскость ADT по прямой k, параллельной АТ. Строим точку К=k TD (k AT, O k). Треугольник ОКР искомое сечение. Так как ODK= PDK ( ODK= PDK=60 o, OD=PD, KD общая сторона), то ОК=КР, т.е. треугольник ОКР равнобедренный. Пусть точка F середина стороны ОР, тогда S OKP = 2 1 KF OP, OP= 2 1 AC= 2. В треугольнике KFP ( KFP=90 о, KP= 2 1 TC=1 см, FP= 2 1 OP= 2 2 см) длина катета KF= КР2 FP2 = 2 2 см. Отсюда S OKP = 2 1 KF OP= 2 1 см 2. Ответ: 2 1 см 2 Задание 6. Решите задачу 1) Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды, проходящего через боковое ребро и середину противоположной стороны основания, если сторона основания равна 4 см, а высота 9

13 пирамиды см. 2) В пирамиде ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС=10 см, BD=12 см. Найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении пирамиды плоскостью MNP. 3) Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 8 см, сторона основания 4 см. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найдите площадь сечения. 4) В правильной треугольной пирамиде длина стороны основания равна 8 см. Боковое ребро составляет с основанием угол 45 о. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды. 5) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 О. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30 О к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна 12 см. 6) Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру. 7) SABC правильная треугольная пирамида, длина бокового ребра которой равна 4 см, а сторона основания 2 см. Вычислите периметр сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и среднюю линию треугольника SAB, которая параллельна прямой АВ. 8) SABCD правильная четырехугольная пирамида, точки F и О середины сторон АВ и CD соответственно. Найдите площадь сечения, проходящего через точки F, О и параллельной ребру SD, если DC=20 см, SC=26 см. 9) В тетраэдре SABC точки К и М середины ребер АВ и SC соответственно. Найдите сторону тетраэдра, если длина отрезка, по которому пересекаются сечения, проходящие через прямые SМ и ВК и параллельные прямой АС, равна 4 см. 10) SABC правильная треугольная пирамида. Четырехугольник DOKT сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер AS, АС и параллельной прямой, на которой лежит медиана AF грани АВС. Найдите длину отрезка AD, если SB=12 см ) Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды 180

14 равна 20 см, а длина бокового ребра 36 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух противолежащих сторон основания и параллельной боковому ребру. 12) SABCD правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Точки О и К середины ребер SA и AD соответственно. Вычислите периметр сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую ОК параллельно DC, если площадь полной поверхности пирамиды равна 16(1+ 3 ) см 2. 13) SABCD правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Точка О точка пересечения диагоналей основания, о а точки К и Р середины сторон ВС и DC соответственно. Вычислите площадь основания пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую КР и параллельной SO, равна 2 см 2. 14) SABC правильная треугольная пирамида. Четырехугольник DOKT сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер AS, АС и параллельной прямой, на которой лежит медиана AF грани АВС. Найдите длину отрезка КТ, если SB=12 см. 15) SABCD правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Точка К середина ребра SC, а диагонали основания пересекаются в точке О. Через середины ребер ВС и CD параллельно прямой ОК проведено сечение. Вычислите длину SO, если площадь сечения равна 2 2 см 2. 16) На стороне АС основания пирамиды МАВС взята точка Р середина этого ребра. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р параллельно плоскости МВС, если в основании пирамиды лежит треугольник с прямым углом при вершине С, AC=BC/2=5 см, боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и MC=4 см. 17) На сторонах АВ и АС основания пирамиды МАВС взяты соответственно точки N и Р середины этих ребер. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р параллельно плоскости MCN, если в основании пирамиды лежит треугольник с прямым углом при вершине С, AC=BC/2=8 см, ребро МС перпендикулярно плоскости основания и MC=4 5 см. 18) ТАВС правильная треугольная пирамида. Точки D и Е середины ребер АВ и ТА соответственно. Треугольники ЕКС и TDP параллельные сечения, проходящие через СЕ и TD соответственно. Найдите площадь TDP, если площадь

