Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки

С того момента, как на Земле появились деньги, появились и люди, которые стали давать их в долг, извлекая из этого прибыль.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 . Лицо, дающее деньги в долг, называют кредитором. Лицо, берущее деньги в долг, называют заёмщиком.

Предоставление денег в долг происходит в соответствии с кредитным соглашением и осуществляется в различных формах: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, получение векселя, приобретение облигаций и т.д.

При заключении кредитного соглашения кредитор и заемщик договариваются о размере кредита, времени и способе его погашения, а также об уровне вознаграждения кредитора.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Плату за предоставление денег в долг, т.е. разницу между деньгами, возвращаемыми заемщиком кредитору, и деньгами, данными кредитором заемщику в долг, называют процентными деньгами.

Будем использовать следующие обозначения:

Z – сумма денег, данных кредитором заемщику в долг,

K – сумма денег, возвращаемая заемщиком кредитору,

D – процентные деньги.

По определению 2

K = Z + D(1)

Будем рассматривать лишь такие кредитные соглашения, когда долг вместе с процентными деньгами ( сумма K) возвращается заемщиком кредитору одним платежом в конце срока, установленного кредитным соглашением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Годовой процентной ставкой называют отношение процентных денег к деньгам, данным кредитором заемщику в долг, при предоставлении ссуды сроком на 1 год.

Будем обозначать буквами P и p годовую процентную ставку, выраженную в процентах и долях соответственно.

причем по определению годовой процентной ставки

СЛЕДСТВИЕ 1 . Если известны значения p и Z , то, переписывая формулу (2) в виде

и, воспользовавшись формулой (1), получаем соотношение для вычисления суммы K :

из которого следует, что при предоставлении ссуды на срок в 1 год

K = Z (1 + p) .(3)

СЛЕДСТВИЕ 2 . Если известны значения p и K , то из формулы (3) можно найти сумму Z :

Будем рассматривать случай, когда срок t возврата долга выражается в годах, например,

Нашей целью является описание двух способов расчета сумм K, возвращаемых заемщиком кредитору (расчеты по схемам простых и сложных процентов на основе процентной ставки).

Отметим особо, что значения p и Z нам известны, а мы вычисляем суммы K.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 . Расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает одни и те же процентные деньги, которые составляют P процентов от суммы долга Z, выплаченной заемщику.

Рассмотрим сначала случай, когда кредит с расчетом по схеме простых процентов предоставляется на целое число лет, и обозначим символами K1 , K1 , . , Kn суммы, возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом в течение t = 1, 2, . , n лет соответственно.

В силу определения 4

СЛЕДСТВИЕ 3 . Суммы K1 , K1 , . , Kn , возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки в течение t = 1, 2, . , n лет, определяются по формуле

Km = Z (1 + mp) , m = 1, 2, . , n(5)

и составляют арифметическую прогрессию с первым членом Z (1 + p) и разностью pZ .

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда кредит с расчетом по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки предоставляется на произвольное (не обязательно целое) число лет t (в годах), и, обобщая соотношение (5), сформулируем следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 . Если кредитное соглашение предусматривает расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки, то по прошествии t лет кредитор получает от заемщика сумму

K (t) = Z (1 + pt) ,(6)

а процентные деньги вычисляются по формуле

ЗАМЕЧАНИЕ 1 . При t = n , т.е. в случае, когда кредит предоставляется на целое число лет, расчеты по формулам (5) и (6) совпадают.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 . Расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает процентные деньги, которые составляют P процентов от всей накопленной к началу этого годасуммы долга (с учетом процентных денег).

Поступая по аналогии с простыми процентами, рассмотрим сначала случай, когда кредит с расчетом по схеме сложных процентов предоставляется на целое число лет, и обозначим символами K1 , K1 , . , Kn суммы, возвращаемые заемщиком кредитору за пользование кредитом в течение t = 1, 2, . , n лет соответственно.

В силу определения 6

СЛЕДСТВИЕ 4 . Суммы K1 , K1 , . , Kn , возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой в течение t = 1, 2, . , n лет, определяются соотношением

Km = Z (1 + p) m , m = 1, 2, . , n(7)

и составляют геометрическую прогрессию с первым членом Z (1 + p) и знаменателем (1 + p) .

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда кредит с расчетом по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки предоставляется на произвольное (не обязательно целое) число лет t (в годах), и, обобщая соотношение (7), сформулируем следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Если кредитное соглашение предусматривает расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки, то, по прошествии t лет, кредитор получает от заемщика сумму

K (t) = Z (1 + p) t ,(8)

а процентные деньги вычисляются по формуле

В следующих двух примерах кредит (ссуда) предоставляется на основе изменяющихся (плавающих) процентных ставок.

