МГУ-2008: Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

1 Полусферический тонкостенный «колокол» с небольшим отверстием в верхней части плотно (без зазора) лежит на горизонтальном столе. Через отверстие в колокол медленно наливают воду. Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать из-под него снизу. Найдите массу колокола m, если его радиус R = 10 см. Плотность воды ρ = 10 3 кг/м 3 .

Сила гидростатического давления воды на стол равна F = πR 2 ρgh , где h – высота уровня воды в колоколе. В момент начала подтекания воды из-под колокола h = R , следовательно, F = πR 3 ρg. С другой стороны, суммарный вес колокола и воды составляет величину Поскольку вода, подтекающая под колокол, приподнимает его, колокол непосредственно на стол не давит. Следовательно, F′= F.

Ответ. m = 1/3 πR 3 ρ ≈1 кг.

2 Маленькая шайба находится на горизонтальной поверхности стола, состоящей из двух панелей – гладкой и шероховатой. Коэффициент трения между шайбой и шероховатой панелью возрастает по мере удаления от стыка панелей по линейному закону μ(x) = αx, где α = const, а координатная ось X направлена перпендикулярно стыку панелей. Шайба скользит по гладкой панели параллельно оси X и в некоторый момент времени попадает на шероховатую панель. Какое расстояние x0 пройдёт по шероховатой панели шайба до остановки, если её скорость на гладкой панели равна υ0? Ускорение свободного падения g.

Уравнение движения шайбы, начиная с момента, когда она попадает на шероховатую поверхность, и до момента остановки имеет вид: или Решение этого уравнения: где x0 – перемещение шайбы до полной остановки. Скорость шайбы меняется во времени по закону Отсюда находим, что начальная скорость шайбы υ0 связана с x0 соотношением

3 Катер приближается к пристани со скоростью υ = 72 км/ч. Стоит безветренная погода. На пристани играет оркестр. На сколько полутонов n должны изменить своё исполнение музыканты оркестра для того, чтобы пассажиры катера слышали мелодию в неискажённой тональности? Скорость звука в воздухе примите равной с = 340 м/с.

Указание. Один полутон соответствует изменению частоты звучания в k = ≈ 1,06 раза.

Пусть оркестр исполняет чистый музыкальный тон на частоте ν. Уравнение звуковой волны, распространяющейся навстречу катеру в неподвижном воздухе, имеет вид:

где p – избыточное давление в волне, p0 – амплитуда колебаний давления, x – координата некоторой точки. В системе отсчёта, связанной с катером, координата той же точки равна где L0 – расстояние между катером и пристанью в момент времени t = 0. Выражая отсюда x и подставляя его в исходное уравнение волны, получаем уравнение волны в системе отсчёта, связанной с катером:

На палубе катера x′ = 0. Отсюда находим, что пассажиры катера воспринимают звуковое давление, описываемое выражением p = p0cos(2πν′t + φ0), где

Следовательно, чтобы пассажиры слышали правильный тон, оркестр должен исполнять его на частоте, которая ниже исходной в m = ν′/ ν = 1+ υ/c раз.

Ответ. Оркестр должен играть на n = 12log2 (1+ υ/c) ≈ 1 полутон ниже.

4 Дождевая капля радиусом R падает с высоты h. При падении капля пролетает через заряженное облако и приобретает потенциал φ0. Под действием сил кулоновского отталкивания капля разделяется на две одинаковые части, относительные скорости которых направлены горизонтально. Какую максимальную скорость может приобрести каждая из капелек в момент достижения поверхности Земли? Сопротивлением воздуха и электростатическим взаимодействием капелек с поверхностью Земли и с заряженным облаком, а также поверхностным натяжением воды можно пренебречь. Плотность воды ρ. Электрическая постоянная ε0, ускорение свободного падения g.

Движение капелек в вертикальном и горизонтальном направлениях происходит независимо. Поэтому величина вертикальной составляющей их скорости в момент падения на землю равна и не зависит от момента разделения капли на части. Движение в горизонтальном направлении совершается под действием сил кулоновского отталкивания. Заряд капли и её начальная электростатическая энергия равны:

где C1 = 4πε0R – ёмкость капли. После разделения капли на части радиус каждой из образовавшихся капелек, её ёмкость и заряд на ней будут равны соответственно:

Электростатическая энергия двух капель, находящихся на большом расстоянии друг от друга, равна

Разность между начальной и конечной электростатическими энергиями

перейдёт в кинетическую энергию относительного движения капелек

если разделение капли происходит достаточно далеко от поверхности Земли. Поэтому максимально возможная скорость капелек

5 Водитель видит приближающийся сзади автомобиль в панорамное (выпуклое) зеркало заднего вида. Во сколько раз m отличается угловой размер изображения автомобиля от углового размера самого автомобиля, если фокусное расстояние зеркала f = 1 м, а расстояние от глаз водителя до зеркала s = 0,5 м? Считайте, что это расстояние значительно меньше расстояния l от зеркала до приближающегося сзади автомобиля.

Построение изображения A1 автомобиля A в сферическом зеркале показано на рисунке. Изображение является мнимым, прямым, уменьшенным. Из рисунка видно, что угловые размеры автомобиля и его изображения равны соответственно: где l – расстояние от автомобиля до зеркала, l1 – расстояние от зеркала до изображения автомобиля. Из подобия треугольников следуют равенства: Отсюда Искомое отношение угловых размеров равно