15 треугольника ЕКС равна 9 см 2. 19) Треугольник ТКО сечение правильной треугольной пирамиды DABC, проходящей через точку О (ВО:ОА=1:2) И параллельной плоскости DBC. Найдите периметр ТКО, если длина стороны основания пирамиды равна 3 см, а длина бокового ребра 9 см. 20) SABCD правильная четырехугольная пирамида, а угол при вершине S грани DSC равен 60 о. Через точку О, взятую на ребре AD, проведено сечение плоскостью, параллельной грани SDC. Найдите периметр этого сечения, если длина его диагонали равна 7 см, а АО=3 см. 21) SАВС правильная треугольная пирамида. Точки М и Е середины ребер АВ и SА соответственно. Треугольники ЕКС и SМP параллельные сечения, проходящие через СЕ и SD соответственно. Найдите площадь треугольника ЕКС, если площадь треугольника SМP равна 12 см 2. 22) SABC треугольная пирамида. Точка О делит боковое ребро SA пирамиды в отношении 2:3 (считая от вершины). Треугольник ОЕК сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку О и параллельной плоскости АВС. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SOEK, если площадь боковой поверхности пирамиды SABC равна 50 см 2. 23) Четырехугольник ОТЕК сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точку О (SO:OA=2:3) и параллельной плоскости SDC. Вычислите периметр сечения, если CD=30 см, SD=25 см. 24) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 9 см, угол наклона бокового ребра к плоскости основания 30 о. Через центр основания проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной двум непересекающимся ребрам. Определить площадь сечения. 25) В правильной треугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания 30 о. Через центр основания проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной двум непересекающимся ребрам. Найдите длину основания пирамиды, если площадь сечения равна 12 см 2. 26) SABC правильная треугольная пирамида, длина бокового ребра которой равна 4 см, а сторона основания 2 см. Вычислите периметр сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра ВС и среднюю линию треугольника SAB, которая параллельна прямой АВ

16 27) DABC тетраэдр, площадь поверхности которого равна 32 см 2. Отрезки СК и DF медианы грани CDB. Найдите площадь треугольника ODT, где точки О и Т точки пересечения прямой, проходящей через точку F параллельно медиане СК с плоскостями ADC и ADB соответственно. 28) Боковая грань МАВ пирамиды МАВС перпендикулярна плоскости основания. Треугольники МАВ и ABC являются прямоугольными, и АС=ВС=МА=МВ. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через прямую СР, точка Р которой взята на ребре MB, если МР:МВ=3:4 и АС=8 см. 29) Высота правильной четырехугольной пирамиды ABCDS равна 2 см. Найдите площадь сечения, проходящей через диагональ основания и перпендикулярной боковому ребру, если длина бокового ребра равна 4 см. 30) Основанием треугольной пирамиды ТАВС служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС ( АВС=90 о, АС=24 см). Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ТВ и перпендикулярной плоскости основания, если ТА=ТС=2 61 см, а ТВ=10 см ) В правильной треугольной пирамиде SABC АВ=12 см, SA=13 см. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину Т ребра SC, перпендикулярной плоскости основания и параллельной прямой ВС. 32) Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 8 см, сторона основания 4 см. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к нему. Найдите площадь сечения. 33) В треугольной пирамиде ТАВС боковая грань ТАС перпендикулярна к плоскости основания. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ТВ и перпендикулярной плоскости основания, если ТА=ТС=5 см, АС=6 см, СВ=4 см, АВ=2 13 см

17 Если в пирамиде все боковые ребра равны и образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды, т.е. в точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды. Если в пирамиде все боковые грани образуют с основанием равные углы и длины всех апофем боковых граней равны, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, т.е. в точку пересечения биссектрис углов в основании пирамиды, и S осн =S бок cos. Пример 4. Радиус окружности, описанной около основания правильной четырехугольной пирамиды, равен 4 см, а ее боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 О. Найдите высоту пирамиды. Дано: SABCD правильная пирамида, OD=4 см, OFS =45 О Найти: SO Решение: Пусть SABCD правильная четырехугольная пирамиды, точка О центр ее основания, F середина ребра DC. Тогда SO высота пирамиды, OF CD, SF DC. Следовательно, OFS=45 О. Высоту пирамиды найдем из треугольника SOF ( SOF=90 О ): SO=Oftg45 О. В треугольнике COD ( COD=90 О, OC=OD=4 см) длина гипотенузы CD=OD =4 см. Следовательно, OF=CD/2=2 см. Таким образом, SO=Oftg45 О =2 Задание 7. Решите задачу см. Ответ: 2 см 1) Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30 О. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 О. Определить полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен 2 см. 96

