Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

- чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

- чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Исходные данные: числовые множества А = < 3 , 5 , 7 , 12 >и В = < 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 >. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

1. Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А : 3 , 5 , 7 , 12 . Добавим к ним недостающие элементы множества В : 2 , 8 , 11 и 13 . В конечном итоге имеем числовое множество: < 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 >. Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >.
2. Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B . Рассмотрим первый элемент - число 3 : он не принадлежит множеству B , а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A , т.е. число 5 : оно принадлежит множеству B , а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7 . Оно не является элементом множества B , а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A : число 1 . Оно также принадлежит и множеству B , и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12 , т.е. А ∩ В = < 5 , 12 >.

Ответ: объединение исходных множеств – А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >; пересечение исходных множеств - А ∩ В = < 5 , 12 >.

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A , В и С , возможно сначала определить пересечение A и B , а затем найти пересечение полученного результата с множеством C . На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = < 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 >, В = < 2 , 7 , 9 , 21 >и С = < 7 , 9 , 1 , 3 >. Пересечение первых двух множеств составит: А ∩ В = < 9 , 21 >, а пересечение полученного множества с множеством А ∩ В = < 9 , 21 >. В итоге: А ∩ В ∩ С = < 9 >.

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = < 1 , 2 >, В = < 2 , 3 >, С = < 1 , 3 , 4 , 5 >. К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B , а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C . Таким образом, объединение исходных множеств: А ∪ В ∪ С = < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 >.

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A , а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = < 1 , 2 >.

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой - 5 , 4 . Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению ( - ∞ , - 5 , 4 ) ∪ < - 5 , 4 >∪ ( - 5 , 4 , + ∞ ) . Т.е. множество всех действительных чисел R = ( - ∞ ; + ∞ ) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом ( - ∞ , - 5 , 4 ] или [ - 5 , 4 , + ∞ ) . При этом множество R будет описываться следующими объединениями: ( - ∞ , - 5 , 4 ] ∪ ( - 5 , 4 , + ∞ ) или ( - ∞ , - 5 , 4 ) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞ ) . .

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал ( 7 , 32 ] и точка 13 , принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения ( 7 , 13 ) ∪ < 13 >∪ ( 13 , 32 ] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество ( 7 , 32 ] можно представить, как ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] или ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] . Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32 ), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала ( 7 , 32 ) и множества из одного элемента < 32 >. Таким образом: ( 7 , 32 ] = ( 7 , 32 ) ∪ < 32 >.

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами - 6 , 0 , 8 , которые разобьют ее на промежутки: ( - ∞ , - 6 ) , ( - 6 , 0 ) , ( 0 , 8 ) , ( 8 , + ∞ ) . При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

( - ∞ , - 6 ) ∪ < - 6 >∪ ( - 6 , 0 ) ∪ < 0 >∪ ( 0 , 8 ) ∪ < 8 >∪ ( 8 , + ∞ ) .

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Исходные данные: заданы числовые множества А = ( 7 , + ∞ ) и В = [ - 3 , + ∞ ) . Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

Решение

1. Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и

Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами - 3 и 7 .

Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: ( - ∞ , - 3 ) , < - 3 >, ( - 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) .

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B );

- точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B );

- промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .

- точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: ( - ∞ , - 3 ) , < - 3 >, ( - 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) . Начнем с множества ( - ∞ , - 3 ) , наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество < - 3 >. Число - 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой - 3 делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество ( - 3 , 7 ) .

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку - < 7 >. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ - 3 , + ∞ ) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток ( 7 , + ∞ ) .

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = ( 7 , + ∞ ) .

1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества ( - ∞ , - 3 ) , < - 3 >, ( - 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество ( - ∞ , - 3 ) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество ( - ∞ , - 3 ) не войдет в искомое объединение:

Множество < - 3 >входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B :

Множество ( - 3 , 7 ) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B :

Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество ( 7 , + ∞ ) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ - 3 , + ∞ ) .

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Исходные данные: множества А = ( - ∞ , - 15 ) ∪ < - 5 >∪ [ 0 , 7 ) ∪ < 12 >и В = ( - 20 , - 10 ) ∪ < - 5 >∪ ( 2 , 3 ) ∪ < 17 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

Ответ: А ∩ В = ( - 20 , - 15 ) ∪ < - 5 >∪ ( 2 , 3 ) ; А ∪ В = ( - ∞ , - 10 ) ∪ < - 5 >∪ [ 0 , 7 ] ∪ < 12 , 17 >.

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Исходные данные: множества А = < - 2 >∪ [ 1 , 5 ] и B = [ - 4 , 3 ] .

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически изобразим числовые множества А и В :

Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

( - ∞ , - 4 ) , < - 4 >, ( - 4 , - 2 ) , < - 2 >, ( - 2 , - 1 ) , < 1 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >, ( 3 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , + ∞ ) .

Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: < - 2 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >и ( 3 , 5 ) . Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

Совершенно понятно, что < - 2 >является частью множества B , ведь точка с координатой - 2 – внутренняя точка отрезка [ - 4 , 3 ) . Интервал ( 1 , 3 ) и множество < 3 >также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество ( 3 , 5 ) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: < - 2 >∪ ( 1 , 3 ] .

Ответ: А ∩ В = < - 2 >∪ ( 1 , 3 ] .

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2 ). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Исходные данные: множества А = ( - ∞ , 12 ] , В = ( - 3 , 25 ] , D = ( - ∞ , 25 ) ꓴ < 40 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: ( - ∞ , - 3 ) , < - 3 >, ( - 3 , 12 ) , < 12 >, ( 12 , 25 ) , < 25 >, ( 25 , 40 ) , < 40 >, ( 40 , + ∞ ) .

Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал ( - 3 , 12 ) и множество < - 12 >: они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A ∩ B ∩ D = ( - 3 , 12 ] .

Объединение заданных множеств составят множества: ( - ∞ , - 3 ) - элемент множества А ; < - 3 >– элемент множества А ; ( - 3 , 12 ) – элемент множества А ; < 12 >– элемент множества А ; ( 12 , 25 ) – элемент множества В ; < 25 >– элемент множества В и < 40 >– элемент множества D . Таким образом, получим: A ∪ B ∪ D = ( - ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.

Ответ: A ∩ B ∩ D = ( - 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = ( - ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Исходные данные: А = [ - 7 , 7 ] ; В = < - 15 >∪ [ - 12 , 0 ) ∪ < 5 >; D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞ ) ; Е = ( 0 , 27 ) . Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: ( - ∞ , - 15 ) , < - 15 >, ( - 15 , - 12 ) , < - 12 >, ( - 12 , - 10 ) , < - 10 >, ( - 10 , - 7 ) , < - 7 >, ( - 7 , 0 ) , < 0 >, ( 0 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , 10 ) , < 10 >, ( 10 , 27 ) , < 27 >, ( 27 , + ∞ ) .

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

Ответ: A ∩ B ∩ D ∩ Е = Ø .

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.