ПРИМЕР 1 . Заемщик получил ссуду в 1000000 рублей, которую должен погасить одним платежом через 0,75 года. Расчет производится по схеме простых процентов, причем первые 0,25 года годовая процентная ставка равна 12% , а в оставшееся время годовая процентная ставка равна 16% . Найти сумму, возвращаемую кредитору, и процентные деньги.

РЕШЕНИЕ . Поскольку при расчетах по схеме простых процентов на основе процентной ставки процентные деньги начисляются на сумму долга Z по формуле (6) , то

ОТВЕТ . Заемщик возвращает кредитору 1100000 рублей, процентные деньги равны 100000 рублей.

ПРИМЕР 2 . Заемщик получил ссуду в 1000000 рублей, которую должен погасить одним платежом через 5 лет. Расчет производится по схеме сложных процентов, причем первые 2 года годовая процентная ставка равна 12% , а в оставшееся время годовая процентная ставка равна 16% . Найти сумму, возвращаемую кредитору, и процентные деньги.

РЕШЕНИЕ . Поскольку при расчетах по схеме сложных процентов на основе процентной ставки процентные деньги за каждый год начисляются на всю накопленную к этому моменту сумму долга по формуле (8), то

K = 1000000 (1 + 0,12) 2 (1 + 0,16) 3 = = 1957987,94 ;

ОТВЕТ . Заемщик возвращает кредитору 1957987,94 рублей, процентные деньги равны 957987,94 рублей.

ЗАДАЧА 1 . Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении ссуды в размере 1000000 рублей сроком на 1 год. Банк выделил ему эту ссуду с годовой процентной ставкой в 20% , при условии погашения ссуды одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги получит банк?

РЕШЕНИЕ . В задаче известны значения Z и p , а найти нужно K и D . Поскольку

а предприниматель возвращает банку сумму K , равную

ОТВЕТ . Предприниматель возвращает банку 1200000 рублей, процентные деньги банка равняются 200000 рублей.

ЗАДАЧА 2 . По истечении первого месяца цена товара увеличилась на 30% , а по истечении следующего месяца цена товара уменьшилась на 10% . На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за 2 месяца?

РЕШЕНИЕ . Обозначим первоначальную цену товара буквой a . По истечении первого месяца цена товара стала равной 1,3 a . По условию задачи за второй месяц новая цена товара (база для вычисления процентов), равная 1,3 a , уменьшилась на 10% и стала равной

ОТВЕТ . Первоначальная цена товара за 2 месяца увеличилась на 17% .

ЗАДАЧА 3 . Цена товара увеличилась на 25% . На сколько процентов нужно снизить цену товара, чтобы она стала первоначальной?

РЕШЕНИЕ . Обозначим первоначальную цену товара буквой c . После увеличения на 25% новая цена товара стала равной 1,25 c . Следовательно, для того, чтобы вернуться к первоначальному уровню c , новая цена товара (база для вычисления процентов), должна уменьшиться на сумму 0,25 c . Таким образом, мы должны определить, сколько процентов составляет число 0,25c от числа 1,25c :

ОТВЕТ . Цену товара нужно снизить на 20% .

ЗАДАЧА 4 . Банковский вклад, нетронутый в течение года, в конце этого года увеличивается на 10% . На сколько процентов увеличится вклад, нетронутый в течение трех лет?

РЕШЕНИЕ . Обозначим первоначальную сумму вклада буквой Z и проведем расчет по схеме сложных процентов. Используя формулу (8), находим

Таким образом, денежная сумма Z , нетронутая в течение трех лет, увеличивается на сумму 0,331 Z ; то есть на 33,1% .

ОТВЕТ . Вклад увеличится на 33,1% .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 . Месячным темпом инфляции называют такое количество процентов, на которое возрастают цены товаров за месяц, по сравнению с предыдущим месяцем.

ЗАДАЧА 5 . Месячный темп инфляции равен 5% . На сколько процентов возрастают цены за год?

РЕШЕНИЕ . Инфляция является процессом, развивающимся по схеме сложных процентов. Если обозначить цену товара в первый день года буквой Z , то, используя формулу (8), находим цену товара через 12 месяцев:

Следовательно, с начала года цена товара Z увеличилась на сумму 0,7959 Z ; т.е. увеличилась на 79,59% .

ОТВЕТ . Цены вырастают за год на 79,59% .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Если бы мы для решения этой задачи вместо формулы (8) применили формулу (6), которая относится к расчету по схеме простых процентов, что является серьёзной ошибкой, то мы бы получили неверный ответ, свидетельствующий о том, что при месячном темпе инфляции в 5% цены за год вырастают на 60% .

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

Методы решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

С методами, используемыми при решении задач на движение, можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».