18 2) Радиус окружности, описанной около основания четырехугольной пирамиды, равен см, а ее боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 О. Найдите высоту пирамиды. 3) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 60 О, и его длина равна 12 см. Найдите радиус круга, вписанного в основание пирамиды. 4) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 75 О, а длина стороны ее основания равна 4 см. Найдите радиус окружности, описанной около диагонального сечения пирамиды. 5) SABCD правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Точка О точка пересечения диагоналей основания. Прямая проходит через точку О и параллельна плоскостям SAD и SAB. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен 2 см. 6) SABCD правильная четырехугольная пирамида, боковые ребра которой наклонены к плоскости основания под углом 60 о. Найдите радиус окружности, описанной около диагонального сечения пирамиды, если АВ= 6 см

19 Подобные пирамиды Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований. Доказательство. Пусть В и В 1 площади оснований двух пирамид, Н высота каждой из них, b и b 1 площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удаленными от вершин на одно и то же расстояние h. Тогда и, откуда или. Теорема доказана. Следствие. Если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины. Задание 8. Решите задачу 1) Через ребро основания правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани треугольник площадью S 0. Чему равна площадь S 0, если площадь боковой грани пирамиды равна 49 см 2, а площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды равна 121 см 2? 2) Через ребро основания правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани треугольник площадью S 0. Чему равна площадь S 0, если площадь боковой поверхности пирамиды равна 100 см 2, а площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды равна 81 см 2? 3) Через ребро основания правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани треугольник площадью 16 см 2. Найдите боковую поверхность пирамиды, отсеченной проведенной плоскостью, если площадь боковой грани пирамиды равна 36 см 2. 4) Через ребро основания правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани треугольник площадью 9 см 2. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь боковой поверхности отсеченной пирамиды равна 81 см

20 Двугранные углы Пример 5. Площадь основания треугольной пирамиды равна 10 см 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранные углы при ее основании равны 60 О. Дано: Sосн=10 см 2, ТЕО=60 О Найти: S бок Решение: Рассмотрим треугольники ТКО, TFO и ТЕО. Они прямоугольные и равные (по стороне и двум углам). Следовательно, площадь боковой поверхности пирамиды S бок =S АТС +S АТВ +S ВТС =АС ТК/2+АВ TF/2+DC TЕ/2=Р АВС ТК, где Р АВС полупериметр треугольника АВС. В треугольнике ТОК: ТК=2ОК=2r, где r радиус вписанной окружности. Так как r=s осн :Р АВС, то ТК=2S осн :Р АВС. Отсюда площадь боковой поверхности пирамиды S бок =Р АВС ТК=Р АВС 2S осн :Р АВС =2S осн =10 см 2. Задание 9. Решите задачу Ответ: 10 см 2 1) Площадь основания треугольной пирамиды равна 12 см 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранные углы при ее основании равны 60 О. 2) Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 3 см, величина двугранного угла при основании равна 60 О. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3) Основание пирамиды равнобедренный треугольник, у которого длина основания равна 12 см, а боковой стороны 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы величиной 45 о. Найдите длину высоты пирамиды. 4) Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основания которой 3 см и 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если двугранные углы при ее основании равны 30 о

21 5) Основанием треугольной пирамиды служит правильный треугольник, а двугранные углы при основании пирамиды равны /6, /6 и /2. Найдите длину стороны основания пирамиды, если высота пирамиды равна 6 см. 6) В треугольной пирамиде длины сторон основания равны 13 см, 14 см и 15 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если каждый из двугранных углов при ребрах основания равен 60 О. 7) Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120 О. Расстояние от вершины В до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды. 8) Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120 О, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30 О. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см (3+ ) Пример 6. SABCD правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой. Вычислите угол, который образует боковое ребро пирамиды с плоскостью основания. Дано: SABCD правильная четырехугольная пирамида Найти: SAO Решение: Пусть точка О точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Тогда SO AC и SO BD, следовательно, SO (ABC). Таким образом, прямая АО ортогональная проекция прямой AS на плоскость основания. Пусть АВ=а, SAO=α. В треугольнике SOA cosα=ao/as=a 2 /2:a= 2 /2, т.е. α=45 о. Ответ: 45 о

