Векторы на координатной плоскости
\(\blacktriangleright\) Пусть в прямоугольной системе координат \(Oxy\) даны точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) .
Тогда вектор \(\Large \) (из координат конца необходимо вычесть координаты начала).
\(\blacktriangleright\) Длина вектора \(\overrightarrow\) равна длине отрезка \(AB\) .
\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два вектора, необходимо сложить их соответствующие координаты:
Аналогично с разностью.
\(\overrightarrow\) имеет координаты \((6; 12)\) , а \(\overrightarrow\) имеет координаты \((9; 8)\) . Найдите длину \(\overrightarrow - \overrightarrow\)
Первая и вторая координаты разности векторов есть разность их первых и разность вторых координат соответственно.
\(\overrightarrow - \overrightarrow\) имеет координаты \((6 - 9; 12 - 8)\) , тогда его длина равна \(\sqrt = 5\) .
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow (0; 4)\) и \(\overrightarrow (3; 5)\) .
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow, \overrightarrow) = 0\cdot 3 + 4\cdot 5 = 20\) .
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow (-1; -1)\) и \(\overrightarrow (3; 8)\) .
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow, \overrightarrow) = -1\cdot 3 + (-1)\cdot 8 = -11\) .
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow (-\pi\cdot\ln a; 7)\) и \(\overrightarrow (0; 3)\) , если \(a = 18\) .
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow, \overrightarrow) = -\pi\cdot\ln a\cdot 0 + 7\cdot 3 = 21\) .
Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow (\ln (a^2 + 1); a^2)\) и \(\overrightarrow (0; 0,5)\) , если \(a = 3\) .
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow, \overrightarrow) = \ln (a^2 + 1)\cdot 0 + a^2\cdot 0,5 = 9\cdot 0,5 = 4,5\) .
Найдите угол между векторами \(\overrightarrow (6; 2)\) и \(\overrightarrow (-1; 3)\) . Ответ дайте в градусах.
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow, \overrightarrow) = 6\cdot (-1) + 2\cdot 3 = 0\) .Если скалярное произведение векторов равно \(0\) , то они перпендикулярны, тогда угол между \(\overrightarrow\) и \(\overrightarrow\) равен \(90^\) .
Найдите синус угла между векторами \(\overrightarrow \left(3\sin\dfrac; 3\cos\dfrac\right)\) и \(\overrightarrow \left(3\sin\dfrac; 3\cos\dfrac\right)\) .
Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче
\[\begin (\overrightarrow, \overrightarrow) &= 3\sin\dfrac\cdot 3\sin\dfrac + 3\cos\dfrac\cdot 3\cos\dfrac = 9\left(\sin\dfrac\cdot\sin\dfrac + \cos\dfrac\cdot\cos\dfrac\right) =\\ &= 9\cos\left(\dfrac - \dfrac\right) = 9\cos\dfrac = 9\cdot\dfrac. \end\]
Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. \[|\overrightarrow| = \sqrt = 3, \qquad\qquad |\overrightarrow| = \sqrt = 3.\] Тогда \[|\overrightarrow|\cdot |\overrightarrow|\cdot \cos(\overrightarrow; \overrightarrow) = 9\cdot\dfrac\qquad\Rightarrow\qquad 9\cdot \cos(\overrightarrow; \overrightarrow) = 9\cdot\dfrac\qquad\Rightarrow\qquad \cos(\overrightarrow; \overrightarrow) = \dfrac,\] тогда \(\sin(\overrightarrow; \overrightarrow) = \pm\dfrac\) , но угол между векторами не меньше \(0^\) , но меньше \(180^\) , тогда \[\sin(\overrightarrow; \overrightarrow) = 0,5.\]
Тема «Векторы на координатной плоскости» достаточно подробно рассматривается в рамках школьного курса учащихся старших классов. Однако практика показывает, что, сталкиваясь с нетипичным заданием, выпускники часто теряются и не могут быстро найти правильный ответ.
Чтобы задачи, в которых требуется построить векторы на координатной плоскости, не вызывали сложностей при написании профильного уровня ЕГЭ по математике, необходимо понять, как они решаются.
Вместе с образовательным порталом «Школково» подготовка к прохождению аттестационного испытания будет легкой и качественной! Сайт поможет учащимся выявить пробелы в знаниях и успешно справиться с аттестационным испытанием.
Чтобы разобраться в теме «Координаты вектора на координатной плоскости», рекомендуем вначале вспомнить весь базовый материал. Он представлен в разделе «Теоретическая справка». Учащиеся смогут освежить в памяти основные теоремы, свойства координат вектора, определение скалярного произведения векторов и другие понятия, которые помогут при решении заданий ЕГЭ.
Для того чтобы закрепить усвоенный материал, мы рекомендуем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач по теме «Векторы на координатной плоскости», а также по правилам сложения и вычитания векторов представлена в разделе «Каталог». Для качественной подготовки к ЕГЭ лучше всего переходить от простых упражнений к более сложным. В каждом задании на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ.
Практиковаться в выполнении задач выпускники из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.