Короткие тригонометрические суммы г. Вейля в множестве точек первого класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Назрублоев Н. Н., Рахимов А. О.

Теорема Р.Вона о поведении тригонометрических сумм Г.Вейля обобщена для коротких тригонометрических сумм вида

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Назрублоев Н. Н., Рахимов А. О.

Short Weyl exponential sums in the set of the first class

R. Vaughan theorem on the behavior of Weill exponential sums is generalized for short exponential sums of the form

Текст научной работы на тему «Короткие тригонометрические суммы г. Вейля в множестве точек первого класса»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №8_

КОРОТКИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ Г.ВЕЙЛЯ В МНОЖЕСТВЕ

ТОЧЕК ПЕРВОГО КЛАССА

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.05.2014 г.)

Теорема Р.Вона о поведении тригонометрических сумм Г.Вейля обобщена для коротких тригонометрических сумм вида

Т(а, х, у) = ^ е(ат"), а = - + Л, (а, я) = 1, я <т, \Л\<—.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма Г.Вейля - тригонометрический интеграл - формула суммирования Пуассона.

Английский математик Р.Вон [1], изучая суммы Г.Вейля вида

Т(а, х) = ^ е [атп), а = — + Л, я <т, (а, я) = 1, \Л\< —,

принадлежащей Хуа Ло-кену [2], методом Ван дер Корпута доказал:

Т(а, х) = ^^ | е [ЛТ)С + О (я1(1 + хп \ Л \)1), £(а, я) = Б0(а, я).

При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем я, то есть при выполнении условия

он также доказал:

Адрес для корреспонденции: Назрублоев Насруло Нурублоевич, Рахимов Алишер Орзухуджаевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: nasrullo_86@bk.ru; alisher.1987@rambler.ru

Работа посвящена изучению коротких тригонометрических сумм Вейля вида

Т(а, х, у) = £ е(атп ),а = - + Л, (а, д) = 1, q <т,\Л\<—,

которые при п = 3,4 были исследованы в работах [3-5] и в [5-7], приложены при выводе асимптотических формул с почти равными слагаемыми в проблеме Варинга (для кубов и четвертых степеней) и кубической задаче Эстермана. Затем при произвольном фиксированном п сумма Т(а, х, у) была изучена в работе [8]. Основным результатом этой работы является упрощение доказательства и уточнение основной теоремы работы [8].

Теорема 1. Пусть т> 2п(п — 1)хп—у и Л> 0, тогда при <-1 имеет место фор-

Т (а, х, у) = ^^ Т (Л; х, у) + 0(д1+е),

а при >-1 имеет место оценка

Следствие 1.1. Пусть т > 2п(п — 1)хп—у, \ Л \< ^1 , тогда имеет место соотношение Т (а, х, у ) = у Б (а, д)у(Л; х, у ) + 0(д1+£),

у(Л; х, у) =| е 1л^х — у + у^

Следствие 1.2. Пусть т > 2п(п — 1)хп у, ——1 п1 <\ Л , тогда имеет место оценка

Т(а,х,у)«.д " \пд+ шт \ уд ",х кдк п

Следствия 1.1 и 1.2 являются обобщением результатов Р.Вона [1] для тригонометрических сумм Г.Вейля вида

Доказательство теоремы 1. Пользуясь ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим

Т(а; х, у) = ^ е - £ е(Лтп) = - £ Тъ (Л; х, у)Бь (а, д), (2)

к=0 \ д У х—У<т<х д Ъ=0

Ъx,у) = У е ЛтП — , ^ъ— я) = Уе-,

х-у<т<х V Ч ) к=1 V Ч )

Я(а; х, у) = - У Ть (Л; х, у)8ь (а, я). (3)

Имея в виду, что пЛхп

*> - целое число, представим Ть (Л; х, у) в виде

Ть(Л; х, у) = У е (/(т, Ъ)), /(и, Ъ) = Лип — (пЛхп—1 — )и--.

Пользуясь монотонностью /'(и, Ъ) , условием т > 2п(п — 1)хп—у и неравенством

Ж = У (—\)кСкк—1хп—1—кук > 0, п > 3, 3х > (п — 3)у,

1Ч, п—2 Ъ п(п — 1)хп—2 у Ъ л 1

Поэтому, применяя к сумме Т(Л; х, у) формулу суммирования Пуассона ([9], с. 204.) при а = —1 . 3 = 1, 8 = 0,5, получим

Ть (Л; х, у) = I(—1, Ъ) +1(00, Ъ) +1(1, Ъ) + О(1), (4)

I(Н, Ъ) =| е(/к (и, Ъ))Си, / (и, Ъ) = /(и, Ъ) — Ни.

Функция /'к(и, Ъ) = пЛ(ип—1 — хп—1) + — Ъ — Н в отрезке и е [х — у, х] является неубывающей функцией, поэтому

что можно представить в виде

г] = п(п — 1)Лх"-2у — пЛЖ < п(п — 1)Лх"-2у < пп — 1х у < —.