22 Пример 7. Точка F средина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Вычислите косинус угла наклона прямой SF к плоскости основания пирамиды, если АВ=4 см, SC=8 см. Дано: SABCD пирамида, АВ=4 см, SC=8 см, DF=FC. Найти: cos SFO Пусть О=BD AC. Тогда SO (ABC). Решение: Из треугольника SOF находим cos SFO=OF/SF. OF=AD/2=2 см. В треугольнике SFC ( SFC=90 o, SC=8 см, СF=2 см) длина катета SF= SC 2 SF 2 =2 15 см. Таким образом, cos SFO=OF/SF= Ответ: Задание 10. Решите задачу 1) Основанием пирамиды является правильный треугольник АВС, а ее вершина S проектируется в точку О, симметричную точке С относительно прямой АВ. На ребре SC, образующем с плоскостью основания угол, равный 45 о, взята точка М середина этого ребра. Найдите угол между прямой АМ и плоскостью SOC. 2) В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ:АВ= 3 :1. На ребре МС взяты точки Р 1, Р 2 и Р 3, такие, что СР 1 =Р 1 Р 2 =Р 2 Р 3 =Р 3 М. Найдите угол, который образует с плоскостью грани МВС прямая АР 1. 3) В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB:AB= 3 :1. На ребре SC взяты точки М 1, М 2 и М 3 такие, что СМ 1 =М 1 М 2 =М 2 М 3 =М 3 S. Найти угол, который образует с плоскостью грани SBC прямая АМ 1. 4) Высота SO правильной пирамиды SABC равна стороне ее основания. Найдите угол, который образует прямая SC с плоскостью АВС

23 5) В основании пирамиды MABCD лежит квадрат. Боковая грань МАВ перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. На ребре MB взята точка Р - середина этого ребра. Найдите угол, который образует с плоскостью основания пирамиды прямая АР. 6) В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ:АВ= 3 :1. На ребре МС взяты точки Р 1, Р 2 и Р 3, такие, что СР 1 =Р 1 Р 2 =Р 2 Р 3 =Р 3 М. Найдите угол, который образует с плоскостью грани МВС прямая АР 2. 7) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD наклонено к плоскости основания под углом 60 о, точка Р середина ребра SA. Найдите угол между прямой PD и плоскостью ASC, если АВ=2 см. 8) В основании пирамиды лежит трапеция ABCD с прямым углом при вершине В и отношением сторон АВ:ВС:AD=1:1:2. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB=AB. На ребре AD взята точка Р середина этого ребра. Найдите угол, который образует прямая SD с секущей плоскостью, проходящей через точку Р, перпендикулярно прямой SC Пример 8. SABCD правильная четырехугольная пирамида, длина каждого ребра которой равна 2 см. Вычислите расстояние от точки О пересечения диагоналей основания до плоскости, проходящей через прямую DC и середину F ребра SA. Дано: SABCD правильная четырехугольная пирамида, АВ=2 см. Найти: ОТ Решение: К=l SB, F L, l FD. Трапеция DFKC сечение. Пусть О=BD AC, P=SO KD, точка Е середина ребра DC, а отрезок ОТ высота треугольника РОЕ. ОТ РЕ (так как ОТ высота треугольника РОЕ), ОТ DC (DC ОТ, так как DC перпендикулярна плоскости РОЕ, в которой лежит прямая ОТ). ОТ РЕ и ОТ DC, следовательно, ОТ (FDC), а длина отрезка ОТ есть расстояние от точки О до плоскости, в которой лежит сечение DFKC.

24 В треугольнике РОЕ ( РОЕ=90 о ) S РОЕ =РО ОЕ/2=РЕ ОТ/2. 1 Следовательно, РО ОЕ=РЕ ОТ, ОТ= РО ОЕ/РЕ. РО=SO/3= SC 2 ОC 2 = 3 2 см, ОЕ=FD/2=1 см. РЕ= РО 2 ОЕ 2 = 11 2 см. Таким образом, ОТ= см Ответ: 2 см 11 Задание 11. Решите задачу 1) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О точка пересечения диагоналей основания. Отрезок SO равен стороне основания, длина которой 6 см, а точка Р середина ребра SC. Найдите расстояние между прямыми АС и DP. 1