Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические рекомендации)

Известно, что в программе по математике для неспециализированных школ задачам с параметрами отводится незначительное место. К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, относятся, например, задачи, в которых отыскивается решение линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследуется количество их корней в зависимости от значений параметров. Естественно, что такой небольшой класс задач не позволяет учащимся овладеть методами решения задач с параметрами. В результате, у учащихся возникает психологический барьер уже при «первом» знакомстве с параметрами - это неизвестное и известное, переменная и постоянная. Выход из сложившейся ситуации - включать задачи с параметрами в каждую тему.

• Для решения задач с параметрами требуется:

а) свободное владение навыками решения уравнений; б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях; в) умение построить логическую цепочку рассуждений.

• Что дают задачи с параметрами:

а) отработку навыков решения уравнений; б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление; в) формируют навыки исследовательской деятельности; г) повышают интерес к математике.

Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число. Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.

Пример №2. Выразить х : а) ах = а-1; б) (а+2) х = а-1; в) а х = а -1. Укажите, при каких значениях а имеет смысл полученное выражение. Найдите значение х при а=2; а=3; а= -10. Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х-2=-1;14х=-4; 3-3х=1 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти, через числа. Покажите, что в уравнение, помимо неизвестного, могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах=а-1, (а+2)х=а-1, (а+2)х=(а+2)-1, а х=а -1. При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения ах=а-1 получаем при а=2 имеем 2х=2-1; при а=3 имеем 3х=3-1; при а=0 имеем 0х=0-1; при а=-4 имеем -4х=-4-1.

Пример №3. Дано уравнение ах=5а-9. Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4. Решить уравнение относительно х: х+2=а+7. Решение: х=а+5. Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

• Параметр - это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которойпроводится анализ полученного решения.
• Решить уравнение с параметром - этозначит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения. Ответ запишем так: при любом значении параметра а

х=а+5 . Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.

Пример №5. Сравнить числа: а) а и 3а; б) -а и 3а. Решение: а) естественно рассмотреть три случая: если а < 0, то а > 3а; если а = 0, то а = 3а; если а > 0, то а < 3а; б) естественно рассмотреть три случая: если а < 0, то -а > 3а; если а = 0, то -а = 3а; если а > 0, то -а < 3а.

Пример №6. При каком значении параметра а х=2,5 является корнем уравнения х+2=а+7? Решение. Т.к. х= 2,5 – корень уравнения х+2=а+7, то при подстановке х= 2,5 в уравнение получим верное равенство 2,5+2=а+7, откуда находим а =-2,5. Ответ: при а=-2,5.

Пример №7. Имеет ли уравнение 3х+5 = 3х+а решение при а=1. Подберите значение а, при котором уравнение будет иметь корни.

Пример №8. Найдите множество корней уравнения ах = 4х+5 а) при а=4; б) при а≠4. На простых примерах надо показать, что приемы, используемые для решения уравнений с параметрами, такие же, как и при решении уравнений, содержащих помимо неизвестной только числа.

Пример №9. Решить уравнение ах=1. Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: Однако, при а=0 данное уравнение решений не имеет и верный ответ записывается так: если а=0, то нет решений; если а≠0, то

Пример №10. Найти все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а-1)х=12 является

a) натуральным числом; б) неправильной дробью.

Решение: а≠1, то так как иначе уравнение не имеет решений; а) если а≠1, то Перебором находим: при а=13, х=1;при а=7, х=2;при а=5, х=3;при а=4, х=4;при а=3, х=6;при а=2, х=12. Ответ: а є . б) если а≠1, то Перебором находим, что а є .

Пример №12. Решить уравнение ах+8=а. Решение. Запишем уравнение в стандартном виде ах=а-8. Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем подробного описания хода решения. Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:

1. коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0х=-8, полученное уравнение не имеет корней;
2. коэффициент при хне равен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент: а≠0,

ах=а-8, Ответ: при а=0, нет корней; при а≠0, Важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда коэффициент при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда первым, чтобы помочь учащимся избежать наиболее распространенной ошибки, когда этот случай теряют. Полезно обратить внимание учащихся на конструкцию записи ответа. В различных пособиях по математике встречаются две конструкции:

1. при а …, х …;
2. если а …, то х … .

Предложите учащимся решить самостоятельно (с последующей проверкой на доске) уравнение (а+2)х+2=а, где а – параметр. Ответ: при а=-2, нет корней; при а≠-2, Таким образом любое линейное уравнение с параметрами элементарными преобразованиями может быть приведено к виду Ах=В, где А и В – некоторые выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и исследуется по схеме:

Пример № 13. При каких значениях а уравнение (а2-1)х=а+1 а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный корень. Решение: а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то есть Т.о., при а=1 уравнение не имеет решений. б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается в нуль, то есть Т.о., при а=-1 уравнение имеет бесконечное множество решений. в) уравнение имеет единственное решение, при а2-1≠0, то есть (а-1)(а+1)≠0, т.е. а≠±1. Ответ:

1. Уравнение не имеет решений, при а=1.
2. Уравнение имеет бесконечное множество решений, при а=-1.
3. Уравнение имеет единственный корень, при а≠±1.

Пример №15. Предложить учащимся решить самостоятельно уравнение (а- параметр) (а-1)х+2=а+1. Решение. Запишем уравнение в стандартном виде (а-1)х=а-1.

1. Если а-1=0, т.е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0, т.е. х – любое число.
2. Если а-1≠0, т.е. а≠1, то х=1.

Пример №19. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение 2 -1-х=а? Решение. Преобразуем уравнение к виду 2|x| -1=х+а. Рассмотрим функции f(х)=2|x| -1 и g(х,а)= х+а. Графиком первой из них является ломаная (рис.1), графиком второй - семейство прямых, параллельных прямой у=х.

Эти прямые пересекаются с осью ординат в точках с координатами (0;а). Очевидно, что если а будет возрастать от - , то впервые графики пересекутся тогда, когда прямая пройдет через вершину ломаной, т.е. через точку (0;-1), т.е. при а=-1. В этом случае уравнение имеет единственное решение. Если дальше увеличивать параметр а, то точек пересечения будет ровно две – с каждой из ветвей ломаной. В результате этого анализа получаем ответ. Ответ: при а<-1 уравнение не имеет корней; при а=-1 уравнение имеет единственный корень; при а>-1 уравнение имеет два корня.

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения: 1) (а-3)х=а2-9; 2) (3-2а)х=4а2-12а+9; 3) (а2-4)х=а2-5а+6; 4) (а2-1)х=а3+1 Решение.1) (а2-1)=0, а=±1. При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет. При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.