Далее, подставляя (4) в (2) и (3), найдём

Я(а; х, у) = Я—1 + Я + Я + 0 Г1 £ \ Б (а, д) \ ^

Тн = "Г £ I(И, Ъ)Бъ (а, д), Я, = £ £ I(И, Ъ)БЬ (а, д).

Пользуясь оценкой (1), оценим остаточный член:

Оценим каждую сумму Т и Я отдельно.

Оценка Т и Я1. Полагая И = 1 в (5), имеем

Оценивая интеграл по величине первой производной, имеем

Отсюда и из (1), имеем

ях = - £ /(1, Ъ)8Ь (а, д)« £' « д2 £ ^-г^ « д2

В случае Ъ = 0, воспользовавшись неравенством

оценивая интеграл I(1,0) по величине к - ой производной ([10], стр.15), найдём

Отсюда и воспользовавшись оценкой | 5(а,д) д " ([10], с. 61), с учётом оценки Яг получим

Оценка Т ] и Я_1. Полагая И = —1 в (5), имеем

Интеграл I (—1, Ъ) также оценим по величине первой производной. Имеем

Поступая аналогично, как в случае оценки , получим

Интеграл I(0, Ъ), также оценивая по величине первой производной, найдём

Поступая аналогично как в случае оценки , получим

Отсюда, из оценок Я^ и с учётом (7), получим первое утверждение теоремы.

Оценка Т0. При >-1, определим натуральное число г соотношением

Отсюда, из неравенств (5) при Н = 0 и условия ] < , найдём

Пусть г = 2г - чётное (1 < г < q - 1). Отрезок суммирования 0 < Ь < q — 1 в сумме Г0 разобьем на следующие три множества:

соответственно в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть

„ , 7Ч 2г -2Ь -1 г - -/'о(и, Ь) > -> -г—-, 0 < Ь < г -1,

2r -2b +1 r - b л 7

Воспользовавшись этими неравенствами, оценивая интеграл I(0, b) по величине первой производной, найдём

В случае b = r, оценивая аналогично как в случае оценки интеграла I (1,0), найдём

11(0, г,) I« min i у 1

Воспользовавшись этими оценками и оценкой | S(a,q) |<SC q " ([10], с. 61), получим

q " \nq + min\yq Ä кх kq

Пусть теперь г = 2г +1 - нечётное (0 < г < q -1). Отрезок суммирования 0 < Ь < q -1 в сумме ^ разобьём на следующие три множества:

соответственно в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем - правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть

г, , 2r +1 - 2b -1 r - b Л 7

2r +1 - 2b +1 r - b „ 7

1(0, Ъ) = f e(f0(u, b))du « 4 b * rY -1, rv

1, Г, поступая аналогично как в предыдущем случае оценки I(0, r), найдем

11(0, b) I«; min [у, /Г**1-* ], b = r1,r1 +1. Из этих оценок для I (0, b) получим

«:q1 "In<7+min (yg п,Л kxl kq*

Подставляя оценки для Т , Т] и Т0 в (6), получим второе утверждение теоремы.

Замечание. Случай Л < 0 сводится к случаю Л> 0, если формуле (2) придадим форму

T (ai X У) = "T £ Tq_ b (-Л; x, y )Sq_ b (q - a, q) = j- £ Ть (-Л; x, y)Sb (q - a q).

Поступило 15.04.2014 г.

1. Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums. - Colloquia Mathematica Societatss Janos. Bolyai v. 34, Budapest, 1981, pp. 1585-1602.

2. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. - М.: Мир, 1964, 190 с.

3. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких кубических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2008, т.51, 1, с. 5-15.

4. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени. - ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

5. Rakhmonov Z.Kh. The Estermann cubic problem with almost equal summand. - Mathematical Notes. 2014, v. 95, Issue 3-4, pp 407-417.

6. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2008, т.51, №2, с.83-86.

7. Рахмонов З.Х., Азамов А.З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2011, т.54, №3, с. 34-42.

8. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2011, т.54, №4, с. 257-264.

9. Карацуба А.А., Королёв М.А. Теорема о замене тригонометрической суммы более короткой. -Известия РАН, сер. матем., т.71, №2, с.123-150.

10. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987.

СУММАХОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И Г.ВЕЙЛ ДАР МА^МУИ

НУЦТА^ОИ СИНФИ ЯКУМ

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон Теоремаи Р.Вон оиди рафтори суммах,ои тригонометрии Г.Вейл барои суммах,ои кутохд намуди

a 1 T(a, x, y) = У e(am"), а = - + Я, (a, q) = 1, q <т, \Л\< —

умуми карда шудааст.

Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии Г.Вейл ронии Пуассон.

- интеграли тригонометри - формулаи сумми-

N.N.Nazrubloev, A.O.Rahimov SHORT WEYL EXPONENTIAL SUMS IN THE SET OF THE FIRST CLASS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

R. Vaughan theorem on the behavior of Weill exponential sums is generalized for short exponential sums of the form

T(a, x, y) = ^ e(am"), a = - + A, (a, q) = 1, q <t, \X\<—.

Key words: Weyl exponential sums - Exponential integral - Poisson summation formula .